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- 2021-06-23 发布
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一 第二课时 圆的参数方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.曲线C:(θ为参数)的普通方程为( )
A.(x-1)2+(y+1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y-1)2=1
D.(x-1)2+(y-1)2=1
解析:由已知条件可得两式平方再相加,可得(x+1)2+(y-1)2=1,故选C.
答案:C
2.参数方程表示的图形是( )
A.直线 B.点
C.圆 D.椭圆
解析:将参数方程化为普通方程为x2+y2=25,表示的图形是以原点为圆心,以5为半径的圆.
答案:C
3.若直线3x+4y+m=0与圆(θ为参数)相切,则实数m的值是( )
A.0 B.10
C.0或10 D.无解
解析:由题意,知圆心(1,-2),半径r=1.由直线与圆相切,可知圆心到直线的距离等于半径,所以d==1,解得m=0或m=10.
答案:C
4.P (x,y)是曲线(α为参数)上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )
A.36 B.6
C.26 D.25
解析:设P(2+cos α,sin α),代入得:
(2+cos α-5)2+(sin α+4)2
=25+sin2α+cos2α-6cos α+8sin α
=26+10sin(α-φ).∴最大值为36.
答案:A
5.若直线l:y=kx与曲线C:(θ为参数)有唯一的公共点,则斜率k=( )
A. B.-
4
C.± D.
解析:曲线C:(θ为参数)的普通方程为(x-2)2+y2=1,所以曲线C是一个圆心为(2,0)、半径为1的圆.因为圆C与直线l有唯一的公共点,即圆C与直线l相切,则圆心(2,0)到直线l的距离d==1,解得k=±.
答案:C
6.x=1与圆x2+y2=4的交点坐标是________.
解析:圆x2+y2=4的参数方程为
令2cos θ=1得cos θ=,∴sin θ=±.
∴交点坐标为(1,)和(1,-).
答案:(1,),(1,-)
7.若直线(t为参数)与圆(α为参数)相切,则θ=________.
解析:直线为y=xtan θ,圆为(x-4)2+y2=4,作出图形(图略),直线与圆相切时,易知tan θ=±,所以θ=或θ=.
答案:或
8.圆的参数方程为(θ为参数),则此圆的半径为________.
解析:由
得x2+y2=(3sin θ+4cos θ)2+(4sin θ-3cos θ)2=25(sin2 θ+cos2 θ)=25,
所以圆的半径为5.
答案:5
9.圆M的参数方程为x2+y2-4Rxcos α-4Rysin α+3R2=0(R>0).
(1)求该圆的圆心坐标以及半径;
(2)当R固定,α变化时,求圆心M的轨迹.
解析:(1)依题意,得圆M的方程为
(x-2Rcos α)2+(y-2Rsin α)2=R2,
故圆心坐标为M(2Rcos α,2Rsin α),半径为R.
(2)当α变化时,圆心M的轨迹方程为
(其中α为参数),
两式平方相加,得x2+y2=4R2.
所以,圆心M的轨迹是圆心在原点,半径为2R的圆.
10.若x,y满足(x-1)2+(y+2)2=4,求S=2x+y的最值.
解析:由(x-1)2+(y+2)2=4知,它表示以(1,-2)为圆心,半径为2的圆,
4
设x=1+2cos θ,y=-2+2sin θ,
∴S=2x+y=2+4cos θ-2+2sin θ
=4cos θ+2sin θ=2sin(θ+φ),
∴-2≤S≤2.
∴S的最大值为2,最小值为-2.
[B组 能力提升]
1.设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为的点的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:∵曲线C的方程为(θ为参数),
∴(x-2)2+(y+1)2=9,而l的方程为x-3y+2=0,
∴圆心(2,-1)到l的距离
d===.
又∵<3,>3,∴有2个点.
答案:B
2.若直线y=x-b与曲线(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点,则实数b的取值范围为( )
A.(2-,1)
B.[2-,2+ ]
C.(-∞,2-)∪(2+,+∞)
D.(2-,2+)
解析:曲线即为圆(x-2)2+y2=1.
直线y=x-b与圆(x-2)2+y2=1有两个不同的公共点,则圆心(2,0)到直线y=x-b的距离小于圆的半径1,
即<1,∴2-
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