2014年广东省高考数学试卷（理科） 21页

‎2014年广东省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（　　）‎ A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，1}‎ ‎2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（　　）‎ A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i ‎3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（　　）‎ A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 ‎5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（　　）‎ A．（﹣1，1，0） B．（1，﹣1，0） C．（0，﹣1，1） D．（﹣1，0，1）‎ ‎6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（　　）‎ A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10‎ ‎7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（　　）‎ A．l1⊥l4 B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 ‎8．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（　　）‎ A．60 B．90 C．120 D．130‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）‎ ‎9．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为　 　．‎ ‎10．（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为　 　．‎ ‎11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为　 　．‎ ‎12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=　 　．‎ ‎13．（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=　 　．‎ ‎　‎ ‎（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】‎ ‎14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为　 　．‎ ‎　‎ ‎【几何证明选讲选做题】‎ ‎15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．‎ ‎（1）求A的值；‎ ‎（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．‎ ‎17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：‎ 分组 频数 频率 ‎[25，30]‎ ‎3‎ ‎0.12‎ ‎（30，35]‎ ‎5‎ ‎0.20‎ ‎（35，40]‎ ‎8‎ ‎0.32‎ ‎（40，45]‎ n1‎ f1‎ ‎（45，50]‎ n2‎ f2‎ ‎（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；‎ ‎（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；‎ ‎（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．‎ ‎18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．‎ ‎（1）证明：CF⊥平面ADF；‎ ‎（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．‎ ‎19．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．‎ ‎（1）求a1，a2，a3的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．‎ ‎21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．‎ ‎（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；‎ ‎（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；‎ ‎（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．‎ ‎　‎ ‎2014年广东省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（　　）‎ A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，1}‎ ‎【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，‎ ‎∴M∪N={﹣1，0，1，2}，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（　　）‎ A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i ‎【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=2x+y，得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，‎ 直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，‎ 由，解得，‎ 即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，‎ 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，‎ 直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，‎ 由，解得，‎ 即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，‎ 则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（　　）‎ A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 ‎【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，‎ 即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，‎ 曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，‎ 即两个双曲线的焦距相等，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（　　）‎ A．（﹣1，1，0） B．（1，﹣1，0） C．（0，﹣1，1） D．（﹣1，0，1）‎ ‎【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），‎ A．若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件．‎ B．若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件．‎ C．若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件．‎ D．若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（　　）‎ A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10‎ ‎【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数．‎ ‎【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，‎ ‎∴样本容量=10000×2%=200，‎ 分层抽样抽取的比例为，‎ ‎∴高中生抽取的学生数为40，‎ ‎∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥‎ l4，则下列结论一定正确的是（　　）‎ A．l1⊥l4 B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 ‎【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定．‎ ‎【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，‎ 又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定．‎ 故A、B、C错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（　　）‎ A．60 B．90 C．120 D．130‎ ‎【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论xi所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．‎ ‎【解答】解：由于|xi|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：‎ ‎①xi中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；‎ ‎②xi中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；‎ ‎③xi中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：．‎ ‎∴总共方法数是++=130．‎ 即元素个数为130．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）‎ ‎9．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为　（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）　．‎ ‎【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或 ②，或 ③．‎ 解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈∅，解③求得x≥2．‎ 综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），‎ 故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为　y=﹣5x+3．　．‎ ‎【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程．‎ ‎【解答】解；y′=﹣5e﹣5x，∴k=﹣5，‎ ‎∴曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3．‎ 故答案为：y=﹣5x+3‎ ‎【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为　　．‎ ‎【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论 ‎【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C107种方法，‎ 若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的．比较基础．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=　2　．‎ ‎【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．‎ ‎【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，‎ 即sin（B+C）=2sinB，‎ ‎∵sin（B+C）=sinA，‎ ‎∴sinA=2sinB，‎ 利用正弦定理化简得：a=2b，‎ 则=2．‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=　50　．‎ ‎【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，‎ ‎∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，‎ ‎∴a10a11=e5，‎ ‎∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10‎ ‎=ln（e5）10=lne50=50．‎ 故答案为：50．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】‎ ‎14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为　（1，1）　．‎ ‎【分析】首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标．‎ ‎【解答】解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，‎ 化为普通方程为：y2=x，‎ 曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，‎ 联立，‎ 即交点的直角坐标为（1，1）．‎ 故答案为：（1，1）．‎ ‎【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题 ‎　‎ ‎【几何证明选讲选做题】‎ ‎15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=　9　．‎ ‎【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用△CDF∽△AEF，可求．‎ ‎【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴△CDF∽△AEF，‎ ‎∴=（）2=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．‎ ‎（1）求A的值；‎ ‎（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．‎ ‎【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．‎ ‎（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由 θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ） 的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．‎ ‎∴Asin（+）=Asin=A•=，‎ ‎∴A=．‎ ‎（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），‎ ‎∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sincosθ=cosθ=，‎ ‎∴cosθ=，再由 θ∈（0，），可得sinθ=．‎ ‎∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：‎ 分组 频数 频率 ‎[25，30]‎ ‎3‎ ‎0.12‎ ‎（30，35]‎ ‎5‎ ‎0.20‎ ‎（35，40]‎ ‎8‎ ‎0.32‎ ‎（40，45]‎ n1‎ f1‎ ‎（45，50]‎ n2‎ f2‎ ‎（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；‎ ‎（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；‎ ‎（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．‎ ‎【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；‎ ‎（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；‎ ‎（3）利用对立事件可求概率．‎ ‎【解答】解：（1）（40，45]的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50]的频数n2=2，频率f2=0.08；‎ ‎（2）频率分布直方图：‎ ‎（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，‎ 已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，‎ ‎∴P（A）==，‎ ‎∴P（）=1﹣P（A）=，‎ ‎∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为．‎ ‎【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．‎ ‎（1）证明：CF⊥平面ADF；‎ ‎（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．‎ ‎【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；‎ ‎（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，‎ 又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，‎ ‎∴AD⊥PC，又AF⊥PC，‎ ‎∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；‎ ‎（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，‎ ‎∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，‎ ‎∴DF=，AF==，‎ ‎∴CF==，又FE∥CD，‎ ‎∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，‎ 如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）‎ 设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，‎ ‎∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），‎ 由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），‎ 设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，‎ cosθ=|cos＜，＞|===‎ ‎∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：‎ ‎【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．‎ ‎（1）求a1，a2，a3的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1，a2；‎ ‎（2）由（1）中求得的a1，a2，a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明．‎ ‎【解答】解：（1）由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：‎ S2=4a3﹣20 ①‎ 又S3=S2+a3=15 ②‎ 联立①②解得：a3=7．‎ 再在Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：‎ a1=2a2﹣7 ③‎ 又S3=a1+a2+7=15 ④‎ 联立③④得：a2=5，a1=3．‎ ‎∴a1，a2，a3的值分别为3，5，7；‎ ‎（2）∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1．‎ 由此猜测an=2n+1．‎ 下面由数学归纳法证明：‎ ‎1、当n=1时，a1=3=2×1+1成立．‎ ‎2、假设n=k时结论成立，即ak=2k+1．‎ 那么，当n=k+1时，‎ 由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，得，‎ ‎，‎ 两式作差得：．‎ ‎∴‎ ‎==2（k+1）+1．‎ 综上，当n=k+1时结论成立．‎ ‎∴an=2n+1．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得．‎ ‎（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1•k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，‎ ‎∴椭圆的方程为+=1．‎ ‎（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，‎ ‎②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，‎ ‎+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，‎ ‎∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，‎ 整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，‎ ‎∴﹣1=k1•k2==﹣1，‎ ‎∴x02+y02=13．‎ 把点（±3，±2）代入亦成立，‎ ‎∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．‎ ‎（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；‎ ‎（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；‎ ‎（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．‎ ‎【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域．‎ ‎（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论．‎ ‎（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集．‎ ‎【解答】解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，‎ 要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，‎ 即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，‎ 则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，‎ ‎∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，‎ 由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，‎ 由②解得﹣＜x+1＜，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，‎ 综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）．‎ ‎（2）f′（x）==‎ ‎=﹣，‎ 由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0‎ 解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，‎ 即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），‎ 同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）．‎ ‎（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，‎ 则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，‎ ‎∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0‎ 即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，‎ ‎∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，‎ ‎∵k＜﹣6，‎ ‎∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），‎ ‎∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f（﹣1+），‎ 且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），‎ 由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f（1）的集合为：‎ ‎（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）．‎ ‎【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎