2020高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2 4页

二次函数的图象及性质 一、考点突破 ‎1. 求二次函数的解析式；‎ ‎2. 求二次函数的值域或最值及一元二次方程、一元二次不等式的综合应用；‎ 二、重难点提示 ‎1. 理解二次函数三种解析式的特征及应用；‎ ‎2. 分析二次函数要抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、顶点，函数的定义域；‎ ‎3. 充分应用数形结合思想把握二次函数的性质。‎ ‎1. 二次函数的定义与解析式 ‎（1）二次函数的定义 形如：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数叫做二次函数。‎ ‎（2）二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；‎ ‎②顶点式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）；‎ ‎③零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）；‎ ‎2. 二次函数的图象和性质 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c ‎（a>0）‎ f（x）＝ax2＋bx＋c ‎（a<0）‎ 图象 定义域 ‎（－∞，＋∞）‎ ‎（－∞，＋∞）‎ 值域 单调性 在x∈上单调递减；‎ 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增；‎ 在x∈上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 ‎3. 与二次函数有关的不等式恒成立问题 ‎①ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是 ‎ ‎②ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是 ‎ 4‎ 例题1 已知函数f（x）＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]。‎ ‎（1）当a＝－2时，求f（x）的最值；‎ ‎（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－4，6]上是单调函数；‎ ‎（3）当a＝1时，求f（|x|）的单调区间。‎ 思路分析：对于（1）和（2）可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于（3），应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用。‎ 答案：‎ 解：（1）当a＝－2时，f（x）＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，由于x∈[－4，6]，‎ ‎∴f（x）在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，‎ ‎∴f（x）的最小值是f（2）＝－1，又f（－4）＝35，f（6）＝15，故f（x）的最大值是35；‎ ‎（2）由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f（x）在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4；‎ ‎（3）当a＝1时，f（x）＝x2＋2x＋3，‎ ‎∴f（|x|）＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6，6]，‎ 且f（x）＝‎ ‎∴f（|x|）的单调递增区间是（0，6]。‎ 单调递减区间是[－6，0]。‎ ‎【总结提升】‎ ‎（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；‎ ‎（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解。‎ 例题2 若二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c （a≠0）满足f（x＋1）－f（x）＝2x，且f（0）＝1。‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）若在区间[－1，1]上，不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围。‎ 思路分析：第（1）问，由f（0）＝1可得c，利用f（x＋1）－f（x）＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f（x）的解析式。第（2）问，可利用函数思想求得。‎ 答案：‎ 解：（1）由f（0）＝1得，c＝1，∴f（x）＝ax2＋bx＋1，‎ 又f（x＋1）－f（x）＝2x，‎ ‎∴a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1－（ax2＋bx＋1）＝2x，‎ 即2ax＋a＋b＝2x，∴，，∴，，‎ 因此，f（x）＝x2－x＋1；‎ ‎（2）f（x）>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g（x）＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可。‎ ‎∵g（x）＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，‎ ‎∴g（x）min＝g（1）＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1，‎ 因此满足条件的实数m的取值范围是（－∞，－1）。‎ 4‎ 技巧点拨：‎ 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起出现，而二次函数又是“三个二次”的核心，三者通过二次函数的图象贯穿为一体。因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法，用函数思想研究方程、不等式（尤其是恒成立）问题是高考命题的热点。‎ ‎【方法提炼】‎ 分类讨论思想在二次函数中的应用 分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一。在二次函数中，对称轴是一个隐含信息，一定要结合二次函数的图象，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析，保证分类讨论中考虑问题的全面性。‎ ‎【矫正练习】‎ 设a为实数，函数f（x）＝2x2＋（x－a）|x－a|。‎ ‎（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；‎ ‎（2）求f（x）的最小值；‎ 思路分析：（1）求a的取值范围，即求关于a的不等式，解不等式即可；（2）求f（x）的最 小值，由于f（x）可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起；（3）对a进行讨论时，要找到恰当的分类标准。‎ 解：（1）因为f（0）＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0，由a2≥1知a≤－1，因此，a的取值范围为（－∞，－1]；‎ ‎（2）记f（x）的最小值为g（a），则有f（x）＝2x2＋（x－a）|x－a|‎ ‎=‎ ‎（ⅰ）当a≥0时，f（－a）＝－‎2a2，‎ 由①②知f（x）≥－‎2a2，此时g（a）＝－‎2a2，‎ ‎（ⅱ）当a<0时，f＝a2，‎ 若x>a，则由①知f（x）≥a2，‎ 若x≤a，由②知，此时g（a）＝a2，‎ 综上，得g（a）＝；‎ 技巧点拨：‎ 在解答本题时有两点容易造成失分：‎ 一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论。‎ 除此以外，解决函数问题时，以下几点也容易造成失分：‎ ‎1. 含绝对值的问题，去绝对值符号，易出现计算错误；‎ ‎2. 分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较大小；‎ 4‎ ‎3. 解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻。‎ 4‎