专题32 等比数列及其前n项和-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析 23页

专题32等比数列及其前n项和 最新考纲 ‎1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．‎ ‎2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．‎ ‎3.了解等比数列与指数函数的关系.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．‎ ‎2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．‎ ‎3．等比中项 如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，称G为a，b的等比中项．‎ ‎4．等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.‎ ‎(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．‎ ‎5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.‎ ‎【知识拓展】‎ 等比数列{an}的单调性 ‎(1)满足或时，{an}是递增数列．‎ ‎(2)满足或时，{an}是递减数列．‎ ‎(3)当时，{an}为常数列．‎ ‎(4)当q<0时，{an}为摆动数列．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】等比数列基本量的运算 ‎【典型例题】‎ 在等比数列{an}中，，则公比q的值为（　　）‎ A．3 B． C．2或 D．3或 ‎【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，，‎ 则有2q，变形可得q2q+1＝0，‎ 解可得：q＝3或，‎ 故选：D． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知公比大于0的等比数列{an}满足a1＝3，前三项和S3＝21，则a2+a3+a4＝（　　）‎ A．21 B．‎42 ‎C．63 D．84‎ ‎【解答】解：3（1+q+q2），即q2+q﹣6＝0，解得q＝2或q＝﹣3（舍），所以a2+a3+a4＝qS3＝2×21＝42．‎ 故选：B． ‎ 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，‎ an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．‎ ‎【题型二】等比数列的判定与证明 ‎【典型例题】‎ 已知数列{an}的前n项和为sn满足：．‎ ‎（I）已知数列{cn}满足cn＝an+2，求证数列{cn}为等比数列；‎ ‎（II）若数列{bn}满足，Tn为数列的前n项和，证：．‎ ‎【解答】解：（I）∵Sn＝2an﹣2n，‎ 当n∈N*时，Sn＝2an﹣2n，①‎ 当n＝1时，S1＝‎2a1﹣2，则a1＝2，‎ 则当n≥2，n∈N*时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2（n﹣1）．②‎ ‎①﹣②，得an＝2an﹣2an﹣1﹣2，‎ 即an＝2an﹣1+2，‎ ‎∴an+2＝2（an﹣1+2）‎ ‎∵cn＝an+2即cn＝2cn﹣1，‎ ‎∴2，‎ ‎∴{cn}是以a1+2＝4为首项，以2为公比的等比数列．‎ ‎（II）由（Ⅰ）得出an+2＝4•2n﹣1＝2n+1‎ ‎∴n+1，‎ ‎∴‎ Tn Tn 两式相减Tn ‎ ‎ ‎ ‎ Tn，Tn+1﹣Tn0，‎ ‎∴Tn的最小值为T1‎ ‎∴． ‎ ‎【再练一题】‎ 在数列{an}中，已知an+1an＝2an﹣an+1．且a1＝2（n∈N*）．‎ ‎（1）求证：数列{1}是等比数列；‎ ‎（2）设bn＝an2﹣an，且Sn为{bn}的前n项和，试证：2≤Sn＜3．‎ ‎【解答】证明：（1）由an+1an＝2an﹣an+1，得，‎ 即，∴，‎ ‎∵a1＝2，∴0．‎ ‎∴，‎ 即数列{1}是等比数列；‎ ‎（2）∵{1}是等比数列，且首项为，公比为，‎ ‎∴，则．‎ ‎∴bn＝an2﹣an．‎ ‎∵b1＝2，，‎ ‎∴Sn＝b1+b2+…+bn≥2；‎ 又（n≥2），‎ ‎∴Sn＝b1+b2+…+bn．‎ ‎∴2≤Sn＜3． ‎ 思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．‎ ‎(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．‎ ‎【题型三】等比数列性质的应用 ‎【典型例题】‎ 设{an}为等比数列，给出四个数列：①{2an}；②{an2}；③；④{log2|an|}，其中一定为等比数列的是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．②④‎ ‎【解答】解：{an}为等比数列，设其公比为q，则通项为，‎ 所以对于①，2an是以‎2a1为首项，以q为公比的等比数列，‎ 对于②，为常数，又因为0，故②为等比数列，‎ 对于③，，不一定为常数，‎ 对于④，，不一定为常数，‎ 故选：A． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知数列{an}为等比数列，且a‎8a9a10＝﹣a132＝﹣1000，则a‎10a12＝　　 ．‎ ‎【解答】解：根据题意，等比数列{an}满足a‎8a9a10＝﹣a132＝﹣1000，‎ 则有（a9）3＝﹣1000，则a9＝﹣10，‎ a132＝1000，则a13＝±10，‎ 又由a13＝a9q4＜0，则a13＝﹣10，‎ 则a‎10a12＝a‎9a13＝100；‎ 故答案为：100．‎ 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类：‎ ‎(1)通项公式的变形．‎ ‎(2)等比中项的变形．‎ ‎(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．‎ 基础知识训练 ‎1．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试】在等比数列中，，，则（ ）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设等比数列的公比为，因为，所以，‎ 又，所以.‎ 故选A ‎2．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试】已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（　　）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为，所以，‎ 故，因为正项等比数列，故，所以，故选C.‎ ‎3．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知等比数列的公比，该数列前9项的乘积为1，则（ ）‎ A．8 B．‎16 ‎C．32 D．64‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由已知 ，又 ，所以 ，即，所以 ， ，故选B.‎ ‎4．【内蒙古2019届高三高考一模试卷】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得,,,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为（ ）‎ A．　 B．　 C．　 D．　‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：设“衰分比”为,甲衰分得石,‎ 由题意得,‎ 解得,,．‎ 故选：A．‎ ‎5．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为‎10升，则马主人应偿还( )升粟？‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，‎ 由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且 则，解得，‎ 所以马主人要偿还的量为：，‎ 故选D.‎ ‎6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】在等比数列中，，，则（ ）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为＝q4，‎ 所以q8+q4＝20，‎ 所以q4＝4或q4＝﹣5（舍），‎ 所以q2＝2，‎ ‎＝1，‎ 所以．‎ 故选：B．‎ ‎7．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)】若等比数列的各项均为正数，，，则（ ）‎ A． B． C．12 D．24‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：数列是等比数列，各项均为正数，，‎ 所以，‎ 所以．‎ 所以，‎ 故选：D．‎ ‎8．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模)】已知等比数列中，，前三项之和，则公比的值为（ ）‎ A．1 B． C．1或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 等比数列中，，前三项之和，‎ 若，，，符合题意；‎ 若，则，‎ 解得，即公比的值为1或，故选C.‎ ‎9．【黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试】在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则 的值为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为等差数列中，所以，‎ 因为各项不为零，所以，‎ 因为数列是等比数列，所以 所以，故选C.‎ ‎10．【湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2019届高三高考模拟（二)】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 是等比数列 ‎ 是等差数列 ‎ 本题正确选项：‎ ‎11．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考】已知函数，若等比数列满足，则（ ）‎ A．2019 B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 为等比数列，则 即 ‎12．如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为．现用米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 记由外到内的第个正方形的边长为，则.‎ ‎.‎ 令，解得 ‎，故可制作完整的正方形的个数最多为个. 应选B.‎ ‎13．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷】已知等比数列满足，且，则＝_______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴，则＝2‎ ‎∴．‎ 故答案为：8‎ ‎14．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为____．‎ ‎【答案】1023‎ ‎【解析】‎ 因为，故即（），而，‎ 所以为等比数列，故，‎ 所以，填.‎ ‎15．【苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)】已知正项等比数列的前项和为．若，则取得最小值时，的值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，得：q≠1，所以，‎ 化简得：，即，即，得，‎ 化简得＝＝，‎ 当，即时，取得最小值，‎ 所以＝‎ 故答案为：‎ ‎16．【山东省聊城市2019届高三三模】已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 正项等比数列满足，‎ ‎，‎ 整理，得，又，解得，，‎ 存在两项，使得，‎ ‎，‎ 整理，得，‎ ‎，‎ 则的最小值为2．‎ 当且仅当取等号，又，．，‎ 所以只有当，时，取得最小值是2．‎ 故答案为：2‎ ‎17．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】等差数列中，且，，成等比数列，数列前20项的和____‎ ‎【答案】200或330‎ ‎【解析】‎ 设数列的公差为，则，‎ ‎，‎ 由成等比数列，得，‎ 即，‎ 整理得，解得或，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 于是，‎ 故答案为200或330.‎ ‎18．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知数列满足，则数列的前项和为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，得，‎ 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，‎ 于是，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以的前项和 ‎.‎ ‎19．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试】已知等差数列的前项和为，且满足关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）依题意可得：设等差数列的首项，公差为，‎ 因为关于的不等式的解集为，‎ 则由得；‎ 又，∴，,‎ ‎∴.‎ ‎（2）由题意可得，，‎ 所以,‎ ‎∴.‎ ‎20．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知数列满足，‎ ‎，.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ 证明：（1）∵，∴.‎ 又∵，∴.‎ 又∵，‎ ‎∴数列是首项为2，公比为4的等比数列.‎ 解：（2）由（1）求解知，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎21．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知数列满足,，数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求证数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）当时，，故.‎ 当时，，‎ 则 ，‎ ‎，‎ 数列是首项为，公比为的等比数列.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ，‎ ‎ ，‎ ‎.‎ ‎22．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试】已知等比数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列及数列的前项和.‎ ‎（3）设，求的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ 解：（1）由题意得：，可得，，‎ 由，可得，由，可得，可得，‎ 可得;‎ ‎(2)由，可得，‎ 由，可得，可得，‎ 可得的通项公式：=，‎ 可得：‎ ‎① -②得：=，‎ 可得;‎ ‎(3)由 可得 ‎，‎ 可得：=‎ ‎==‎ 能力提升训练 ‎1．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】已知数列是等比数列，若，且公比，则实数的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选C.‎ ‎2．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研测试】已知正项等比数列满足 ，若存在两项，，使得，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：设等比数列的公比为q（q＞0），‎ ‎∵a9＝a8+‎2a7，‎ ‎∴a7q2＝a7q+‎2a7，‎ ‎∴q2﹣q﹣2＝0，‎ ‎∴q＝2或q=-1（舍），‎ ‎∵存在两项am，an使得，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ‎ 故选C.‎ ‎3．【宁夏银川市2019届高三下学期质量检测】已知等比数列的公比为，，，且，则其前4项的和为（　　）‎ A．5 B．‎10 ‎C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 等比数列的公比为，，‎ ‎，解得（舍去）或 ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎4．【湖南省2019届高三六校(长沙一中、常德一中等)联考】已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列，若正整数，满足，则( )‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题知，因为为等差数列，所以，因为，解得，从而，故选C.‎ ‎5．【2019年安徽省马鞍山市高考数学一模】数列为等比数列，若，，数列的前项和为，则　　‎ A． B． C．7 D．31‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 数列为等比数列，，，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ 数列的前项和为，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎6．【北京市平谷区2019届高三第二学期3月质量监控】‎ 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________‎ ‎【答案】192‎ ‎【解析】‎ 根据题意，记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比为的等比数列，‎ 又由6天走完378里，‎ 则S6378，‎ 解可得：a1＝192，‎ 即该人第一天走的路程为192里．‎ 故答案为：192里．‎ ‎7．【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测】已知数列是公比为的等比数列，且，若数列是递增数列，则的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由已知得，则.因为，数列是单调递增数列，所以，则，化简得，所以.‎ ‎8．【黑龙江省大庆市2019届高三第三次教学质量检测】设等比数列的前项和为.若，则__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ 设等比数列的公比为．‎ ‎①当时，不成立．‎ ‎②当时，由得，‎ 整理得，即，解得．‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎9．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测】在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 由题得，‎ 因为数列是正项递增等比数,所以，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 所以使得成立的最大正整数为9.‎ 故答案为：9‎ ‎10．【四川省2018-2019年度下期(4月)高三“联测促改”活动】已知等比数列中，‎ ‎，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设数列的公比为，则，所以， ，所以数列是首项为，公比的等比数列，所以 .‎