高中数学必修2教案：第三章 3_2_1直线的点斜式方程 9页

‎3．2　直线的方程 ‎3．2.1　直线的点斜式方程 ‎[学习目标]　1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义.3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．‎ ‎2．两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率存在并设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别地，当直线l1，l2一条斜率为0，另一条斜率不存在时，l1与l2的关系为垂直．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．直线的点斜式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 点斜式 点P(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0)‎ 斜率存在的直线 ‎2.直线l在坐标轴上的截距 ‎(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.‎ ‎(2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a.‎ ‎3．直线的斜截式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 斜率存在的直线 要点一　直线的点斜式方程 例1　求满足下列条件的直线的点斜式方程．‎ ‎(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；‎ ‎(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；‎ ‎(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．‎ 解　(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，‎ 由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．‎ ‎(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，‎ 即y＋4＝0.‎ ‎(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率 kPQ＝＝＝－1.‎ 又∵直线过点P(－2,3)，即x＋y－1＝0.‎ ‎∴直线的点斜式方程为 y－3＝－(x＋2)．‎ 规律方法　1.求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．‎ ‎2．点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．‎ 跟踪演练1　(1)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．‎ ‎(2)已知直线l过点A(2,1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为________．‎ 答案　(1)x＋y－1＝0　(2)x＋4y－6＝0‎ 解析　(1)k＝tan 135°＝－1，‎ 由直线的点斜式方程得 y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.‎ ‎(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4，‎ 由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－.又因为l过点A(2,1)，所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋4y－6＝0.‎ 要点二　直线的斜截式方程 例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程．‎ ‎(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；‎ ‎(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；‎ ‎(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.‎ 解　(1)由直线方程的斜截式可知，‎ 所求直线方程为y＝2x＋5.‎ ‎(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.‎ 由斜截式可得方程为y＝－x－2.‎ ‎(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，‎ ‎∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，‎ ‎∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.‎ ‎∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.‎ 规律方法　1.本例(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y＝x－3”．‎ ‎2．截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．‎ 跟踪演练2　写出下列直线的斜截式方程：‎ ‎(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；‎ ‎(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；‎ ‎(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.‎ 解　(1)由直线方程的斜截式可得，‎ 所求直线方程为y＝3x－3.‎ ‎(2)由题意可知，直线的斜率k＝tan 60°＝，所求直线的方程为y＝x＋5.‎ ‎(3)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝，‎ 由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝x.‎ 要点三　直线过定点问题 例3　求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．‎ 证明　方法一　直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，‎ ‎∴直线l过定点(－2,3)，‎ 由于点(－2,3)在第二象限，故直线l总过第二象限．‎ 方法二　直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.‎ 令解得 ‎∴无论m取何值，直线l总经过点(－2,3)．‎ ‎∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．‎ 规律方法　本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，方法一体现了点斜式的应用，方法二体现了代数方法处理恒成立问题的基本思想．‎ 跟踪演练3　已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，求k的取值范围．‎ 解　由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.‎ 所以，k的取值范围是.‎ ‎1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)‎ A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1‎ B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1‎ C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1‎ D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1‎ 答案　C 解析　∵方程可变形为y＋2＝－(x＋1)，‎ ‎∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.‎ ‎2．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　)‎ A．60°，2 B．120°，2－ C．60°，2－ D．120°，2‎ 答案　B 解析　∵该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，‎ ‎∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－.‎ ‎3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)‎ A．k>0，b>0 B．k>0，b<0‎ C．k<0，b>0 D．k<0，b<0‎ 答案　B 解析　∵直线经过一、三、四象限，‎ ‎∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.‎ ‎4．斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是________．‎ 答案　4x－y－11＝0‎ ‎5．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________．‎ 答案　x＝3‎ 解析　直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3,3)，所以直线l的方程为x＝3.‎ ‎1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.‎ ‎2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程．‎ 一、基础达标 ‎1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示(　　)‎ A．任何一条直线 B．不过原点的直线 C．不与坐标轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线 答案　D 解析　点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．‎ ‎2．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　)‎ A．x＝－1 B．y＝1‎ C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1)‎ 答案　C 解析　由方程知，已知直线的斜率为，‎ ‎∴所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝(x＋1)，∴选C.‎ ‎3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　)‎ A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4‎ C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4‎ 答案　D 解析　∵直线y＝2x＋1的斜率为2，‎ ‎∴与其垂直的直线的斜率是－，‎ ‎∴直线的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D.‎ ‎4．若经过原点的直线l与直线y＝x＋1的夹角为30°，则直线l的倾斜角是(　　)‎ A．0° B．60°‎ C．0°或60° D．60°或90°‎ 答案　C ‎5．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)‎ A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0‎ C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0‎ 答案　A 解析　直线x－2y－2＝0的斜率为，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.‎ ‎6．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．‎ 答案　(－∞，0]‎ 解析　当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；‎ 当k>0时，直线过第三象限；‎ 当k<0时，直线不过第三象限．‎ ‎7．直线l1过点P(－1,2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．‎ 解　直线l1的方程是y－2＝－(x＋1)．‎ 即x＋3y－6＋＝0.‎ ‎∵k1＝－＝tan α1，∴α1＝150°.‎ 如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－，‎ ‎∴l2的方程为y－2＝－(x＋1)，‎ 即x＋y－2＋＝0.‎ 二、能力提升 ‎8．方程y＝ax＋表示的直线可能是图中的(　　)‎ 答案　B 解析　直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距.当a>0时，斜率a>0，在y轴上的截距>0，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a<0时，斜率a<0，在y轴上的截距<0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有选项B符合．故正确答案为B.‎ ‎9．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．‎ 答案　(3,2)‎ 解析　∵y＝a(x－3)＋2，即y－2＝a(x－3)‎ ‎∴直线过定点(3,2)．‎ ‎10．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．‎ 答案　k≥1或k≤－1‎ 解析　令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2.‎ 由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，‎ 所以k的取值范围是k≥1或k≤－1.‎ ‎11．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边上的高所在的直线方程．‎ 解　设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，‎ ‎∴kAD·kBC＝－1，∴·kAD＝－1，解得kAD＝.‎ ‎∴BC边上的高所在的直线方程为y－0＝(x＋5)，‎ 即y＝x＋3.‎ 三、探究与创新 ‎12．是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?‎ 解　假设存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.‎ 由题意可知直线l的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k(k≠0)，‎ 则直线方程为y＋4＝k(x＋5)，则分别令y＝0，x＝0，‎ 可得直线l与x轴的交点为(，0)，‎ 与y轴的交点为(0,5k－4)．‎ 因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，‎ 所以||·|5k－4|＝5，‎ 所以·(5k－4)＝±10，‎ 即25k2－30k＋16＝0(无解)或25k2－50k＋16＝0，‎ 所以k＝或k＝，所以存在直线l满足题意，‎ 直线l的方程为y＋4＝(x＋5)或y＋4＝(x＋5)，即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.‎ ‎13．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.‎ ‎(1)求证：直线l恒过一个定点；‎ ‎(2)当－3