2020高中数学 课时分层作业21 平面向量数量积的物理背景及其含义 新人教A版必修4 5页

课时分层作业(二十一)　平面向量数量积的物理背景及其含义 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于(　　) ‎ ‎【导学号：84352247】‎ A．　　　　　　　　 B． C．1＋ D．2‎ B　[a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.]‎ ‎2．如果a·b＝a·c，且a≠0，那么(　　)‎ A．b＝c B．b＝λc C．b⊥c D．b，c在a方向上的投影相等 D　[由a·b＝a·c可得a·(b－c)＝0，又a≠0，则应有a⊥(b－c)，故A，B，C都不一定正确，只有D正确．事实上，b，c在a方向上的投影分别为，，由于a·b＝a·c，所以＝.]‎ ‎3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)‎ A．4　　　　 B．3 ‎ C．2　　　　 D．0‎ D　[∵a∥b，a⊥c，‎ ‎∴b⊥c，‎ ‎∴a·c＝0，b·c＝0，‎ c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.]‎ ‎4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为 ‎(　　) 【导学号：84352248】‎ A．2　　　　 B．4 ‎ C．6　　　　 D．12‎ C　[∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2‎ ‎＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2‎ ‎＝|a|2－2|a|－96＝－72，‎ ‎∴|a|2－2|a|－24＝0，‎ ‎∴|a|＝6.]‎ 5‎ ‎5．已知平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，则向量b在向量a方向上的投影为(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．2 D．－2‎ B　[因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋‎2a·b＝|a|2＋‎2a·b＝4＋‎2a·b＝0，‎ 所以a·b＝－2，‎ 所以向量b在向量a方向上的投影为＝＝－1.]‎ 二、填空题 ‎6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ＝45°，则向量a在向量b上的投影为________．‎ 　[由已知得向量a在向量b上的投影|a|cos θ＝3×＝.]‎ ‎7．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|‎2a－b|＝________. ‎ ‎【导学号：84352249】‎ ‎2　[设向量b和a的夹角是α，‎ 因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，‎ 所以(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b ‎＝2－2cos α＝0，‎ 所以cos α＝，‎ 所以(|‎2a－b|)2＝‎4a2＋b2－‎4a·b ‎＝8＋4－4××2×＝4，‎ 故|‎2a－b|＝2.]‎ ‎8．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．‎ ‎－　[设a与b夹角为θ，因为|a|＝3|b|，‎ 所以|a|2＝9|b|2.‎ 又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋‎4a·b ‎＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cos θ＝13|b|2＋12|b|2cos θ，‎ 即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos θ，故有cos θ＝－.]‎ 三、解答题 ‎9．如图241所示，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.‎ 5‎ 图241‎ 求：(1)·；(2)·；(3)·.‎ ‎[解]　(1)·＝||2＝9；‎ ‎(2)·＝－||2＝－16；‎ ‎(3)·＝||||cos(180°－60°)＝4×3×＝－6.‎ ‎10．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.‎ ‎(1)求|b|.‎ ‎(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值. ‎ ‎【导学号：84352250】‎ ‎[解]　(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，‎ 即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，‎ 所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，‎ 故|b|＝.‎ ‎(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋‎4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.‎ 又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋‎2a·b＝1－＝，所以cos θ＝＝，‎ 又θ∈[0，π]，故θ＝.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．如图242所示为正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是(　　)‎ 图242‎ A.· 5‎ B.· C.· D.· A　[由于⊥，故其数量积是0；与的夹角是，故其数量积小于0；设正六边形的边长是a，则·＝||||cos 30°＝a2，·＝||||cos 60°＝a2.故选A.]‎ ‎2．如图243，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于(　　)‎ 图243‎ A．2 B． C． D． D　[·＝||||cos∠DAC ‎＝||cos ‎＝||sin∠BAC＝||sin B ‎＝||sin B＝||＝.]‎ ‎3．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：‎ ‎①a·c－b·c＝(a－b)·c；‎ ‎②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；‎ ‎③|a|－|b|＜|a－b|；‎ ‎④(‎3a＋2b)·(‎3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.‎ 其中正确的序号是________. ‎ ‎【导学号：84352251】‎ ‎①③④　[根据向量积的分配律知①正确；‎ 因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ‎＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，‎ 5‎ 所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；‎ 因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，‎ 所以|a|－|b|＜|a－b|成立，③正确；‎ ‎④正确．故正确命题的序号是①③④.]‎ ‎4．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足‎3a＋mb＋‎7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________.‎ ‎5或－8　[因为‎3a＋mb＋‎7c＝0，‎ 所以‎3a＋mb＝－‎7c，‎ 所以(‎3a＋mb)2＝(－‎7c)2得9＋m2＋6ma·b＝49，‎ 又a·b＝|a||b|cos 60°＝，‎ 所以m2＋‎3m－40＝0，‎ 解得m＝5或m＝－8.]‎ ‎5．已知|a|＝2，|b|＝1，(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝9.‎ ‎(1)求a与b之间的夹角θ；‎ ‎(2)求向量a在a＋b上的投影. ‎ ‎【导学号：84352252】‎ ‎[解]　(1)(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝‎4a2－‎4a·b－3b2＝9，即16－‎4a·b－3＝9，‎ ‎∴a·b＝1，∴cos θ＝＝.‎ 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ ‎(2)|a＋b|2＝a2＋‎2a·b＋b2＝7，‎ 即|a＋b|＝.‎ 设a与a＋b的夹角为α，‎ 则向量a在a＋b上的投影为 ‎|a|cos α＝|a|×＝ ‎＝＝＝.‎ 5‎