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  • 2021-06-23 发布

2020年高中数学第三章复数代数形式的乘除运算

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‎3.2.2‎‎ 复数代数形式的乘除运算 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.(2014·高考山东卷)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=(  )‎ A.5-4i B.5+4i ‎ C.3-4i D.3+4i 解析:根据已知,得a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.‎ 答案:D ‎2.(2014·高考湖南卷)满足=i(i是虚数单位)的复数z=(  )‎ A.+i B.-i C.-+i D.--i 解析:式子=i去分母,得z+i=zi,所以(1-i)z=-i,‎ 解得z====-i,选B.‎ 答案:B ‎3.(2014·高考安徽卷)设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则+i·=(  )‎ A.-2 B.-2i ‎ C.2 D.2i 解析:因为z=1+i,所以+i·=+i(1-i)=(-i+1)+(i+1)=2.‎ 答案:C ‎4.(1+i)20-(1-i)20的值是(  )‎ A.-1 024 B.1 024‎ C.0 D.1 023‎ 解析:(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10= (2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.‎ 答案:C ‎5.(2015·高考湖南卷)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=(  )‎ A.1+i B.1-i 5‎ C.-1+i D.-1-i 解析:由题意得,z===-1-i,故选D.‎ 答案:D ‎6.已知a为实数,是纯虚数,则a=________.‎ 解析:==,因为是纯虚数,所以a-1=0且a+1≠0,即a=1.‎ 答案:1‎ ‎7.已知复数z1=3-i,z2是复数-1+2i的共轭复数,则复数-的虚部等于________.‎ 解析:-=-=-=,其虚部为.‎ 答案: ‎8.设z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为________.‎ 解析:设=bi(b∈R且b≠0),所以z1=bi·z2,即a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi.所以所以a=.‎ 答案: ‎9.计算:‎ ‎(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);‎ ‎(2)(-2+3i)÷(1+2i);‎ ‎(3)-.‎ 解析:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)‎ ‎=1-i2+(-1+i)‎ ‎=2-1+i=1+i.‎ ‎(2)(-2+3i)÷(1+2i)== ‎==+i.‎ ‎(3)- ‎= 5‎ ‎===2i.‎ ‎10.已知复数z=.‎ ‎(1)求复数z;‎ ‎(2)若z2+az+b=1-i,求实数a,b的值.‎ 解析:(1)z====1+i.‎ ‎(2)把z=1+i代入z2+az+b=1-i,得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i,整理得a+b+(2+a)i=1-i,‎ 所以解得 ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=‎1”‎是“(a+bi)2=2i”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,若(a+bi)2=2i,则有a=b=-1或a=b=1,因此选A.‎ 答案:A ‎2.若z1,z2∈C,z12+1z2是(  )‎ A.纯虚数 B.实数 C.虚数 D.不能确定 解析:z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),z12+1z2=(a+bi)(c-di)+(a-bi)(c+di)=‎2ac+2bd∈R.‎ 答案:B ‎3.若复数z=cos θ+isin θ且z2+2=1,则sin2 θ=________.‎ 解析:z2+2=(cos θ+isin θ)2+(cos θ-isin θ)2‎ ‎=2cos 2θ=1⇒sin2 θ=.‎ 答案: ‎4.(2015·高考重庆卷)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=________.‎ 解析:复数a+bi(a,b∈R)的模为=,则a2+b2=3,所以(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2=3.‎ 5‎ 答案:3‎ ‎5.已知z是复数,z+2i,均为实数,且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.‎ 解析:设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+yi+2i=x+(2+y)i.‎ 由于z+2i是实数,则2+y=0,解得y=-2,‎ == ‎=(2x+2)+(x-4)i,‎ 由于是实数,则(x-4)=0,‎ 解得x=4,∴z=4-2i,‎ ‎∴(z+ai)2=(4-2i+ai)2‎ ‎=(12+‎4a-a2)+8(a-2)i,‎ 由(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限可得 解得2<a<6,‎ ‎∴实数a的取值范围是(2,6).‎ ‎6.已知复数z1=2+i,2z2=.‎ ‎(1)求z2;‎ ‎(2)若△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,且u=cos A+2icos2,求|u+z2|的取值范围.‎ 解析:(1)z2=· ‎=·==-=-i.‎ ‎(2)在△ABC中,∵A,B,C依次成等差数列.‎ ‎∴2B=A+C=π-B,‎ ‎∴3B=π,‎ ‎∴B=,A+C=,‎ 又由(1)得z2=-i,‎ ‎∴u+z2=cos A+2icos2-i 5‎ ‎=cos A+i(2cos2 -1)‎ ‎=cos A+icos C,‎ ‎∴|u+z2|2=cos‎2A+cos‎2C ‎=+ ‎=1+(cos ‎2A+cos ‎2C)‎ ‎=1+(cos ‎2A+cos 2(-A))‎ ‎=1+(cos ‎2A+cos(-‎2A))‎ ‎=1+(cos ‎2A+cos(π+-‎2A))‎ ‎=1+(cos ‎2A-cos (-‎2A))‎ ‎=1+[cos ‎2A-(coscos ‎2A+sinsin ‎2A)]‎ ‎=1+(cos ‎2A-sin ‎2A)‎ ‎=1+sin(-‎2A)‎ ‎=1-sin(‎2A-).‎ ‎∵A+C=,‎ ‎∴0<A<,‎ ‎∴-<‎2A-<,‎ ‎∴≤1-sin(‎2A-)<,‎ ‎∴≤|u+z2|2<,‎ ‎∴≤|u+z2|<,‎ 即|u+z2|的取值范围是[,).‎ 5‎