高考数学专题复习课件：9-4 直线与圆、圆与圆的位置关系 61页

§9.4 　直线与圆、圆与圆的位置关系 [ 考纲要求 ] 　 1. 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系； 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 3. 圆的切线方程常用结论 (1) 过圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 上一点 P ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 . (2) 过圆 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 上一点 P ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程为 ( x 0 － a )( x － a ) ＋ ( y 0 － b )( y － b ) ＝ r 2 . (3) 过圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 外一点 M ( x 0 ， y 0 ) 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 . 4 ． 圆与圆的位置关系的常用结论 (1) 两圆的位置关系与公切线的条数： ① 内含： 0 条； ② 内切： 1 条； ③ 相交： 2 条； ④ 外切： 3 条； ⑤ 外离： 4 条． (2) 当两圆相交时，两圆方程 ( x 2 ， y 2 项系数相同 ) 相减便可得公共弦所在直线的方程． 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) “ k ＝ 1 ” 是 “ 直线 x － y ＋ k ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相交 ” 的必要不充分条件． ( 　　 ) (2) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． ( 　　 ) (3) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． ( 　　 ) (4) 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． ( 　　 ) (5) 过圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 上一点 P ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程是 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 .( 　　 ) (6) 过圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 外一点 P ( x 0 ， y 0 ) 作圆的两条切线，切点分别为 A ， B ，则 O ， P ， A ， B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 .( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 　 (6) √ 1 ． ( 教材改编 ) 圆 ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 6 与直线 2 x ＋ y － 5 ＝ 0 的位置关系是 ( 　　 ) A ．相切　　　　　　　　 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离 【 答案 】 B 2 ．若直线 x － y ＋ 1 ＝ 0 与圆 ( x － a ) 2 ＋ y 2 ＝ 2 有公共点，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A ． [ － 3 ，－ 1] B ． [ － 1 ， 3] C ． [ － 3 ， 1] D ． ( － ∞ ，－ 3] ∪ [1 ，＋ ∞ ) 【 答案 】 C 【 答案 】 A 【 答案 】 D 5 ． ( 教材改编 ) 圆 x 2 ＋ y 2 － 4 ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 4 y － 12 ＝ 0 的公共弦长为 ________ ． 题型一　直线与圆的位置关系 【 例 1 】 (1) 已知点 M ( a ， b ) 在圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 外，则直线 ax ＋ by ＝ 1 与圆 O 的位置关系是 ( 　　 ) A ．相切　　　　　　　　　 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 【 方法规律 】 判断直线与圆的位置关系的常见方法 ( 1) 几何法：利用 d 与 r 的关系． (2) 代数法：联立方程之后利用 Δ 判断． (3) 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 跟踪训练 1 已知直线 l ： y ＝ kx ＋ 1 ，圆 C ： ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 12. (1) 试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点； (2) 求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长． 题型二　圆与圆的位置关系 【 例 2 】 (1) 圆 ( x ＋ 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4 与圆 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 9 的位置关系为 ( 　　 ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 (2) 过两圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x ＋ y ＝－ 1 ， x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x ＋ 2 y ＋ 1 ＝ 0 的交点的圆中面积最小的圆的方程为 _______________ ． (3) (2016· 南京模拟 ) 如果圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 ax － 2 ay ＋ 2 a 2 － 4 ＝ 0 与圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 4 总相交，那么实数 a 的取值范围是 _____________ ． 【 方法规律 】 圆与圆的位置关系 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1) 确定两圆的圆心坐标和半径长； (2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d ，求 r 1 ＋ r 2 ， | r 1 － r 2 | ； (3) 比较 d ， r 1 ＋ r 2 ， | r 1 － r 2 | 的大小，写出结论． 跟踪训练 2 (1) 圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 － 2 y ＝ 0 ， C 2 ： x 2 ＋ y 2 － 2 x － 6 ＝ 0 的位置关系为 ( 　　 ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 【 解析 】 ∵ 圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 － 2 y ＝ 0 的圆心为： C 1 (0 ， 1) ， 半径 r 1 ＝ 1 ， 【 答案 】 D 【 答案 】 C 【 答案 】 D (2) 已知圆 C ： ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 10 ，求满足下列条件的圆的切线方程． ① 与直线 l 1 ： x ＋ y － 4 ＝ 0 平行； ② 与直线 l 2 ： x － 2 y ＋ 4 ＝ 0 垂直； ③ 过切点 A (4 ，－ 1) ． 【 方法规律 】 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1) 处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2) 圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 跟踪训练 3 (1) (2016· 山西运城二模 ) 已知圆 ( x － 2) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 16 的一条直径通过直线 x － 2 y ＋ 3 ＝ 0 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为 ( 　　 ) A ． 3 x ＋ y － 5 ＝ 0 B ． x － 2 y ＝ 0 C ． x － 2 y ＋ 4 ＝ 0 D ． 2 x ＋ y － 3 ＝ 0 【 答案 】 (1)D 　 (2)D 【 答案 】 (1)B 　 (2)A 【 解析 】 (1) 由于直线 x ＋ ay － 1 ＝ 0 是圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 4 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 的对称轴， ∴ 圆心 C (2 ， 1) 在直线 x ＋ ay － 1 ＝ 0 上， ∴ 2 ＋ a － 1 ＝ 0 ， ∴ a ＝－ 1 ， ∴ A ( － 4 ，－ 1) ． ∴ | AC | 2 ＝ 36 ＋ 4 ＝ 40. 又 r ＝ 2 ， ∴ | AB | 2 ＝ 40 － 4 ＝ 36. ∴ | AB | ＝ 6. 【 答案 】 (1)C 　 (2)4 【 温馨提醒 】 (1) 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． (2) 直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质 . ► 方法与技巧 1 ．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合， “ 代数法 ” 与 “ 几何法 ” 是从不同的方面和思路来判断的． 2 ．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形． ► 失误与防范 1 ．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－ 1 列方程来简化运算． 2 ．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解 .