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- 2021-06-23 发布
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【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（理科）5【附详细答案和解析_可编辑】
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）
1. 命题p:x<-1，则命题p的一个充分不必要条件为( )
A.x<-1 B.x<2 C.-6y是x2>y2使得成立的必要不充分条件
C.设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“¬(p∧q)”为真命题
D.命题“在三角形ABC中，若sinA>sinB为假命题，则cosA20，若x+i2是纯虚数（其中i为虚数单位），则x=________.
7. 直线l1:3x-y=1到与直线l2:3x-y=11的距离为________．
8.
表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数x¯，则x¯的值为________.
数据
[12, 5, 15.5)
[15.5, 18.5)
[18.5, 21.5)
[21, 5, 24.5)
频数
2
1
3
4
9. 若函数f(x)=3x(x≥0)的反函数是f-1(x)，则不等式f-1(x)>f(x)的解集为________．
10. 二面角α-l-β的大小是60∘，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45∘，则AB与平面β所成的角的余弦值是________．
11. 已知α∈(-π2,π2)，tanα＝sin76∘cos46∘-cos76∘sin46∘，则sinα＝________
12. 设 a=0πsinxdx ax-x6 的展开式中的常数项为________（用数字填写）
13. △ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b+c)(b-c)=a(b-a)，则内角C等于________.
14. 已知f(x)是定义在(-π2,π2)上的奇函数，其导函数为f'(x)，f(π8)=2，且当x∈(0,π2)时，f'(x)sin2x+2f(x)cos2x>0．则不等式f(x)sin2x<1的解集为________．
15. 无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和．若对任意n∈N*，Sn∈{2, 3}，则k的最大值为________．
16. 在△ABC中，AB=2，AC=3，AB→⋅AC→=1，则BC=________．
17. 若cosx+siny=14，则sin2x-siny的取值范围是________．
18. 给出下列命题：①已知a→⊥b→，则a→⋅(b→+c→)+c⋅→(b→-a→)=b→⋅c→；②A，B，M，N为空间四点，若BA→，BM→，BN→不构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；③已知a→⊥b→，则a→，b→
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与任何向量都不构成空间的一个基底；④若a→，b→共线，则a→，b→所在直线或者平行或者重合．正确的结论为________．
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 14 分 ，共计70分 ， ）
19. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上一点.
(1)若点E是棱AB的中点，求A1D与CE所成的角.
(2)当点E在棱AB上移动时,求三棱锥D-D1CE的体积是否发生变化?若变化说明理由:若不变,求这个三棱锥的体积
20. 有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1, 0)，如图
(1)求菜地内的分界线C的方程；
(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为83．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．
21. 已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F2的直线交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于62，求直线l的方程．
22. 已知a∈R，函数f(x)=log2(1x+a)．
(1)当a=5时，解不等式f(x)>0；
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；
(3)设a>0，若对任意t∈[12, 1]，函数f(x)在区间[t, t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
23. 数列{an}的前n项和为Sn，2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，19成等差数列.
(1)求a1的值；
(2)证明{an2n+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(3)设bn=log3(an+2n)，若对任意的n∈N*，不等式bn(1+n)-λn(bn+2)-6<0恒成立，试求实数λ的取值范围．
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参考答案与试题解析
【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（理科）5【附详细答案和解析_可编辑】
一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
1.【答案】
D
【解答】
解：观察选项，只有-5y，不能推出x2>y2，如x=1，y=-2，
x2>y2，不能推出实数x>y，
则实数x>y，是x2>y2成立的既不充分也不必要条件，B选错误，
C.设p，q为简单命题，若p或q为假命题，则p、q均是假命题，
所以p且q为假命题，则p且q的否定为真命题，故C正确，
D.命题“在三角形ABC中，sinA>sinB,则cosA20，∴ x=1.
故答案为：1.
7.【答案】
10
【解答】
解：∵ l1:3x-y-1=0，l2:3x-y-11=0
由两直线的距离公式可得，d=|-1+11|10=10
故答案为：10
8.【答案】
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19.7
【解答】
解：根据题意，样本容量为10，
则x¯=110×(14×2+17×1+20×3+23×4)=19.7．
故答案为：19.7.
9.【答案】
{x|x>1}
【解答】
设y＝f(x)=3x(x≥0)，
则x＝y3，x，y互换，得f-1(x)＝x3，x≥0，
∵ f-1(x)>f(x)，
∴ x3>3x，∴ x9>x，∴ x8>1，
解得x>1．
∴ 不等式f-1(x)>f(x)的解集为{x|x>1}．
10.【答案】
104
【解答】
过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．
连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，
因此，∠ADC为二面角α-l-β的平面角，∠ADC＝60∘
又∵ AB与l所成角为45∘，
∴ ∠ABD＝45∘
连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，
∴ ∠ABC为AB与平面β所成的角．
设AD＝2x，则Rt△ACD中，AC＝ADsin60∘=3x，
Rt△ABD中，AB=ADsin45=22x，BC=(22x)2-(3x)2=5x，
∴ Rt△ABC中，cos∠ABC=BCAB=5x22x=104．
11.【答案】
55
【解答】
∵ tanα＝sin76∘cos46∘-cos76∘sin46∘＝sin(76∘-46∘)＝sin30∘=12，
即sinαcosα=12，∴ cosα＝2sinα，
又sin2α+cos2α＝1，解得sinα=55．
12.【答案】
【解答】
此题暂无解答
13.【答案】
π3
【解答】
解：∵ 根据题意得b2-c2=ab-a2,
即b2+a2-c2=ab.
∵ cosC=a2+b2-c22ab，
∴ cosC=ab2ab=12，
∴ C=π3.
故答案为：π3.
14.【答案】
(-π8, π8)
【解答】
解：已知f(x)是定义在(-π2,π2)上的奇函数，
其导函数为f'(x)，f(π8)=2，
令F(x)=f(x)sin2x(00．
则F'(x)=f'(x)sin2x+2f(x)cos2x>0(00得log2(1x+5)>0，
即1x+5>1，则1x>-4，则1x+4=4x+1x>0，
则x>0或x<-14，
即不等式的解集为{x|x>0或x<-14}．
(2)由f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0，
得log2(1x+a)-log2[(a-4)x+2a-5]=0．
即log2(1x+a)=log2[(a-4)x+2a-5]，
即1x+a=(a-4)x+2a-5>0，①
则(a-4)x2+(a-5)x-1=0，
即(x+1)[(a-4)x-1]=0，②
当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，成立，
当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，成立，
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=1a-4，
若x=-1是方程①的解，则1x+a=a-1>0，即a>1，
若x=1a-4是方程①的解，则1x+a=2a-4>0，即a>2，
则要使方程①有且仅有一个解，则10得log2(1x+5)>0，
即1x+5>1，则1x>-4，则1x+4=4x+1x>0，
则x>0或x<-14，
即不等式的解集为{x|x>0或x<-14}．
(2)由f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0，
得log2(1x+a)-log2[(a-4)x+2a-5]=0．
即log2(1x+a)=log2[(a-4)x+2a-5]，
即1x+a=(a-4)x+2a-5>0，①
则(a-4)x2+(a-5)x-1=0，
即(x+1)[(a-4)x-1]=0，②
当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，成立，
当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，成立，
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=1a-4，
若x=-1是方程①的解，则1x+a=a-1>0，即a>1，
若x=1a-4是方程①的解，则1x+a=2a-4>0，即a>2，
则要使方程①有且仅有一个解，则11时，由于对称轴n=-1-2λ2(1-λ)<0，
则f(n)在[1, +∞)上单调递减，
f(n)≤f(1)=-3λ-4<0恒成立，则λ>1满足条件，
综上所述，实数λ的取值范围是[1, +∞)．
【解答】
(1)解：在2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*中，
令n=1，得2S1=a2-22+1，
即a2=2a1+3，①
又2(a2+5)=a1+19，②
则由①②解得a1=1.
(2)证明：当n≥2时，有2Sn=an+1-2n+1+1，③2Sn-1=an-2n+1，④
③-④得2an=an+1-an-2n，
∴ an+12n+1+1=32(an2n+1).
又a121+1=32，
∴ 数列{an2n+1}是以32为首项，32为公比的等比数列，
∴ an2n+1=32×(32)n-1，
解得an=3n-2n．
(3)解：由(2)可知，bn=log3(an+2n)=n，
当bn(1+n)-λn(bn+2)-6<0恒成立时，
即(1-λ)n2+(1-2λ)n-6<0(n∈N*)恒成立．
设f(n)=(1-λ)n2+(1-2λ)n-6(n∈N*)，
当λ=1时，
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f(n)=-n-6<0恒成立，则λ=1满足条件；
当λ<1时，由二次函数性质知不恒成立；
当λ>1时，由于对称轴n=-1-2λ2(1-λ)<0，
则f(n)在[1, +∞)上单调递减，
f(n)≤f(1)=-3λ-4<0恒成立，则λ>1满足条件，
综上所述，实数λ的取值范围是[1, +∞)．
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