高考数学专题复习课件：2-3 函数的奇偶性与周期性 43页

§2.3　函数的奇偶性与周期性 [考纲要求]　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 .2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函 数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数 的周期性． 1．函数的奇偶性 奇偶性 00 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有___________，那么函数f(x)是偶函数 关于_____ 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有________________，那么函数f(x)是 奇函数 关于______ 对称 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T， 使得当x取定义域内的任何值时，都有________________，那 么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中________ ________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周 期． f(x＋T)＝f(x) 存在一个 最小 【思考辨析】 　判 断 下 面 结 论 是 否 正 确 (请 在 括 号 中 打 “√”或 “×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点 ．(　　) (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x ＝a对称．(　　) (3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周 期为2a(a＞0)的周期函数．(　　) (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b， 0)中心对称．(　　) (5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝ f(x)＋g(x)是偶函数．(　　) (6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的 周期．(　　) 【答案】 (1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)√ 【答案】 D 【解析】 f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2. 【答案】 A 3．(2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为 实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则 a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a 【解析】 由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0， 所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数， log0.53＝－log23，所以log25＞|－log23|＞0， 所以b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，故选B. 【答案】 B 【答案】 1 5．(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________． 【解析】 当x＜0时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，∴f(x)＝x (1－x)． 【答案】 x(1－x) (3)当x＞0时，－x＜0，f(x)＝－x2＋x， ∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x ＝－(－x2＋x)＝－f(x)； 当x＜0时，－x＞0，f(x)＝x2＋x， ∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x)． ∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x)． ∴函数为奇函数． 【方法规律】 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤： (2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任 意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析 式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用 图象作判断． 跟踪训练1 (1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x) 是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 (2)函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a＞0且a≠1)， 则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是(　　) A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数 B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数 C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数 D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数 【解析】 (1)易知f(x)|g(x)|定义域为R， ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|， ∴f(x)|g(x)|为奇函数． (2)F(x)，G(x)定义域均为(－2，2)， 由已知F(－x)＝f(－x)＋g(－x) ＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)， G(－x)＝f(－x)－g(－x) ＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)， ∴F(x)是偶函数，G(x)是奇函数． 【答案】 (1)C　(2)B 【解析】 (1)∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2； 当－1≤x＜3时，f(x)＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1， f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1， 题型三　函数性质的综合应用 命题点1　函数奇偶性的应用 【例3】 (1)(2016·河北衡水中学一调)已知函数y＝f(x)＋ x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(　　) A．－1　　　　　　　　　　B．1 C．－5 D．5 【答案】 (1)D　(2)1 【方法规律】 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合 性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题 转化为已知区间上的问题． (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(ⅰ)f(x)为 偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ⅱ)若奇函数在x＝0处有意义，则 f(0)＝0. 跟踪训练3 (1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝ ________． (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2 －4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________． ①当x＞0时，由f(x)＞x得x2－4x＞x，解得x＞5； ②当x＝0时，f(x)＞x无解； ③当x＜0时，由f(x)＞x得－x2－4x＞x，解得－5＜x＜0. 综上得不等式f(x)＞x的解集用区间表示为(－5，0)∪(5， ＋∞)． 【易错分析】 (1)解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通 过计算f(0)＝0得k＝1. (2)本题易出现以下错误： 由f(1－x2)＞f(2x)得1－x2＞2x，忽视了1－x2＞0导致解 答失误． 【温馨提醒】 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定 参数，要注意函数的定义域． (2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对 变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意 左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集 还是交集. ►方法与技巧 1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关 于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个 必要条件． 2．利用函数奇偶性可以解决以下问题 ①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值； ④画函数图象，确定函数单调性． 3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期， 则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用． ►失误与防范 1．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要 条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验． 2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断， 不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定 函数在整个定义域的奇偶性.