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- 2021-06-23 发布
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等差、等比数列的相关知识
包括等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式或可直接转化为等差、等比数列的数列。
典型例题:
例1. (2012年全国大纲卷文5分)已知数列的前项和为,则=【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】数列的通项公式和求和公式的应用。
【解析】∵,∴,即。
又∵,∴。∴,即。
∴。∴当时,是公比为的等比数列。
∴。故选B。
例2. (2012年全国课标卷理5分)已知为等比数列,,,则【 】
【答案】。
【考点】等比数列。
【解析】∵为等比数列,,,∴ 或。
由 得,即;
由 得,即。故选。
例3. (2012年北京市文5分)已知为等比数列,下面结论中正确的是【 】
A. B. C.若a1=a3,则a1=a2 D.若a3>a1,则a4>a2
【答案】B。
【考点】等比数列的基本概念,均值不等式。
【解析】本题易用排除法求解:设等比数列的公比为,则
A,当时,,此时,选项错误。
B. 根据均值不等式,有,选项正确。
C. 当时,a1=a3,但a1=a2 ,选项错误。
D. 当时,,选项错误。
故选B。
例4. (2012年安徽省文5分)公比为2的等比数列{} 的各项都是正数,且 =16,则【 】
【答案】
【考点】等比数列。
【解析】∵等比数列{} 的公比为2,且 =16,∴,即。
又∵等比数列{}各项都是正数,∴。∴。∴。故选。
例5. (2012年福建省理5分) 等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为【 】
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B。
【考点】等差数列的通项。
【解析】设等差数列{an}的公差为,根据已知条件得: 即 解得2d=4,所以d=2。故选B。
例6. (2012年辽宁省理5分)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=
【 】
(A)58 (B)88 (C)143 (D)176
【答案】B。
【考点】等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式。
【解析】在等差数列中,∵,∴。故选B。
例7. (2012年辽宁省文5分)在等差数列{an}中,已知,则=【 】
(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24
【答案】B。
【考点】等差数列的通项公式。
【解析】∵,,
∴。故选B。
例8. (2012年重庆市理5分)在等差数列中,,则的前5项和=【 】
A.7 B.15 C.20 D.25
【答案】B。
【考点】等差数列的性质。
【分析】利用等差数列的性质,可得,再利用等差数列的求和公式,即可得到结论:
∵等差数列中,,∴,
∴。故选B。[来源:学科网ZXXK]
例9. (2012年全国课标卷文5分)等比数列的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q= ▲
【答案】。
【考点】等比数列。
【解析】∵等比数列的前n项和为Sn,∴。
又∵S3+3S2=0,∴,即,解得。
例10. (2012年北京市理5分)已知为等差数列,为其前n项和。若,,则=
▲ ; ▲
【答案】1;。
【考点】等差数列
【解析】设等差数列的公差为,根据等差数列通项公式和已知,得
。
∴。
例11. (2012年广东省理5分).已知递增的等差数列满足,,则 ▲ 。
【答案】。
【考点】等差数列。
【解析】设递增的等差数列的公差为(),由得,
解得,舍去负值,。
∴。
例12. (2012年广东省文5分)若等比数列满足,则 ▲ .[来源:学§科§网]
【答案】。
【考点】等比数列的性质。
【解析】∵是等比数列,∴。∴=。
例13. (2012年江西省理5分)设数列都是等差数列,若,
,则
▲ 。
【答案】35。
【考点】等差中项的性质,整体代换的数学思想。
【解析】∵数列都是等差数列,∴数列也是等差数列。
∴由等差中项的性质,得,即,
解得。
例14. (2012年江西省文5分)等比数列的前项和为,公比不为1。若,且对任意的都有,则= ▲ 。
【答案】11
【考点】数列递推式,数列的求和。
【解析】设等比数列的公比为。
∵,∴即。
解得 =-2,或 =1(舍去)。
∴。
例15. (2012年浙江省理4分)设公比为的等比数列的前项和为.若,,则 ▲ .
【答案】。
【考点】等比数列的性质,待定系数法。
【解析】用待定系数法将,两个式子全部转化成用,q表示的式子:
,
两式作差得:,即:,解之得:或 (舍去)。
例16. (2012年辽宁省理5分)已知等比数列{an}为递增数列,且,则数列{an}的通项公式an = ▲ 。
【答案】。
【考点】等比数列的通项公式。
【解析】设等比数列{an}的公比为。
∵,∴。∴,。
又∵,∴。∴。
解得或。
又∵等比数列{an}为递增数列,∴舍去。
∴。
例17. (2012年辽宁省文5分)已知等比数列{an}为递增数列.若,且 ,则数列{an}的公比 = ▲ .
【答案】2。
【考点】等比数列的通项公式。
【解析】∵,∴,即,解得或。
∵数列为递增数列,且,∴。∴。
例18.(2012年重庆市文5分)首项为1,公比为2的等比数列的前4项和 ▲
【答案】5。
【考点】等比数列的前项和。
【分析】把已知的条件直接代入等比数列的前项和公式,运算求得结果:。
例19. (2012年山东省文12分)已知等差数列的前5项和为105,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得:,解得。
∴通项公式为。
(II)由,得,即
∵,∴是公比为49的等比数列。
∴。
【考点】等差数列和等比数列的性质。
【解析】(Ⅰ)根据已知条件不求出和即可求出数列的通项公式。
(Ⅱ)由(Ⅰ)和题设得不等式,解出后根据条件得到是公比为49的等比数列,再求和。
例20. (2012年湖北省理12分)已知等差数列前三项的和为-3,前三项的积为8.
(Ⅰ)求等差数列的通项公式;
(II)若成等比数列,求数列的前n项的和。
【答案】解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,,
由题意得 解得或
∴由等差数列通项公式可得,或。
∴等差数列的通项公式为,或。
(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列;
当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件。
∴
记数列的前项和为,
当时,;当时,;
当时,
。
当时,满足此式。
综上,
【考点】等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及基本运算。
【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为,根据等差数列前三项的和为-3,前三项的积为8列方程组求解即可。
(II)对(Ⅰ)的结果验证符合成等比数列的数列,应用等差数列前n项和公式分,,分别求解即可。
例21. (2012年湖南省理12分)已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+……+an,B(n)=a2+a3+……+an+1,C(n)=a3+a4+……+an+2,n=1,2,…… [来^&源:中教网@~%]
(Ⅰ)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{ an }的通项公式.
(Ⅱ)证明:数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.
【答案】解:(Ⅰ)∵对任意,三个数是等差数列,
∴,即,。
∵a1=1,a2=5,∴。
∴数列是首项为1,公差为4的等差数列,即。
(Ⅱ)(1)必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有。
由知,均大于0,于是
,
,
即==。
∴三个数组成公比为的等比数列。
(2)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,
则。
∴得
即。
由有即,从而。
∵,∴。
∴数列是首项为,公比为的等比数列。
综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列。
【考点】等差数列、等比数列的定义、性质,充要条件的证明。
【解析】(Ⅰ)由等差数列定义可得。
(Ⅱ)从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证。
例22. (2012年湖南省文13分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.
该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;
(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
【答案】解:(Ⅰ)由题意得,,
。
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
。
整理得 。
由题意,,∴,
解得。
∴该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元。
【考点】递推数列问题在实际问题中的应用。
【解析】(Ⅰ)建立数学模型,得出与an的关系式。
(Ⅱ)把(Ⅰ)中的迭代,即可以解决。
例23. (2012年重庆市文13分)已知为等差数列,且
(Ⅰ)求数列的通项公式(6分);
(Ⅱ)记的前项和为,若成等比数列,求正整数的值(7分)。
【答案】解:(Ⅰ)设数列 的公差为,
由题意知,解得。
∴。
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,
∵ 成等比数列,∴,
即,即 [世。纪教育网]
解得 或(舍去)。
∴。
【考点】等比数列的性质,等差数列的通项和前项和公式。
【分析】(Ⅰ)设等差数列的公差等于,则由可得关于和的二元一次方程组,解出即可求得数列的通项公式。
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得的前项和为,再由 成等比数列,得a即可求得正整数的值。
例24. (2012年陕西省文12分)已知等比数列的公比为.
(I)若,求数列的前项和;
(Ⅱ)证明:对任意,成等差数列
【答案】解:(1)由通项公式可得,得。
∴由等比数列求和公式得数列的前项和为
。
(Ⅱ)证明:∵,
∴
,
即。
∴对任意,成等差数列。[来源:Z*xx*k.Com]
【考点】等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质,等差数列的确定。
【解析】(I)由 ,以及可得 ,代入等比数列的前项和公式,运算求得结果。
(Ⅱ)对任意,化简可得=0,故成等差数列。
例25.(2012年陕西省理12分)设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.
(1)求数列的公比;
(2)证明:对任意,成等差数列.
【答案】解:(1)设数列的公比为(),
由成等差数列,得,即。
由得,解得。
∵的公比不为1,∴舍去。
∴ 。
(2)证明:∵对任意,,[来源:Z|xx|k.Com]
,
∴
∴对任意,成等差数列。
【考点】等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质。
【解析】(1)设数列的公比为(),利用成等差数列结合通项公式,可得,由此即可求得数列的公比。
(2)对任意,可证得,从而得证。
另解:对任意,
所以,对任意,成等差数列。
例26.(2012年江苏省16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:,,[来源:学#科#网Z#X#X#K]
(1)设,,求证:数列是等差数列;
(2)设,,且是等比数列,求和的值.
【答案】解:(1)∵,∴。
∴ 。∴ 。
∴数列是以1 为公差的等差数列。
(2)∵,∴。
∴。(﹡)
设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。
∴综上所述,。∴,∴。
又∵,∴是公比是的等比数列。
若,则,于是。
又由即,得。[来源:学科网ZXXK]
∴中至少有两项相同,与矛盾。∴。
∴。
∴ 。
【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。
【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证。
(2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比。
从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。
例27.(2012年上海市理4分)有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为,则 ▲ .
【答案】。
【考点】无穷递缩等比数列的极限,等比数列的通项公式。
【解析】由正方体的棱长组成以为首项,为公比的等比数列,可知它们的体积则组成了一个以1为首项,为公比的等比数列,因此,。
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