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- 2021-06-23 发布
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2.4.2 二次函数的性质
|基础巩固|(25分钟,60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数y=x2-2x+3在(-1,5)上的最小值为( )
A.2 B.6
C.18 D.22
【解析】 判断对称轴x=1在区间(-1,5)内部,在x=1取得最小值2.
【答案】 A
2.函数f(x)=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称,则( )
A.m=-2 B.m=2
C.m=-1 D.m=1
【解析】 函数f(x)=x2+mx+1的图像的对称轴为x=-,且只有一条对称轴,
所以-=1,即m=-2.
【答案】 A
3.二次函数f(x)=ax2+bx+c的顶点为(4,0),且过点(0,2),则abc等于( )
A.-6 B.11
C.- D.
【解析】 因为f(x)图像过点(0,2),所以c=2.
又顶点为(4,0),
所以-=4,=0.
解得b=-1,a=,
所以abc=-.
【答案】 C
4.若f(x)=(m-1)x2+2mx+3(m≠1)的图像关于y轴对称,则f(x)在(-3,1)上( )
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
【解析】 由f(x)的图像关于y轴对称,得m=0,所以函数f(x)=-x2+3,
由f(x)的图像(图略)知其在(-3,1)上先增后减.故选C.
【答案】 C
5.函数f(x)=ax2+2(a-3)x+1在区间(-2,+∞)上是单调递减,则a的取值范围是( )
A.[-3,0] B.(-∞,-3]
C.[-3,0) D.[-2,0]
【解析】 若a=0,则f(x)=-6x+1(符合题意),a>0不合题意,若a<0,
则-≤-2,解得-3≤a<0,
综上得-3≤a≤0.故选A.
4
【答案】 A
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.抛物线y=x2+(a+2)x+1的顶点在y轴上,则a=________.
【解析】 ∵抛物线的顶点在y轴上,∴ -=0,即a=-2.
【答案】 -2
7.已知函数f(x)=x2- x-8在[1,5]上具有单调性,则实数 的取值范围是________.
【解析】 函数f(x)的对称轴为x=,
所以≤1或≥5,
所以 ≤2或 ≥10.
【答案】 (-∞,2]∪[10,+∞)
8.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为________.
【解析】 f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a.
所以函数f(x)图像的对称轴为直线x=2.
所以f(x)在[0,1]上单调递增.
又因为f(x)min=f(0)=a=-2,
所以f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.
【答案】 1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(1)若f(x)=-x2+2ax在(-∞,2)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)已知函数f(x)=-x2+2ax的增区间为(-∞,2),求实数a的值.
【解析】 ∵f(x)=-(x-a)2+a2,其函数图像开口向下,对称轴为x=a.
(1)∵f(x)的增区间为(-∞,a],
由题意知(-∞,a]⊇(-∞,2),
∴a≥2.故实数a的取值范围是[2,+∞).
(2)由题意,f(x)的对称轴为x=a=2,
即a=2.
10.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司月收益最大?最大月收益是多少?
【解析】 (1)当每辆车的月租金为3 600元时,未租出的车辆数为=12,所以这时租出了88辆车.
(2)设每轴车的月租金为x(x≥3 000)元,则租赁公司的月收益为f(x)=(x-150)-×50,
整理得f(x)=-+162x-21 000
=-(x-4 050)2+307 050.
4
所以,当x=4 050 时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050.即当每辆车的月租金为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307 050元.
|能力提升|(20分钟,40分)
11.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[0,2]
C.[1,2] D.(-∞,2]
【解析】 如图所示.
f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,f(0)=3,f(1)=2,且f(2)=3.由图可知只有当m∈[1,2]时,才能满足题目的要求.故选C.
【答案】 C
12.已知函数f(x)=为R上的减函数,则实数a的取值范围为________.
【解析】 因为函数f(x)=
为R上的减函数,
所以
解得a≤-4.
所以a的取值范围为{a|a≤-4}.
【答案】 {a|a≤-4}
13.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;
(2)当a∈R时,求函数f(x)在区间[-5,5]上的最值.
【解析】 (1)因为a=-1,
所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
所以f(x)在[-5,1]上是减少的,
f(x)在[1,5]上是增加的.
所以f(x)min=f(1)=1,
f(x)max=f(-5)=37.
(2)函数f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的图像开口向上,对称轴为x=-a.
①当-a≤-5,即a≥5时,函数在区间[-5,5]上是增加的,所以f(x)max=f(5)=27+10a,
f(x)min=f(-5)=27-10a.
②当-5<-a≤0,即0≤a<5时,函数图像如图所示.
由图像可得f(x)min=f(-a)=2-a2,
4
f(x)max=f(5)=27+10a.
③当0<-a<5,即-52x+2m+1,
化简得x2-3x+1-m>0.
设g(x)=x2-3x+1-m,
则只要g(x)min>0,
因为x∈[-1,1]时,g(x)是减少的,
所以g(x)min=g(1)=-1-m,
因此有-1-m>0,得m<-1,
即a的取值范围为(-∞,-1).
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