高中数学必修2教案：第二章 2_3_1直线与平面垂直的判定 13页

‎2．3　直线、平面垂直的判定及其性质 ‎2．3.1　直线与平面垂直的判定 ‎[学习目标]　1.掌握直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题．‎ ‎[知识链接]‎ 生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等．在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．直线与平面垂直的有关概念 ‎(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.‎ ‎(2)相关概念：若直线l与平面α垂直，其中直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．‎ ‎(3) 图形语言：(画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直)如图所示．‎ ‎(4)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒‎ l⊥α.‎ 其中“任意直线”等同于“所有直线”．‎ ‎2．直线和平面垂直的判定定理 ‎(1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．‎ ‎(2)图形语言：如图所示．‎ ‎(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.‎ ‎3．直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．‎ 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.综上，直线与平面所成的角的范围[0°，90°].‎ 要点一　直线和平面垂直的定义 例1　下列命题中，正确的序号是________．‎ ‎①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．‎ 答案　③④‎ 解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．‎ 规律方法　1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．‎ ‎2．由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.‎ 跟踪演练1　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若l⊥m，m⊂α，l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 答案　B 解析　对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与 平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．‎ 要点二　线面垂直的判定 例2　如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．‎ 求证：AD⊥平面A1DC1.‎ 证明　∵AA1⊥底面ABC，‎ 平面A1B1C1∥平面ABC，‎ ‎∴AA1⊥平面A1B1C1，显然A1C1⊂平面A1B1C1，‎ ‎∴A1C1⊥AA1.‎ 又∠B1A1C1＝90°，‎ ‎∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1＝A1，‎ ‎∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，‎ ‎∴A1C1⊥AD.‎ 由已知计算得AD＝，A1D＝，AA1＝2.‎ ‎∴AD2＋A1D2＝AA，‎ ‎∴A1D⊥AD.‎ ‎∵A1C1∩A1D＝A1，‎ ‎∴AD⊥平面A1DC1.‎ 规律方法　证线面垂直的方法有三类 ‎(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．‎ ‎(2)平行转化法(利用推论)：‎ ‎①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；‎ ‎②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.‎ 跟踪演练2　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.‎ 证明　∵ABCD为正方形，‎ ‎∴AC⊥BO.‎ 又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥BB1，‎ 又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，‎ 又EF是△ABC的中位线，‎ ‎∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.‎ 要点三　直线与平面所成的角 例3　如图所示，三棱锥ASBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．‎ 解　因为∠ASB＝∠ASC＝60°，‎ SA＝SB＝SC，‎ 所以△ASB与△SAC都是等边三角形．‎ 因此AB＝AC.‎ 如图所示，取BC的中点D，‎ 连接AD，SD，则AD⊥BC.‎ 设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，‎ CD＝SD＝a.‎ 在Rt△ADC中，AD＝＝a.‎ 则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.‎ 又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.‎ 因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．‎ 在Rt△ASD中，SD＝AD＝a，‎ 所以∠ASD＝45°，‎ 即直线AS与平面SBC所成的角为45°.‎ 规律方法　1.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．‎ ‎2．在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口．‎ 跟踪演练3　如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．‎ 解　由题意知，A是M在平面ABC内的射影，∴MA⊥平面ABC，‎ ‎∴MC在平面CAB内的射影为AC.‎ ‎∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．‎ 又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，‎ ‎∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.‎ 在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.‎ 在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.‎ 即MC与平面CAB所成角的正弦值为.‎ ‎1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 答案　B 解析　由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直．‎ ‎2．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 答案　C 解析　连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．‎ ‎3．下列表述正确的个数为(　　)‎ ‎①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；‎ ‎②若直线a⊄平面α，b⊂α，且a⊥b，则a⊥α；‎ ‎③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α；‎ ‎④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α.‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　A 解析　①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内；②中a与α还可能平行或斜交；③中a还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知④错．‎ ‎4．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　)‎ ‎①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．‎ A．①③ B．②‎ C．②④ D．①②④‎ 答案　A 解析　由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．‎ ‎5．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．‎ 答案　30°‎ 解析　tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°.‎ ‎　‎ ‎1.直线和平面垂直的判定方法：‎ ‎(1)利用线面垂直的定义；‎ ‎(2)利用线面垂直的判定定理；‎ ‎(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.‎ ‎2．线线垂直的判定方法：‎ ‎(1)异面直线所成的角是90°；‎ ‎(2)线面垂直，则线线垂直．‎ ‎3．求线面角的常用方法：‎ ‎(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；‎ ‎(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；‎ ‎(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).‎ 一、基础达标 ‎1．下列说法中正确的个数是(　　)‎ ‎①若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；‎ ‎②若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；‎ ‎③若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　对③，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是①②，故选B.‎ ‎2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)‎ A．有且只有一个 B．至多一个 C．有一个或无数个 D．不存在 答案　B 解析　若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．‎ ‎3．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．120°‎ 答案　C 解析　如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，‎ 所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．‎ ‎4．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　)‎ A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 答案　C 解析　取BD中点O，‎ 连接AO，CO，‎ 则BD⊥AO，BD⊥CO，‎ ‎∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，‎ 又BD、AC异面，∴选C.‎ ‎5．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的________．(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)‎ 答案　外心 解析　P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心．‎ ‎6. 如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．‎ 答案　4‎ 解析　⇒‎ ⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，‎ ‎∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.‎ ‎7．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.‎ 证明　如图，连接AC，‎ ‎∴AC⊥BD.‎ 又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，‎ AC，A1A⊂平面A1AC，‎ ‎∴BD⊥平面A1AC.‎ ‎∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.‎ 同理可证BC1⊥A1C.‎ 又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，‎ ‎∴A1C⊥平面BC1D.‎ 二、能力提升 ‎8. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，连接OB，由已知A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.‎ 又∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1⊂平面A1B1C1D1，‎ ‎∴OC1⊥BB1.而BB1∩B1D1＝B1，‎ ‎∴OC1⊥平面BB1D1D.‎ ‎∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影．‎ ‎∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角．‎ 在正方形A1B1C1D1中，‎ OC1＝A1C1＝＝.‎ 在矩形BB1C1C中，BC1＝＝＝.‎ ‎∴sin∠C1BO＝＝＝.‎ ‎9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．‎ 答案　 解析　如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO.‎ 由已知正方体易知EO⊥平面ABC1D1，所以∠EAO为AE与平面ABC1D1所成的角，设正方体棱长为1，在Rt△EOA中，EO＝EF＝A1D＝，AE＝ ＝，sin∠EAO＝＝.所以直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为.‎ ‎10. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC 边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是________．‎ 答案　[2，＋∞)‎ 解析　因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，‎ 所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，‎ 所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.‎ ‎①当02时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.‎ ‎11．如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.‎ 解　连接A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1，‎ 又D1E⊂面A1BCD1，‎ ‎∴AB1⊥D1E.‎ 于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.‎ 连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．‎ ‎∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.‎ ‎∵ABCD是正方形，E是BC的中点，‎ ‎∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，‎ 即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.‎ 三、探究与创新 ‎12．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．‎ ‎(1)求证：AN⊥平面PBM.‎ ‎(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.‎ 证明　(1)∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴AM⊥BM.‎ 又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.‎ 又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.‎ 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.‎ 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，‎ ‎∴AN⊥平面PBM.‎ ‎(2)由(1)知AN⊥平面PBM，‎ PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.‎ 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，‎ ‎∴PB⊥平面ANQ.‎ 又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.‎ ‎13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上移动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P满足的条件是什么？并说明理由．‎ 解　点P在线段B1C上时，可以总是保持AP⊥BD1.‎ 证明：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，‎ 所以BB1⊥平面ABCD.‎ 又AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.‎ 又四边形ABCD是正方形，‎ 所以BD⊥AC.‎ 又BD⊂平面BDD1B1，BB1⊂平面BDD1B1，‎ BB1∩BD＝B，‎ 所以AC⊥平面BDD1B1.‎ 又BD1⊂平面BDD1B1，‎ 所以BD1⊥AC.‎ 同理可证BD1⊥AB1.‎ 又AC⊂平面AB1C，‎ AB1⊂平面AB1C，‎ AC∩AB1＝A，‎ 所以BD1⊥平面AB1C.‎ 因为点P在线段B1C上，‎ 所以AP⊂平面AB1C，所以AP⊥BD1.‎