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- 2021-06-23 发布
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2020年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试
文科数学
本试卷共6页,23小题,满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由求出集合B,然后求出其补集,最后求交集.
【详解】由得,即,
所以,
又因为
则.
故选:C.
【点睛】本题考查了求对数型函数的定义域,集合的补集、交集运算,属于基础题.
2.棣莫弗公式(为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754)发现的,根据棣莫弗公式可知,复数在复平面内所对应的点位于( )
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
- 25 -
由题意,根据复数的几何意义结合、即可得解.
【详解】由题意,
该复数在复平面内所对应的点为,
,,该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限.
故选:C.
【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用,考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定,属于基础题.
3.已知点和在直线的两侧,则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由点与直线的位置关系,转化为不等式求解即可得解.
【详解】点和在直线的两侧,
即,
解得.
故选:A.
【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域,关键是把点与直线的位置关系转化为不等式,属于基础题.
4.已知是上的减函数,那么实数的取值范围是( )
- 25 -
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由分段函数的单调性可转化条件得,解不等式组即可得解.
【详解】是上的减函数,
,解得.
故选:C.
【点睛】本题考查了分段函数单调性的问题,属于基础题.
5.一个容量100的样本,其数据的分组与各组的频数如下表
组别
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在上的频率为( )
A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64
【答案】C
- 25 -
【解析】
由题意可知频数在的有:13+24+15=52,由频率=频数总数可得0.52.故选C.
6.如图,在中,,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵,∴,
又∵,∴,
∴,
故选.
7.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式转化,原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°再通过两角和公式化简,转化成特殊角得出结果.
【详解】原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°=cos(163°-223°)=cos(-60°)=.
- 25 -
故选A.
【点睛】本题主要考查了诱导公式应用及两角和与差的余弦公式.要熟记公式是关键.
8.已知抛物线,过点作倾斜角为的直线,若与抛物线交于、两点,弦的中垂线交轴于点,则线段的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得直线,联立方程组即可求得中点,进而可得直线,求出点后即可得解.
【详解】由题意可得直线,设,,中点,
联立方程组,消去得,易得,
,,点,
又 ,,
直线,
令可得即点,
线段.
故选:A.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题,属于中档题.
- 25 -
9.如图,在四面体中,截面是正方形,现有下列结论:
①②∥截面
③④异面直线与所成的角为
其中所有正确结论编号是( )
A. ①③ B. ①②④
C. ③④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
由线线平行和垂直的性质可判断①,由线面平行的判定定理和性质定理可判断②,由平行线分线段成比例可判断③,由异面直线所成角的定义可判断④.
【详解】截面是正方形,,
又平面,平面,
平面,
平面,平面平面
,同理可得
由正方形知,则,即①正确;
由,平面,平面,
得平面,则②正确;
由,,得,
- 25 -
所以,
同理可证,
由正方形知,但不一定与相等,
则与不一定相等,即③不正确;
由知为异面直线与所成的角,
由正方形知,则④正确.
故选:B.
【点睛】本题考查命题的真假判断,主要是空间线线、线面的位置关系,考查推理能力,属于中档题.
10.已知函数的最小正周期是,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则下列结论正确的是( )
A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在上有个零点
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意求解析式,然后用整体代入思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减区间及零点,逐一判断各选项,即可得出结论.
【详解】最小正周期是,
它的图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,
为奇函数,则,
,,
,
- 25 -
由得,
则的图象不关于对称,故选项A错误;
由得,
则的图象不关于对称,故选项B错误;
由,得,
则的单调递减区间为
取,得区间,
由,知选项C正确;
函数的零点为,
则函数在上有和两个零点,故选项D错误.
故选:C.
【点睛】本题考查了三角函数的图象变换,单调性、奇偶性、对称中心、对称轴等性质,属于中档题.
11.已知函数是R上的奇函数,函数是R上的偶函数,且,当时,,则的值为( )
A. 1.5 B. 8.5 C. -0.5 D. 0.5
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知中函数是R上的奇函数,函数是R上的偶函数,且,可得是以8为周期的周期函数,逐步转化,进而求得的值.
【详解】函数是R上的奇函数,
- 25 -
,
又函数是R上的偶函数,
,
又,
,
故,
即是以8为周期的周期函数,
.
故选:D.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性,函数求值,是函数图象和性质的综合应用.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点,点是双曲线在第一象限内的点,直线分别交双曲线的左、右支于另一点,若,且,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可设,故四边形是平行四边形,且.由双曲线的定义可得:,由余弦定理可得,即,借助平行四边形的性质可得,即,故双曲线的离心率,应选答案B.
- 25 -
点睛:解答本题的思路是借助双曲线的对称性,将问题进行等价转化与化归为平行四边形的几何性质问题,再依据平行四边形的四边的平方和等两条对角线的和这一性质,探寻到建立方程的依据从而使得问题获解.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知轴为曲线的切线,则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
设轴与曲线的切点为,由题意结合导数的几何意义可得,解方程即可得解.
【详解】由题意,设轴与曲线的切点为,
则,解得.
故答案为:.
【点睛】本题考查了导数几何意义的应用,考查了运算能力,属于基础题.
14.已知为数列的前项和,若,则________.
【答案】32
【解析】
【分析】
由结合题意可得,再利用即可得解.
【详解】当时,解得;
当时,,整理得,
所以数列是首项为1,公比为2的等比数列,,
所以.
故答案为:32.
- 25 -
【点睛】本题考查了与关系的应用,考查了等比数列的判定和通项公式的应用,属于基础题.
15.在中,若,则的值为____________ .
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式,二倍角公式将所求的式子转化成关于的代数式,代入求解即可.
【详解】,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查了三角形内角和性质,诱导公式,以及二倍角的余弦公式的综合运用.
16.已知球的半径为,则它的外切圆锥体积的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出圆锥的高为,底面半径为,在截面中,由球与圆锥相切可设出底面和母线SB的切点分别为C和D,接着由三角形的相似求得、、三者间的关系,然后将圆锥的体积表示成关于的函数,利用导函数求最值.
【详解】设圆锥的高为,底面半径为,
- 25 -
在截面图中,,,,
根据圆锥与球相切可知,、均为球与外切圆锥的切点,
则
又,,
,即,
,
圆锥体积为,
,
令可得,则
时,;时,,
在单调递减,在单调递增,
则.
故答案为:.
【点睛】本题考查了球的外切问题,圆锥的体积公式,导函数的实际应用问题,难度较大.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.已知数列的首项,.
- 25 -
(1)证明:数列是等比数列;
(2)数列的前项和.
【答案】(1)证明见详解;(2)
【解析】
【分析】
(1)利用数列递推式,整理后两边取倒数,再两边减去1,即可证得数列是等比数列;
(2)利用第(1)题的结论,求出,进而得到,用分组求和法,错位相减法,求出.
【详解】解:(1),
,
,
又,,
数列是以首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)知,
即,
.
- 25 -
设,①
则,②
由①②得
,
.又.
数列的前项和.
【点睛】本题考查了倒数法求数列的通项公式,分组求和法,错位相减法求数列的前n项和,属于中档题.
18.随着经济模式改变,微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内,每售出吨该商品可获利润万元,未售出的商品,每吨亏损万元.根据往年的销售经验,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品.现以(单位:吨,)表示下一个销售季度的市场需求量,(单位:万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.
(1)将表示为的函数,求出该函数表达式;
(2)根据直方图估计利润不少于57万元的概率;
(3)根据频率分布直方图,估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小(保留到小数点后一位).
- 25 -
【答案】(1);(2)0.7;(3)平均数为(吨),估计中位数应为(吨)
【解析】
【分析】
(1)分别计算和时T的值,用分段函数表示T的解析式;
(2)计算利润T不少于57万元时x的取值范围,求出对应的频率值即可;
(3)利用每一小组底边的中点乘以对应的矩形的面积(即频率)求和得出平均数,根据中位数两边频率相等(即矩形面积和相等)求出中位数的大小.
【详解】解:(1)当时,;
当时,,
所以,;
(2)根据频率分布直方图及(1)知,
当时,由,得,
当时,由
所以,利润不少于57万元当且仅当,
于是由频率分布直方图可知市场需求量的频率为
,
所以下一个销售季度内的利润不少于57万元的概率的估计值为0.7;
(3)估计一个销售季度内市场需求量的平均数为
(吨)
由频率分布直方图易知,
由于时,对应的频率为,
而时,对应的频率为,
因此一个销售季度内市场需求量的中位数应属于区间,于是估计中位数应为
- 25 -
(吨).
【点睛】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题,是中档题.
19.如图所示,四棱锥中,平面,,,,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见详解;(2)
【解析】
【分析】
(1)取的中点,连结和,可证明得到四边形为平行四边形,进而证得平面;
(2)先证明平面,进而得到平面平面,作交于,则平面,在直角三角形中利用等面积法即可求出距离.
【详解】证明:(1)取的中点,连结和,
为的中点,
且,
,,,
且,
且,
四边形为平行四边形,
,
平面,平面,
- 25 -
平面;
(2),为的中点,
,
平面,平面,
,
,
,又,
平面,
,
平面,
由(1)可知,
平面,
平面,
平面平面,
作交于,则平面,
在直角三角形中,有,
,
即点到平面距离为.
【点睛】本题考查线面平行的证明,考查求点到平面距离,转化思想,等面积法,属于中档题.
20.已知椭圆,、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的动点.
- 25 -
(1)求的最大值,并证明你的结论;
(2)若、分别是椭圆长轴的左、右端点,设直线的斜率为,且,求直线的斜率的取值范围.
【答案】(1)的最大值为,证明见详解;(2)
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的定义可知,在中,利用余弦定理可得:,再利用基本不等式得到,当且仅当时等号成立,再结合,以及余弦函数的图象,即可得到的最大值;
(2)设直线BM的斜率为,,则,再根据的范围即可得到的范围.
【详解】解:(1)由椭圆的定义可知,
在中,由余弦定理,可得
,
,
的最大值为,此时,
- 25 -
即点为椭圆的上、下顶点时,取最大值,其最大值为;
(2)设直线的斜率为,,则
,,
,
又,,
,
,
,
故直线的斜率的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义,余弦定理和基本不等式的应用,过两点的直线的斜率公式,是中档题.
21.已知函数(为自然对数的底数),其中.
(1)在区间上,是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
(2)若函数的两个极值点为,证明:.
【答案】(1)存在,最小值为;(2)证明见详解
【解析】
【分析】
(1)对函数求导,令,得两根,从而得出的单调区间.由用作差法比较与的大小,结合,可知,则在区间单调递减,则其取得最小值;
- 25 -
(2)由的韦达定理,得,则可消去a,得,.通过两边取对数,得和,将其代入需证不等式.再得,采用换元法,反证法,将所求不等式转化为.再用换元法,令 构造函数,利用导函数求其最值,则可证明不等式.
【详解】.
解:(1)由条件可函数在上有意义,
,
令,得,,
因为,所以,.
所以当时,,当上,
所以在上是增函数,在是减函数.
由可知,
当时,,当时,,
当时,,
因为,
所以,
又函数在上是减函数,且,
所以函数在区间上的有最小值,
- 25 -
其最小值为.
(2)由(1)可知,当时函数存在两个极值点,
且是方程的两根,
所以,且,
,,
所以,
,
所以
,
又,
由(1)可知,
设,,则,
故要证成立,
只要证成立,
下面证明不等式成立,
构造函数,
则,所以在上单调递增,
,即成立,
- 25 -
令,即得不等式,
从而成立.
【点睛】本题考查了利用导函数求函数的最值,证明不等式,其中换元法、反证法的应用是本题的关键,考查了转化的思想,属于综合性较强的难题.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系中,直线:(为参数,),曲线:(为参数),与相切于点,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程及点的极坐标;
(2)已知直线:与圆:交于,两点,记的面积为,的面积为,求的值.
【答案】(1);点的极坐标为(2)
【解析】
【分析】
(1)消去参数得的直角坐标方程,利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得的极坐标方程;由题意得的极坐标方程为,代入的极坐标方程后利用即可得解;
(2)由题意可得,设,,将代入后即可得,,再利用三角形面积公式可得,,化简即可得解.
- 25 -
【详解】(1)消去参数可得的直角坐标方程为,
将代入得的极坐标方程为,
又的参数方程为(为参数,),
可得的极坐标方程为,
将代入得,
则,,
又,所以,,
此时,所以点的极坐标为.
(2)由的极坐标方程为,
可得的直角坐标方程为,所以圆心,
设,,将代入,
得,,
所以,,所以,,
又因为,,
所以.
【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化,考查了利用极坐标求三角形面积的应用,属于中档题.
23.已知.
(1)当时,解不等式;
- 25 -
(2)若存在实数,使得关于的不等式有实数解,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)由题意得,分、两种情况讨论即可得解;
(2)由绝对值三角不等式结合题意得,利用基本不等式求出的最小值即可得解.
【详解】(1)当时,即解不等式,
①当时,原不等式等价于,所以,
所以不等式解集为空集,
②当时,原不等式等价于,解得,
综上所述,不等式的解集为.
(2)因为,显然等号可取.
又,
故原问题等价于关于的不等式在上有解,
又因为,
当且仅当时取等号,所以,即.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解,考查了绝对值三角不等式的应用和有解问题的求解,属于中档题.
- 25 -
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