高考数学专题复习练习：4-8 专项基础训练 9页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．(2017·山西太原五中4月模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C．2 D．2 ‎【解析】 在锐角△ABC中，sin A＝，‎ S△ABC＝，‎ ‎∴cos A＝＝，bcsin A＝bc·＝，‎ ‎∴bc＝3，①‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ ‎∴(b＋c)2＝a2＋2bc(1＋cos A)‎ ‎＝4＋6×＝12，‎ ‎∴b＋c＝2.②‎ 由①②得b＝c＝，故选A.‎ ‎【答案】 A ‎2．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 ‎【解析】 如图所示，易知，在△ABC中，‎ AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，‎ 根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．‎ ‎【答案】 A ‎3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)‎ A．8 km/h B．6 km/h C．2 km/h D．10 km/h ‎【解析】 设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.‎ ‎【答案】 B ‎4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)‎ A．240(＋1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m ‎【解析】 如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，‎ 在Rt△ACD中，‎ CD＝ ‎＝＝60 m，‎ 在Rt△ABD中，BD＝＝＝ ‎＝60(2－)m，‎ ‎∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m.‎ ‎【答案】 C ‎5．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)‎ A．5 B．15 C．5 D．15 ‎【解析】 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.‎ 由正弦定理得＝，所以BC＝15.‎ 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.‎ ‎【答案】 D ‎6．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.‎ ‎【解析】 如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，‎ ON＝AOtan 30°＝×30‎ ‎＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得，‎ MN＝ ‎＝＝10(m)．‎ ‎【答案】 10 ‎7．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.‎ ‎【解析】 如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，‎ ‎∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.‎ 又AB＝200 m，∴AC＝ m.‎ 在△ACD中，由余弦定理得，‎ AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，‎ ‎∴CD＝AC＝ m.‎ ‎【答案】 ‎8．(2016·洛阳统考)如图，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则cos∠C＝________．‎ ‎【解析】 由条件得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.‎ 在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，‎ 则由余弦定理得9b2＝a2＋4－a.①‎ 因为∠ADB与∠CDB互补，‎ 所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，‎ 所以＝－，‎ 所以3b2－a2＝－6，②‎ 联合①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.‎ 在△ABC中，cos∠C＝＝＝.‎ ‎【答案】 ‎9．(2017·辽宁沈阳二中月考)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ且与点A相距10海里的位置C.‎ ‎(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；‎ ‎(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．‎ ‎【解析】 (1)如图，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝θ，sin θ＝.‎ 由于0°＜θ＜90°，‎ 所以cos θ＝＝.‎ 由余弦定理得 BC＝＝10.‎ 所以船的行驶速度为＝15(海里/小时)．‎ ‎(2)如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.‎ 在△ABC中，由余弦定理得，‎ cos∠ABC＝ ‎＝＝.‎ 从而sin∠ABC＝＝＝.‎ 在△ABQ中，由正弦定理得，‎ AQ＝＝＝40，‎ 由于AE＝55＞40＝AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE＝AE－AQ＝15.过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．‎ 在Rt△QPE中，‎ PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQC ‎＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×＝3＜7.‎ 所以船会进入警戒水域．‎ ‎10．(2016·江苏卷)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.‎ ‎(1)求AB的长；‎ ‎(2)求cos的值．‎ ‎【解析】 (1)因为cos B＝，0＜B＜π，所以sin B＝＝＝.‎ 由正弦定理知＝，所以AB＝＝＝5.‎ ‎(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，‎ 于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos ‎＝－cos Bcos＋sin Bsin，‎ 又cos B＝，sin B＝，‎ 故cos A＝－×＋×＝－.‎ 因为0＜A＜π，所以sin A＝＝.‎ 因此，cos＝cos Acos＋sin Asin＝－×＋×＝.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：15分钟)‎ ‎11．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)‎ A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m ‎【解析】 设水柱高度是h m，水柱底端为C，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝h.‎ 在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.‎ ‎【答案】 A ‎12．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是________n mile/h.‎ ‎【解析】 设航速为v n mile/h 在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，‎ 由正弦定理得＝，∴v＝32.‎ ‎【答案】 32 ‎ ‎13．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．‎ ‎【解析】 如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝50.‎ ‎【答案】 50 ‎14．(2016·杭州二中月考)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.‎ ‎【解析】 因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.‎ 在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cos D，cos D＝－，代入得AC2＝32＋52－2×3×5×＝49，故AC＝7.‎ ‎【答案】 7‎ ‎15．(2017·河南六市3月联考)如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声检测点，B，C到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B收到来自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．‎ ‎(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值；‎ ‎(2)求P到海防警戒线AC的距离．‎ ‎【解析】 (1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.‎ 在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝，‎ 同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝＝＝.‎ ‎∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴＝，‎ 解得x＝31.‎ ‎(2)作PD⊥AC于D，在△ADP中，‎ 由cos∠PAD＝，‎ 得sin∠PAD＝＝，‎ ‎∴PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4.‎ 故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米．‎