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- 2021-06-23 发布
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2.2.3 独立重复试验与二项分布
学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.
知识点一 独立重复试验
思考1 要研究抛掷硬币的规律,需做大量的掷硬币试验.其前提是什么?
答案 条件相同.
思考2 试验结果有哪些?
答案 正面向上或反面向上,即事件发生或者不发生.
思考3 各次试验的结果有无影响?
答案 无,即各次试验相互独立.
梳理 (1)定义:在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
(2)基本特征:
①每次试验是在同样条件下进行.
②每次试验都只有两种结果:发生与不发生.
③各次试验之间相互独立.
④每次试验,某事件发生的概率都是一样的.
知识点二 二项分布
在体育课上,某同学做投篮训练,他连续投篮3次,每次投篮的命中率都是0.8,用Ai(i=1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件,用Bk表示仅投中k次这个事件.
思考1 用Ai如何表示B1,并求P(B1).
15
答案 B1=(A12 3)∪(1A23)∪(1 2A3),
因为P(A1)=P(A2)=P(A3)=0.8,
且A12 3,1A23,1 2A3两两互斥,
故P(B1)=0.8×0.22+0.8×0.22+0.8×0.22
=3×0.8×0.22=0.096.
思考2 试求P(B2)和P(B3).
答案 P(B2)=3×0.2×0.82=0.384,
P(B3)=0.83=0.512.
思考3 由以上问题的结果你能得出什么结论?
答案 P(Bk)=C0.8k0.23-k(k=0,1,2,3).
梳理 在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,
则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.
1.有放回地抽样试验是独立重复试验.( √ )
2.在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互没有影响.( √ )
3.在n次独立重复试验中,各次试验中事件发生的概率可以不同.( × )
4.如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.( √ )
类型一 独立重复试验的概率
例1 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是和,假设每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.(结果需用分数作答)
(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
解 (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1,由题意,知射击3次,相当于3次独立重复试验,故P(A1)=1-P(1)=1-3=.
15
(2)记“甲射击2次,恰有2次击中目标”为事件A2,“乙射击2次,恰有1次击中目标”为事件B2,则P(A2)=C×2=,P(B2)=C×1×=,由于甲、乙射击相互独立,故P(A2B2)=×=.
引申探究
1.在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.
解 记“甲击中目标1次”为事件A3,“乙击中目标1次”为事件B3,则P(A3)=C××=,P(B3)=,
所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)=×=.
2.在本例(2)的条件下,求甲未击中,乙击中2次的概率.
解 记“甲未击中目标”为事件A4,“乙击中2次”为事件B4,则P(A4)=C2=,P(B4)=C2=,所以甲未击中、乙击中2次的概率为P(A4B4)=×=.
反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断:依据n次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验.
(2)分拆:判断所求事件是否需要分拆.
(3)计算:就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.
跟踪训练1 某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第2位):
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率;
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率.
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
解 (1)记“预报一次准确”为事件A,则P(A)=0.8,
5次预报相当于5次独立重复试验.
“恰有2次准确”的概率为
P=C×0.82×0.23=0.051 2≈0.05,
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.
其概率为P=C×(0.2)5+C×0.8×0.24=0.006 72.
所以所求概率为1-P=1-0.006 72≈0.99.
15
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.
类型二 二项分布
例2 已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,如果某次没有发芽,则称该次试验是失败的.
(1)第一小组做了3次试验,记该小组试验成功的次数为X,求X的分布列;
(2)第二小组进行试验,到成功了4次为止,求在第4次成功之前共有3次失败的概率.
考点 二项分布的计算及应用
题点 求二项分布的分布列
解 (1)由题意,得随机变量X可能取值为0,1,2,3,
则X~B.
即P(X=0)=C03=,
P(X=1)=C12=,
P(X=2)=C21=,
P(X=3)=C3=.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)第二小组第7次试验成功,前面6次试验中有3次失败,3次成功,每次试验又是相互独立的,
因此所求概率为P=C3×3×=.
反思与感悟 (1)当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功概率p.
(2)解决二项分布问题的两个关注点
①对于公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),必须在满足“独立重复试验”时才能应用,否则不能应用该公式.
②判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次.
15
跟踪训练2 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为,某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数X的分布列.
考点 二项分布的计算及应用
题点 求二项分布的分布列
解 由题意可知X~B,
所以P(X=k)=Ck·3-k,k=0,1,2,3,
即P(X=0)=C×0×3=;
P(X=1)=C××2=;
P(X=2)=C×2×=;
P(X=3)=C×3=.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
类型三 二项分布的综合应用
例3 一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列;
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列;
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
考点 二项分布的计算及应用
题点 二项分布的实际应用
解 (1)由ξ~B,则P(ξ=k)=Ck5-k,k=0,1,2,3,4,5.
即P(ξ=0)=C×0×5=;
P(ξ=1)=C××4=;
15
P(ξ=2)=C×2×3=;
P(ξ=3)=C×3×2=;
P(ξ=4)=C×4×=;
P(ξ=5)=C×5=.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
(2)η的分布列为P(η=k)=P(前k个是绿灯,第k+1个是红灯)=k·,k=0,1,2,3,4,
即P(η=0)=0×=;
P(η=1)=×=;
P(η=2)=2×=;
P(η=3)=3×=;
P(η=4)=4×=;
P(η=5)=P(5个均为绿灯)=5.
故η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
P
(3)所求概率为P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)
=1-5=.
反思与感悟 对于概率问题的综合题,首先,要准确地确定事件的性质,把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种;其次,要判断事件是A+B
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还是AB,确定事件至少有一个发生,还是同时发生,分别应用相加或相乘事件公式;最后,选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.
跟踪训练3 一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球,其中3个红球和(n-3)个白球,已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N,有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球),在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于,求p与n的值.
考点 二项分布的计算及应用
题点 二项分布的实际应用
解 由题设知,Cp2(1-p)2>.
∵p(1-p)>0,
∴不等式化为p(1-p)>,
解得
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