高考数学专题复习课件：3-2 导数的应用 14页

§3.2 　导数的应用 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间 ( 其中多项式函数一般不超过三次 ).2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值 ( 其中多项式函数一般不超过三次 ) ；会求闭区间上函数的最大值、最小值 ( 其中多项式函数一般不超过三次 ) ． 1 ． 函数的单调性与导数 在某个区间 ( a ， b ) 内，如果 f ′( x )___ 0 ，那么函数 y ＝ f ( x ) 在这个区间内单调递增；如果 f ′( x )___ 0 ，那么函数 y ＝ f ( x ) 在这个区间内单调递减． ＞ ＜ 2 ． 函数的极值与导数 一般地，当函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续时， (1) 如果在 x 0 附近的左侧 ________ ，右侧 _______ ，那么 f ( x 0 ) 是极大值； (2) 如果在 x 0 附近的左侧 ________ ，右侧 _______ ，那么 f ( x 0 ) 是极小值． f ′( x ) ＞ 0 f ′( x ) ＜ 0 f ′( x ) ＜ 0 f ′( x ) ＞ 0 3 ． 函数的最值与导数 (1) 在闭区间 [ a ， b ] 上连续的函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上必有最大值与最小值． (2) 若函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上单调递增，则 _____ 为函数的最小值， _____ 为函数的最大值；若函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上单调递减，则 ____ 为函数的最大值， _____ 为函数的最小值． f ( a ) f ( b ) f ( a ) f ( b ) (3) 设函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上连续，在 ( a ， b ) 内可导，求 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大值和最小值的步骤如下： ① 求 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内的 _____ ； ② 将 f ( x ) 的各极值与 _________ 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 极值 f ( a ) ， f ( b ) 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 若函数 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内单调递增，那么一定有 f ′( x ) ＞ 0.( 　　 ) (2) 如果函数 f ( x ) 在某个区间内恒有 f ′( x ) ＝ 0 ，则 f ( x ) 在此区间内没有单调性． ( 　　 ) (3) 函数的极大值不一定比极小值大． ( 　　 ) (4) 对可导函数 f ( x ) ， f ′ ( x 0 ) ＝ 0 是 x 0 点为极值点的充要条件． ( 　　 ) (5) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) × 　 (5) √ 1 ．函数 f ( x ) ＝ x 2 － 2ln x 的单调递减区间是 ( 　　 ) A ． (0 ， 1) 　　　　　　　　　　 B ． (1 ，＋ ∞ ) C ． ( － ∞ ， 1) D ． ( － 1 ， 1) 【 答案 】 A 2 ． (2017· 菏泽模拟 ) 已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (1) ＝ 3 ，且 f ( x ) 的导数 f ′( x ) 在 R 上恒有 f ′( x ) ＜ 2( x ∈ R) ，则不等式 f ( x ) ＜ 2 x ＋ 1 的解集为 ( 　　 ) A ． (1 ，＋ ∞ ) B ． ( － ∞ ，－ 1) C ． ( － 1 ， 1) D ． ( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) 【 解析 】 令 g ( x ) ＝ f ( x ) － 2 x － 1 ， ∴ g ′ ( x ) ＝ f ′( x ) － 2 ＜ 0 ， ∴ g ( x ) 在 R 上为减函数，且 g (1) ＝ f (1) － 2 － 1 ＝ 0. 由 g ( x ) ＜ 0 ＝ g (1) ，得 x ＞ 1 ，故选 A. 【 答案 】 A 3 ．已知 e 为自然对数的底数，设函数 f ( x ) ＝ (e x － 1)( x － 1) k ( k ＝ 1 ， 2) ，则 ( 　　 ) A ．当 k ＝ 1 时， f ( x ) 在 x ＝ 1 处取到极小值 B ．当 k ＝ 1 时， f ( x ) 在 x ＝ 1 处取到极大值 C ．当 k ＝ 2 时， f ( x ) 在 x ＝ 1 处取到极小值 D ．当 k ＝ 2 时， f ( x ) 在 x ＝ 1 处取到极大值 【 解析 】 当 k ＝ 1 时， f ′ ( x ) ＝ e x · x － 1 ， f ′ (1) ≠ 0 ， ∴ x ＝ 1 不是 f ( x ) 的极值点． 当 k ＝ 2 时， f ′ ( x ) ＝ ( x － 1)( x e x ＋ e x － 2) ， 显然 f ′(1) ＝ 0 ，且在 x ＝ 1 附近的左侧， f ′ ( x ) ＜ 0 ， 当 x ＞ 1 时， f ′ ( x ) ＞ 0 ， ∴ f ( x ) 在 x ＝ 1 处取到极小值．故选 C. 【 答案 】 C 4 ． ( 教材改编 ) 如图是 f ( x ) 的导函数 f ′( x ) 的图象，则 f ( x ) 的极小值点的个数为 ________ ． 【 解析 】 由题意知在 x ＝－ 1 处 f ′( － 1) ＝ 0 ，且其左右两侧导数符号为左负右正． 【 答案 】 1