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- 2021-06-23 发布
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§
14.1
坐标系与参数方程
课时
1
坐标系
[
考纲要求
]
1.
理解坐标系的作用,了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况
.2.
了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置
.3.
理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化
.4.
能在极坐标系中给出简单图形
(
如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆
)
的方程,通过比较这些图形在极坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
2
.
极坐标系
(1)
极坐标系的概念
①
极坐标系
如图所示,在平面内取一个
_____
O
,点
O
叫做极点,自极点
O
引一条
_____
Ox
,
Ox
叫做极轴;再选定一个
_________
、一个
___________
(
通常取弧度
)
及其正方向
(
通常取逆时针方向
)
,这样就建立了一个极坐标系.
定点
射线
长度单位
角度单位
②
极坐标
一般地,没有特殊说明时,我们认为
ρ
≥
0
,
θ
可取任意实数.
③
点与极坐标的关系
一般地,极坐标
(
ρ
,
θ
)
与
_________________
表示同一个点,特别地,极点
O
的坐标为
____________
,和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有
______
种表示.
(
ρ
,
θ
+
2
k
π
)(
k
∈
Z)
(0
,
θ
)(
θ
∈
R)
无数
如果规定
ρ
>
0
,
0
≤
θ
<
2
π
,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标
______
表示;同时,极坐标
(
ρ
,
θ
)
表示的点也是唯一确定的.
(
ρ
,
θ
)
3
.
常见曲线的极坐标方程
3
.在以
O
为极点的极坐标系中,圆
ρ
=
4sin
θ
和直线
ρ
sin
θ
=
a
相交于
A
,
B
两点.当
△
AOB
是等边三角形时,求
a
的值.
【
解析
】
由
ρ
=
4sin
θ
可得
x
2
+
y
2
=
4
y
,即
x
2
+
(
y
-
2)
2
=
4.
由
ρ
sin
θ
=
a
可得
y
=
a
.
题型一 极坐标与直角坐标的互化
【
例
1
】
(1)
以直角坐标系的原点为极点,
x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求线段
y
=
1
-
x
(0
≤
x
≤
1)
的极坐标方程.
(2)
在极坐标系中,曲线
C
1
和
C
2
的方程分别为
ρ
sin
2
θ
=
cos
θ
和
ρ
sin
θ
=
1.
以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为
x
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线
C
1
和
C
2
交点的直角坐标.
【
方法规律
】
(1)
极坐标与直角坐标互化的前提条件:
①
极点与原点重合;
②
极轴与
x
轴的正半轴重合;
③
取相同的单位长度.
(2)
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式
x
=
ρ
cos
θ
及
y
=
ρ
sin
θ
直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如
ρ
cos
θ
,
ρ
sin
θ
,
ρ
2
的形式,进行整体代换.
【
答案
】
2
题型二 求曲线的极坐标方程
【
例
2
】
(2017·
南通二模
)
将圆
x
2
+
y
2
=
1
上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的
2
倍,得曲线
C
.
(1)
写出曲线
C
的方程;
(2)
设直线
l
:
2
x
+
y
-
2
=
0
与
C
的交点为
P
1
,
P
2
以坐标原点为极点,
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段
P
1
P
2
的中点且与
l
垂直的直线的极坐标方程.
【
方法规律
】
求曲线的极坐标方程的步骤:
(1)
建立适当的极坐标系,设
P
(
ρ
,
θ
)
是曲线上任意一点;
(2)
由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径
ρ
和极角
θ
之间的关系式;
(3)
将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
【
方法规律
】
(1)
已知极坐标系方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程;
(2)
在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性.
在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时,将极坐标方程化为直角坐标方程,有助于对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用
.
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