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- 2021-06-23 发布
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专题过关检测(二) 平面向量
1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4 B.3
C.2 D.0
解析:选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.
∵|a|=1,a·b=-1,∴原式=2×12+1=3.
2.已知在平面直角坐标系中,点A(0,1),向量=(-4,-3),=(-7,-4),则点C的坐标为( )
A.(11,8) B.(3,2)
C.(-11,-6) D.(-3,0)
解析:选C 设C(x,y),∵在平面直角坐标系中,点A(0,1),向量=(-4,-3),=(-7,-4),∴=+=(-11,-7),∴解得x=-11,y=-6,故C(-11,-6).
3.(2020届高三·广州调研)已知△ABC的边BC上有一点D满足=4,则可表示为( )
A.=+ B.=+
C.=+ D.=+
解析:选D 因为=4,所以=,故=+=-=-(-)=+,故选D.
4.(2019·广州检测)a,b为平面向量,已知a=(2,4),a-2b=(0,8),则a,b夹角的余弦值等于( )
A.- B.-
C. D.
解析:选B 设b=(x,y),则有a-2b=(2,4)-(2x,2y)=(2-2x,4-2y)=(0,8),所以解得故b=(1,-2),|b|=,|a|=2,cos〈a,b〉===-,故选B.
5
5.在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD为( )
A.矩形 B.菱形
C.直角梯形 D.等腰梯形
解析:选B 因为=即一组对边平行且相等,
·=0即对角线互相垂直,所以该四边形ABCD为菱形.
6.若向量=(1,2),=(4,5),且·(λ+)=0,则实数λ的值为( )
A.3 B.-
C.-3 D.-
解析:选C ∵向量=(1,2), =(4,5),
∴=+=-=(3,3),
λ+=(λ+4,2λ+5).
又·(λ+)=0,
∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0,解得λ=-3.
7.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为( )
A.- B.-3
C. D.3
解析:选C 因为点C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量在方向上的投影为||cos〈,〉===.
8.在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,若=a,=b,则向量=( )
A.a+b B.-a-b
C.-a+b D.a-b
5
解析:选C =+=-=-(+)=-a+b.
9.若非零向量a,b满足a⊥(2a+b),且a与b的夹角为,则=( )
A. B.
C. D.2
解析:选B ∵a⊥(2a+b),且a与b的夹角为,
∴a·(2a+b)=2a2+a·b=2|a|2-|a||b|=0.
又|a|≠0,|b|≠0,∴2|a|=|b|,
∴=,故选B.
10.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )
A.- B.-
C.+ D.+
解析:选A 法一:作出示意图如图所示.=+=+=×(+)+(-)=-.故选A.
法二:不妨设△ABC为等腰直角三角形,且∠A=,AB=AC=1.建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C(0,1),D,E.故=(1,0),=(0,1),=(1,0)-=,即=-.
11.(2020届高三·安徽五校联考)已知O是△ABC内部一点,且满足++
5
=0,又·=2,∠BAC=60°,则△OBC的面积为( )
A. B.3
C.1 D.2
解析:选C 由·=2,∠BAC=60°,可得·=||·||cos ∠BAC=||||=2,所以||||=4,所以S△ABC=||||·sin ∠BAC=3,又++=0,所以O为△ABC的重心,所以S△OBC=S△ABC=1,故选C.
12.在△ABC中,∠A=120°,·=-3,点G是△ABC的重心,则||的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析:选B 设BC的中点为D,
因为点G是△ABC的重心,
所以==×(+)=(+),
再令||=c,||=b,
则·=bccos 120°=-3⇒b·c=6,
所以||2=(||2+2·+||2)=(c2+b2-6)≥(2bc-6)=,所以||≥,当且仅当b=c=时取等号.故选B.
13.(2019·石家庄质检)已知向量a=(x,2),b=(2,1),c=(3,2x),若a⊥b,则|b+c|=________.
解析:∵a⊥b,a=(x,2),b=(2,1),∴2x+2=0,∴x=-1,∴c=(3,-2),∴b+c=(5,-1),∴|b+c|=.
答案:
14.已知向量a,b满足a=(1,),|b|=1,|a+b|=,则a,b的夹角为________.
解析:由题意得|a|==2,
5
因为|a+b|=,所以a2+2a·b+b2=3,
设a,b的夹角为α,
则4+1+2×2×1×cos α=3,
所以cos α=-,所以α=.
答案:
15.在△ABC中,N是AC边上一点且=,P是BN上一点,若=m+,则实数m的值是________.
解析:如图,因为=,所以=,所以=m+=m+.因为B,P,N三点共线,所以m+=1,则m=.
答案:
16.在矩形ABCD中,AB=2,AD=1.边DC上的动点P(包含点D,C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||=||,则·的最小值为________.
解析:以点A为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
设P(x,1),Q(2,y),
由题意知0≤x≤2,-2≤y≤0.
∵||=||,
∴|x|=|y|,∴x=-y.
∵=(-x,-1),=(2-x,y-1),
∴·=-x(2-x)-(y-1)=x2-2x-y+1=x2-x+1=2+,
∴当x=时,·取得最小值,为.
答案:
5
5
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