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- 2021-06-23 发布
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等比数列的概念与通项公式
(答题时间:40分钟)
1. 若-1,x,-4成等比数列,则x的值为________。
*2.(苏州检测)在等比数列{an}中,a1<0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则a3+a5=________。
*3.(无锡检测)等差数列{an}中,a3+a11=8,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6·b8的值为________。
*4.(泗阳检测)已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,则的值为________。
**5. 已知a,b,c,d成等比数列,且抛物线y=x2-2x+3的顶点为(b,c),则ad=________。
*6. (德州高二检测)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小角的正弦值为________。
**7. 若a,b,c是△ABC中角A,B,C的对边,A、B、C成等差数列,a,b,c成等比数列,试判断△ABC的形状。
**8.(烟台高二检测)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=an+1。
(1)求证{an-3}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项。
**9.(杭州高二检测)设{an}是公差大于0的等差数列,bn=()an,已知b1+b2+b3=,b1b2b3=。
(1)求证:数列{bn}是等比数列;
(2)求等差数列{an}的通项an。
3
1. 2或-2 解析:x2=(-1)×(-4)=4,∴x=2或x=-2.
2. -6 解析:由等比中项知:a2a4=a,a4a6=a,
∴a+2a3a5+a=36,∴(a3+a5)2=36。
又∵等比数列{an}中,a1<0,∴a3<0,a5<0,
∴a3+a5<0,∴a3+a5=-6。
3. 16 解析:∵等差数列{an}中,a7===4,
∴b7=a7=4,由等比中项,∴b6·b8=b=16。
4. 解析:由-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,
则3d=-4-(-1)=-3,∴d=-1,
∴a2-a1=d=-1。
又-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,
∴b=(-1)×(-4)=4。
又易知b2<0,∴b2=-2,∴==。
5. 2 解析:易知抛物线y=x2-2x+3的顶点为(1,2),
∴b=1,c=2,由等比数列的性质ad=bc=2。
6. 解析:设直角三角形最小内角为α,则三内角由小到大为:α,90°-α,90°。
由已知sin α,sin(90°-α),sin 90°成等比数列,
∴sin2(90°-α)=sin α·sin 90°,即cos2α=sin α,
∴sin2α+sin α-1=0,
∴sin α=或sin α=(舍去)。
7. 等边三角形 解析:∵角A、B、C成等差数列,
∴A+C=2B,又△ABC中,A+B+C=π,∴B=,
又∵边a,b,c成等比数列,
∴b2=ac,由余弦定理
∴cos B===cos=,
∴a2+c2-ac=ac,
∴(a-c)2=0,∴a=c,
∴△ABC为等边三角形。
8.(1)见解析 (2) an=3-2()n-1
【解析】 (1)证明:∵an+1=an+1,
3
∴an+1-3=an+1-3= (an-3)。
∵a1=1,∴a1-3=-2,∴an-3≠0,
∴= (n∈N*),
∴{an-3}是以-2为首项,以为公比的等比数列。
(2)由(1)知an-3=(-2)×()n-1,
∴an=3-2()n-1。
9.(1)见解析 (2) an=2n-3
解析:(1)证明:设{an}的公差为d(d>0),
∵=()an+1-an=()d为常数,
且b1=()a1>0,
∴{bn}为以()a1为首项,公比为()d的等比数列。
(2)∵b1b2b3=,
∴=,
∴b2=,
∴
∴或
∵q=()d∈(0,1),
∴b1>b3,
∴∴bn=()2n-3,
∴an=2n-3,(n∈N*)。
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