2021高考数学新高考版一轮习题：专题5 第41练 平面向量的应用 Word版含解析 6页

‎1．(2020·河北大名模拟)在四边形ABCD中，若＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　)‎ A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 ‎2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎3．(2019·重庆南开中学模拟)已知O为△ABC内一点且满足＋＋＝0，若△AOC的面积为，·＝－2，则∠ABC等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．(2019·济南月考)已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足＝λ(λ∈R)，则直线AP必经过△ABC的(　　)‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 ‎5．已知△ABC的面积为2，P，Q分别是AC，AB上一点，且满足＋＝0，||＝2||，则△APQ的面积为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎6．(2020·辽宁省部分重点高中联考)设向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(b＋a－c)＝0，则|c|的最大值等于(　　)‎ A．1 B．2 C．1＋ D. ‎7．(多选)已知向量m＝(2cos2x，)，n＝(1，sin 2x)，设函数f (x)＝m·n，则下列关于函数y＝f (x)性质的描述正确的是(　　)‎ A．关于直线x＝对称 B．关于点对称 C．最小正周期为 D．y＝f (x)在上是增函数 ‎8．(多选)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ可取的整数值为(　　)‎ A．3 B．2 C．1 D．－1‎ ‎9．一条河的两岸平行，河的宽度为560 m，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度|v1|＝6 km/h，水流速度|v2|＝2 km/h，则行驶航程最短时，所用时间是________min(精确到1min)．‎ ‎10．(2020·福州质检)若向量a＝(1,1)与b＝(λ，－2)的夹角为钝角或平角，则λ的取值范围是________．‎ ‎11．在△ABC中，AB＝5，AC＝10，·＝25，点P是△ABC内(包括边界)的一动点，且＝A－λ(λ∈R)，则||的最小值是(　　)‎ A. B. C．3 D. ‎12．已知O是△ABC内一点，且＋＋＝0，点M在△OBC内(不含边界)，若＝λ＋μ，则λ＋2μ的取值范围是(　　)‎ A. B．(1,2)‎ C. D. ‎13．(2019·湖南衡阳市八中期中)如图，已知圆M：(x－4)2＋(y－4)2＝4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，·的取值范围是(　　)‎ A．[－8，8] B．[－8,8]‎ C．[－4，4] D．[－4,4]‎ ‎14．(2019·安徽涡阳第一中学月考)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则(＋)·的最大值为(　　)‎ A. B．8 C. D．5‎ ‎15．已知向量a，b满足：|a＋4b|＝3，|2a－3b|＝2，当|a－7b|取最大值时，＝________.‎ ‎16．已知非零向量a，b，c满足：(a－2c)·(b－2c)＝0，且不等式|a＋b|＋|a－b|≥λ|c|恒成立，则实数λ的最大值为__________．‎ 答案精析 ‎1．A　2.B　3.A　4.D　5.C　6.D　7.AD ‎8．ABC　9.6　10.(－∞，2)‎ ‎11．C　[依题意得·＝5×10cos A＝25⇒cos A＝⇒A＝.由余弦定理得BC＝5，故△ABC为直角三角形．设AD＝AB，过D作DP′∥AC，交BC于P′，过P′作EP′∥AB，交AC于E.由于＝－λ(λ∈R)，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，P点位于线段DP′上，由图可知||最短为||，‎ 所以||min＝||＝3.]‎ ‎12．B　[因为O是△ABC内一点，且＋＋＝0，‎ 所以O为△ABC的重心，‎ M在△OBC内(不含边界)，且当M与O重合时，λ＋2μ最小，此时，＝λ＋μ ‎＝× ‎＝＋，‎ 所以λ＝，μ＝，即λ＋2μ＝1.‎ 当M与C重合时，λ＋2μ最大，此时，‎ ＝，所以λ＝0，μ＝1，即λ＋2μ＝2.‎ 因为M在△OBC内且不含边界，所以取开区间，即λ＋2μ∈(1,2)．]‎ ‎13．B　[由题意可得＝＋，‎ ‎∴·＝·(＋)＝·＋·.‎ ‎∵⊥，∴·＝0，∴·＝·，‎ ‎∵圆M的半径为2，∴||＝，‎ 又||＝＝4，∴·＝||·||·cos〈，〉‎ ‎＝8cos〈，〉，‎ ‎∵cos〈，〉∈[－1,1]，‎ ‎∴·∈[－8,8]．]‎ ‎14．C　[因为∠A＝90°，所以以，的方向为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，所以A(0，0)，B(2,0)，C(0，4)，∴D(1,2)，P(x，y)，‎ 设＝λ(0≤λ≤1)，则(x，y)＝λ(1,2)，‎ 所以x＝λ，y＝2λ，‎ 所以P(λ，2λ)，＝(2－λ，－2λ)，＝(－λ，4－2λ)，‎ 所以(＋)· ‎＝(2－2λ，4－4λ)·(λ，2λ)‎ ‎＝－10λ2＋10λ＝－102＋，所以当λ＝时，(＋)·的最大值为.]‎ ‎15. ‎16．4‎ 解析　方法一　作出相关图形，设＝a，＝b，由于(a－2c)·(b－2c)＝0，‎ 所以(a－2c)⊥(b－2c)，且这两个向量共起点，所以2c的终点在以AB为直径的圆上，可设＝2c，所以由图可知a＋b＝，a－b＝，所以|a＋b|＋|a－b|≥λ|c|，等价于λ≤，‎ ＝4· ‎＝4·≥4·＝4，所以λ≤4.‎ 方法二　(特殊值法)‎ 不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则a－2c＝(1－2x，－2y)，b－2c＝(－2x，1－2y)，|a＋b|＝|a－b|＝，由(a－2c)·(b－2c)＝0，可得－2x(1－2x)－2y(1－2y)＝0，整理得2＋2＝，可得圆的参数方程为(θ为参数)，则|a＋b|＋|a－b|≥λ|c|相当于λ≤恒成立，即求得λ≤min，‎ 即求|c|的最大值即可，|c|＝ ＝ ，‎ 所以|c|max＝，因此λ≤4.‎