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- 2021-06-23 发布
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3.2.2 复数代数形式的乘除运算
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.(2014·高考山东卷)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=( )
A.5-4i B.5+4i
C.3-4i D.3+4i
解析:根据已知,得a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.
答案:D
2.(2014·高考湖南卷)满足=i(i是虚数单位)的复数z=( )
A.+i B.-i
C.-+i D.--i
解析:式子=i去分母,得z+i=zi,所以(1-i)z=-i,
解得z====-i,选B.
答案:B
3.(2014·高考安徽卷)设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则+i·=( )
A.-2 B.-2i
C.2 D.2i
解析:因为z=1+i,所以+i·=+i(1-i)=(-i+1)+(i+1)=2.
答案:C
4.(1+i)20-(1-i)20的值是( )
A.-1 024 B.1 024
C.0 D.1 023
解析:(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10= (2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.
答案:C
5.(2015·高考湖南卷)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )
A.1+i B.1-i
5
C.-1+i D.-1-i
解析:由题意得,z===-1-i,故选D.
答案:D
6.已知a为实数,是纯虚数,则a=________.
解析:==,因为是纯虚数,所以a-1=0且a+1≠0,即a=1.
答案:1
7.已知复数z1=3-i,z2是复数-1+2i的共轭复数,则复数-的虚部等于________.
解析:-=-=-=,其虚部为.
答案:
8.设z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为________.
解析:设=bi(b∈R且b≠0),所以z1=bi·z2,即a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi.所以所以a=.
答案:
9.计算:
(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)(-2+3i)÷(1+2i);
(3)-.
解析:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)
=1-i2+(-1+i)
=2-1+i=1+i.
(2)(-2+3i)÷(1+2i)==
==+i.
(3)-
=
5
===2i.
10.已知复数z=.
(1)求复数z;
(2)若z2+az+b=1-i,求实数a,b的值.
解析:(1)z====1+i.
(2)把z=1+i代入z2+az+b=1-i,得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i,整理得a+b+(2+a)i=1-i,
所以解得
[B组 能力提升]
1.已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,若(a+bi)2=2i,则有a=b=-1或a=b=1,因此选A.
答案:A
2.若z1,z2∈C,z12+1z2是( )
A.纯虚数 B.实数
C.虚数 D.不能确定
解析:z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),z12+1z2=(a+bi)(c-di)+(a-bi)(c+di)=2ac+2bd∈R.
答案:B
3.若复数z=cos θ+isin θ且z2+2=1,则sin2 θ=________.
解析:z2+2=(cos θ+isin θ)2+(cos θ-isin θ)2
=2cos 2θ=1⇒sin2 θ=.
答案:
4.(2015·高考重庆卷)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=________.
解析:复数a+bi(a,b∈R)的模为=,则a2+b2=3,所以(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2=3.
5
答案:3
5.已知z是复数,z+2i,均为实数,且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
解析:设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+yi+2i=x+(2+y)i.
由于z+2i是实数,则2+y=0,解得y=-2,
==
=(2x+2)+(x-4)i,
由于是实数,则(x-4)=0,
解得x=4,∴z=4-2i,
∴(z+ai)2=(4-2i+ai)2
=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
由(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限可得
解得2<a<6,
∴实数a的取值范围是(2,6).
6.已知复数z1=2+i,2z2=.
(1)求z2;
(2)若△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,且u=cos A+2icos2,求|u+z2|的取值范围.
解析:(1)z2=·
=·==-=-i.
(2)在△ABC中,∵A,B,C依次成等差数列.
∴2B=A+C=π-B,
∴3B=π,
∴B=,A+C=,
又由(1)得z2=-i,
∴u+z2=cos A+2icos2-i
5
=cos A+i(2cos2 -1)
=cos A+icos C,
∴|u+z2|2=cos2A+cos2C
=+
=1+(cos 2A+cos 2C)
=1+(cos 2A+cos 2(-A))
=1+(cos 2A+cos(-2A))
=1+(cos 2A+cos(π+-2A))
=1+(cos 2A-cos (-2A))
=1+[cos 2A-(coscos 2A+sinsin 2A)]
=1+(cos 2A-sin 2A)
=1+sin(-2A)
=1-sin(2A-).
∵A+C=,
∴0<A<,
∴-<2A-<,
∴≤1-sin(2A-)<,
∴≤|u+z2|2<,
∴≤|u+z2|<,
即|u+z2|的取值范围是[,).
5
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