2020高中数学第二章函数4 4页

‎4.2 二次函数的性质 ‎[学业水平训练]‎ ‎1．(2014·太原五中月考)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么(　　)‎ A．f(－2)＜f(0)＜f(2) B．f(0)＜f(－2)＜f(2)‎ C．f(2)＜f(0)＜f(－2) D．f(0)＜f(2)＜f(－2)‎ 解析：选D.函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(－x)．可知函数f(x)图像的对称轴为x＝，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D.‎ ‎2．如果函数y＝x2＋(1－a)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是(　　)‎ A．a≥5 B．a≤－3‎ C．a≥9 D．a≤－7‎ 解析：选C.由题意知对称轴x＝－≥4，∴a≥9.‎ ‎3．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则m的取值范围是(　　)‎ A．(0,2] B．(2,4)‎ C．[0,4] D．[2,4]‎ 解析：‎ 选D.由图像知对称轴为x＝2，f(0)＝－4，f(2)＝－8，f(4)＝－4，‎ 若函数在[0，m]上有最小值－8，‎ ‎∴m≥2.‎ 若函数在[0，m]上有最大值－4，‎ ‎∵f(0)＝f(4)＝－4，∴m≤4.‎ 综上知：2≤m≤4.‎ ‎4．(2014·辽宁省实验中学一诊)若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)‎ A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 解析：选B.由于函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上均为减函数，故a＜0，b＜0，故二次函数f(x)＝ax2＋bx的图像开口向下，且对称轴为x＝－＜0，故函数f(x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎5．函数y＝ 的单调减区间为(　　)‎ 4‎ A．(－∞，1) B．(1，＋∞)‎ C．[－1,1] D．[1,3]‎ 解析：选D.令y＝，u＝－x2＋2x＋3≥0，则x∈[－1,3]，‎ 当x∈[－1,1]时，u＝－x2＋2x＋3增加，y＝增加；‎ 当x∈[1,3]时，u＝－x2＋2x＋3减小，y＝减小．‎ ‎6．函数f(x)＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是________．‎ 解析：∵f(x)＝|x|(1－x)＝∴可得函数f(x)在区间(－∞，0)及上为减函数，在区间上为增函数．‎ 答案： ‎7．(2014·西安中学月考)如果函数f(x)＝ax2－3x＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：(1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋4，函数在定义域R上单调递减，故在区间(－∞，6)上单调递减．‎ ‎(2)当a≠0时，二次函数f(x)图像的对称轴为直线x＝.因为f(x)在区间(－∞，6)上单调递减，所以a＞0，且≥6，解得0＜a≤.综上所述，0≤a≤.‎ 答案：0≤a≤ ‎8．已知二次函数f(x)的二次项系数a＜0，且不等式f(x)＞－x的解集为(1,2)，若f(x)的最大值为正数，则a的取值范围是________．‎ 解析：由不等式f(x)＞－x的解集为(1,2)，‎ 可设f(x)＋x＝a(x－1)(x－2)(a＜0)，‎ ‎∴f(x)＝a(x－1)(x－2)－x＝ax2－(‎3a＋1)x＋‎‎2a ‎＝a(x－)2－＋‎2a，‎ 其最大值为－＋‎2a，‎ 若－＋‎2a＞0，可得‎8a2＜(‎3a＋1)2，‎ 即a2＋‎6a＋1＞0，‎ 解得a＜－3－2或a＞－3＋2.‎ 答案：(－∞，－3－2)∪(－3＋2，0)‎ ‎9．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．‎ ‎(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；‎ ‎(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．‎ 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，‎ ‎∴x＝1时，f(x)的最小值为1；‎ x＝－5时，f(x)的最大值为37.‎ ‎(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图像对称轴为x＝－a，‎ ‎∵f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5，故a的取值范围是a≤－5或a≥5.‎ ‎10．某公司生产一种产品每年需投入固定成本为0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投入0.25万元．经预测知，当售出这种产品t百件时，0＜t 4‎ ‎≤5，则销售所得的收入为万元；若t＞5，则销售所得的收入为万元．‎ ‎(1)若该公司的这种产品的年产量为x百件(x＞0)，请把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为当年年产量x的函数；‎ ‎(2)当年产量为多少时，当年公司所获利润最大？‎ ‎(3)当年产量为多少时，当年公司不会亏本？(取为4.64)‎ 解：(1)当0＜x≤5时，f(x)＝5x－0.5x2－(0.5＋0.25x)＝－0.5x2＋4.75x－0.5.‎ 当x＞5时，f(x)＝x＋－(0.5＋0.25x)＝－0.125x＋11.‎ ‎∴f(x)＝ ‎(2)当0＜x≤5时，f(x)＝－0.5x2＋4.75x－0.5＝－0.5(x－4.75)2＋10.781 25，‎ ‎∴当x＝4.75时，f(x)max＝10.781 25.‎ 当x＞5时，f(x)＝－0.125x＋11＜－0.125×5＋11＝10.375＜10.781 25.‎ ‎∴当年产量为4.75百件时，当年公司所获利润最大，最大利润为10.781 25万元．‎ ‎(3)由题意知f(x)≥0，当0＜x≤5时，－0.5x2＋4.75x－0.5≥0，即－＋4.75≤x≤＋4.75，‎ ‎∴0.11≤x≤9.39，又0＜x≤5，∴0.11≤x≤5.‎ 当x＞5时，－0.125x＋11≥0，∴5＜x≤88.‎ 综上可得，∴0.11≤x≤88.‎ ‎[高考水平训练]‎ ‎1．(2014·人大附中期中考试)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1(a＞0)，若f(m)＜0，则f(m＋2)与1的大小关系为(　　)‎ A．f(m＋2)＜1 B．f(m＋2)＝1‎ C．f(m＋2)＞1 D．f(m＋2)≥1‎ 解析：选C.二次函数的对称轴为x＝－1，∵f(m)＝f(－2－m)＜0，且f(0)＝1＞0，∴－2－m＜0，∴2＋m＞0.∵二次函数在区间(0，＋∞)上为增函数，故f(2＋m)＞f(0)＝1，故选C.‎ ‎2．(2014·衡水高一检测)若函数f(x)满足下列性质：‎ ‎(1)定义域为R，值域为[1，＋∞)．‎ ‎(2)图像关于x＝2对称．‎ ‎(3)对任意x1，x2∈(－∞，0)，若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)．‎ 请写出函数f(x)的一个解析式 ‎________________________________________________________________________‎ ‎(只要写出一个即可)．‎ 解析：函数最小值为1，图像关于x＝2对称，在(－∞，0)上为减函数，∴f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)．‎ 答案：f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)‎ ‎3．已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，(t∈R)，试求f(x)的最小值g(t)．‎ 解：∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，‎ ‎①当t＋1≤1，即t≤0时，由图(1)知，截取减区间上的一段，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；‎ ‎②当12，即t>1时，由图(3)可知，截取增区间上的一段，g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.‎ 综上可知，g(t)＝ ‎4．已知函数f(x)＝ax2－4x－1.‎ ‎(1)若a＝2，求当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若a＝2，当x∈(0,1)时，f(1－m)－f(‎2m－1)＜0恒成立，求m的取值范围；‎ ‎(3)若a为非负数，且函数f(x)是区间[0,3]上的单调函数，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝2时，f(x)＝2x2－4x－1＝2(x－1)2－3.‎ 所以f(x)在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增，‎ 所以f(x)的最小值是f(1)＝－3.‎ 又因为f(0)＝－1，f(3)＝5，‎ 所以f(x)的值域是[－3,5]．‎ ‎(2)因为a＝2，所以由(1)可知：f(x)在[0,1]上单调递减．‎ 因为当x∈(0,1)时，f(1－m)－f(‎2m－1)＜0恒成立，‎ 所以f(1－m)＜f(‎2m－1)，可得 解得＜m＜.‎ 所以m的取值范围是＜m＜.‎ ‎(3)因为f(x)＝ax2－4x－1，‎ ‎①当a＝0时，f(x)＝－4x－1.‎ 所以f(x)在[0,3]上单调递减；‎ ‎②当a＞0时，f(x)＝a(x－)2－－1.‎ 因为f(x)为[0,3]上的单调函数，可得 或 解得0＜a≤.‎ 由①②可知，a的取值范围是[0，]．‎ 4‎