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- 2021-06-23 发布
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2012年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)
一.选择题
1.(5分)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )
A.A⊆B B.C⊆B C.D⊆C D.A⊆D
2.(5分)函数的反函数是( )
A.y=x2﹣1(x≥0) B.y=x2﹣1(x≥1) C.y=x2+1(x≥0) D.y=x2+1(x≥1)
3.(5分)若函数是偶函数,则φ=( )
A. B. C. D.
4.(5分)已知α为第二象限角,,则sin2α=( )
A. B. C. D.
5.(5分)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=﹣4,则该椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则当n>1时,Sn=( )
A.()n﹣1 B.2n﹣1 C.()n﹣1 D.(﹣1)
7.(5分)6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序有( )
A.240种 B.360种 C.480种 D.720种
8.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( )
A.2 B. C. D.1
9.(5分)△ABC中,AB边的高为CD,若=,=,•=0,||=1,||=2,则=( )
A. B. C. D.
10.(5分)已知F1、F2为双曲线C:x2﹣y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( )
A. B. C. D.
11.(5分)已知x=lnπ,y=log52,,则( )
A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x
12.(5分)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,.定点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为( )
A.8 B.6 C.4 D.3
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分,在试卷上作答无效)
13.(5分)的展开式中x2的系数为 .
14.(5分)若x,y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为 .
15.(5分)当函数y=sinx﹣cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x= .
16.(5分)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在试卷上作答无效!
17.(10分)△ABC中,内角A,B,C成等差数列,其对边a,b,c满足2b2=3ac,求A.
18.(12分)已知数列{an}中,a1=1,前n项和
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.
(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;
(Ⅱ)设二面角A﹣PB﹣C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.
20.(12分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,对方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球两次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.
(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1:2的概率;
(2)求开始第5次发球时,甲领先得分的概率.
21.(12分)已知函数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.
22.(12分)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆(r>0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.
(Ⅰ)求r;
(Ⅱ)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离.
2012年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)
参考答案与试题解析
一.选择题
1.(5分)(2012•大纲版)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )
A.A⊆B B.C⊆B C.D⊆C D.A⊆D
【分析】直接利用四边形的关系,判断选项即可.
【解答】解:因为菱形是平行四边形的特殊情形,所以D⊂A,
矩形与正方形是平行四边形的特殊情形,所以B⊂A,C⊂A,
正方形是矩形,所以C⊆B.
故选B.
2.(5分)(2012•大纲版)函数的反函数是( )
A.y=x2﹣1(x≥0) B.y=x2﹣1(x≥1) C.y=x2+1(x≥0) D.y=x2+1(x≥1)
【分析】直接利用反函数的求法求解即可.
【解答】解:因为函数,解得x=y2﹣1,
所以函数的反函数是y=x2﹣1(x≥0).
故选A.
3.(5分)(2012•大纲版)若函数是偶函数,则φ=( )
A. B. C. D.
【分析】直接利用函数是偶函数求出ϕ的表达式,然后求出ϕ的值.
【解答】解:因为函数是偶函数,
所以,k∈z,所以k=0时,ϕ=∈[0,2π].
故选C.
4.(5分)(2012•大纲版)已知α为第二象限角,,则sin2α=( )
A. B. C. D.
【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式,求出cosα,然后利用二倍角公式求解即可.
【解答】解:因为α为第二象限角,,
所以cosα=﹣=﹣.
所以sin2α=2sinαcosα==.
故选A.
5.(5分)(2012•大纲版)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=﹣4,则该椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
【分析】确定椭圆的焦点在x轴上,根据焦距为4,一条准线为x=﹣4,求出几何量,即可求得椭圆的方程.
【解答】解:由题意,椭圆的焦点在x轴上,且
∴c=2,a2=8
∴b2=a2﹣c2=4
∴椭圆的方程为
故选C.
6.(5分)(2012•大纲版)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则当n>1时,Sn=( )
A.()n﹣1 B.2n﹣1 C.()n﹣1 D.(﹣1)
【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出.
【解答】解:∵Sn=2an+1,a1=1,
∴a1=2a2,解得a2=.
当n≥2时,Sn﹣1=2an,
∴an=2an+1﹣2an,
化为=.
∴数列{an}从第二项起为等比数列,公比为.
∴Sn=2an+1=2××=.
故选:A.
7.(5分)(2012•大纲版)6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序有( )
A.240种 B.360种 C.480种 D.720种
【分析】直接从中间的4个演讲的位置,选1个给甲,其余全排列即可.
【解答】解:因为6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择,剩余的元素与位置进行全排列有,所以甲只能在中间的4个位置,所以不同的演讲次序有=480种.
故选C.
8.(5分)(2012•大纲版)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2
,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( )
A.2 B. C. D.1
【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE,再将线面距离转化为点面距离,最后利用等体积法求点面距离即可
【解答】解:如图:连接AC,交BD于O,在三角形CC1A中,易证OE∥C1A,从而C1A∥平面BDE,
∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离,设为h,
在三棱锥E﹣ABD中,VE﹣ABD=S△ABD×EC=××2×2×=
在三棱锥A﹣BDE中,BD=2,BE=,DE=,∴S△EBD=×2×=2
∴VA﹣BDE=×S△EBD×h=×2×h=
∴h=1
故选 D
9.(5分)(2012•大纲版)△ABC中,AB边的高为CD,若=,=,•=0,||=1,||=2,则=( )
A. B. C. D.
【分析】由题意可得,CA⊥CB,CD⊥AB,由射影定理可得,AC2=AD•AB可求AD,进而可求,从而可求与的关系,进而可求
【解答】解:∵•=0,
∴CA⊥CB
∵CD⊥AB
∵||=1,||=2
∴AB=
由射影定理可得,AC2=AD•AB
∴
∴
∴==
故选D
10.(5分)(2012•大纲版)已知F1、F2为双曲线C:x2﹣y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( )
A. B. C. D.
【分析】根据双曲线的定义,结合|PF1|=2|PF2|,利用余弦定理,即可求cos∠F1PF2的值.
【解答】解:将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1,则a=,b=,c=2,
设|PF1|=2|PF2|=2m,则根据双曲线的定义,|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2,
∴|PF1|=4,|PF2|=2,
∵|F1F2|=2c=4,
∴cos∠F1PF2====.
故选C.
11.(5分)(2012•大纲版)已知x=lnπ,y=log52,,则( )
A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x
【分析】利用x=lnπ>1,0<y=log52<,1>z=>,即可得到答案.
【解答】解:∵x=lnπ>lne=1,
0<log52<log5=,即y∈(0,);
1=e0>=>=,即z∈(,1),
∴y<z<x.
故选:D.
12.(5分)(2012•大纲版)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,.定点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为( )
A.8 B.6 C.4 D.3
【分析】根据已知中的点E,F的位置,可知入射角的正切值为,通过相似三角形,来确定反射后的点的位置,从而可得反射的次数.
【解答】解:根据已知中的点E,F的位置,可知入射角的正切值为,第一次碰撞点为F,在反射的过程中,直线是平行的,利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G,在DA,且DG=,第三次碰撞点为H,在DC上,且DH=,第四次碰撞点为M,在CB上,且CM=,第五次碰撞点为N,在DA上,且AN=,第六次回到E点,AE=.
故需要碰撞6次即可.
故选B.
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分,在试卷上作答无效)
13.(5分)(2012•大纲版)的展开式中x2的系数为 7 .
【分析】直接利用二项式定理的通项公式,求出x2的系数即可.
【解答】解:因为的展开式的通项公式为:=,
当8﹣2r=2,即r=3时,的展开式中x2的系数为:=7.
故答案为:7.
14.(5分)(2012•大纲版)若x,y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为 ﹣1 .
【分析】作出不等式组表示的平面区域,由z=3x﹣y可得y=3x﹣z,则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距,截距越大z越小,结合图形可求
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示
由z=3x﹣y可得y=3x﹣z,则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距,截距越大z越小
结合图形可知,当直线z=3x﹣y过点C时z最小
由可得C(0,1),此时z=﹣1
故答案为:﹣1
15.(5分)(2012•大纲版)当函数y=sinx﹣cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x= .
【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin(x﹣)(0≤x<2π),即可求得y=sinx﹣cosx(0≤x<2π)取得最大值时x的值.
【解答】解:∵y=sinx﹣cosx=2(sinx﹣cosx)=2sin(x﹣).
∵0≤x<2π,
∴﹣≤x﹣<,
∴ymax=2,此时x﹣=,
∴x=.
故答案为:.
16.(5分)(2012•大纲版)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1
的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为 .
【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2,以DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,则,=(0,2,﹣1),由此利用向量法能够求出异面直线AE与D1F所成角的余弦值.
【解答】解:设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2,以DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,
建立空间直角坐标系,
则A(2,0,0),E(2,2,1)D1(0,0,2),F(0,2,1)
∴,=(0,2,﹣1),
设异面直线AE与D1F所成角为θ,
则cosθ=|cos<,>|=||=.
故答案为:.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在试卷上作答无效!
17.(10分)(2012•大纲版)△ABC中,内角A,B,C成等差数列,其对边a,b,c满足2b2=3ac,求A.
【分析】由题设条件,可先由A,B,C成等差数列,及A+B+C=π得到B=,及A+C=,再由正弦定理将条件2b2
=3ac转化为角的正弦的关系,结合cos(A+C)=cosAcosC﹣sinAsinC求得cosAcosC=0,从而解出A
【解答】解:由A,B,C成等差数列,及A+B+C=π得B=,故有A+C=
由2b2=3ac得2sin2B=3sinAsinC=,
所以sinAsinC=
所以cos(A+C)=cosAcosC﹣sinAsinC=cosAcosC﹣
即cosAcosC﹣=﹣,可得cosAcosC=0
所以cosA=0或cosC=0,即A是直角或C是直角
所以A是直角,或A=
18.(12分)(2012•大纲版)已知数列{an}中,a1=1,前n项和
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
【分析】(1)直接利用已知,求出a2,a3;
(2)利用已知关系式,推出数列相邻两项的关系式,利用累积法,求出数列的通项公式即可.
【解答】解:(1)数列{an}中,a1=1,前n项和,
可知,得3(a1+a2)=4a2,
解得a2=3a1=3,由,
得3(a1+a2+a3)=5a3,
解得a3==6.
(2)由题意知a1=1,
当n>1时,有an=sn﹣sn﹣1=,
整理得,
于是a1=1,
a2=a1,
a3=a2,
…,
an﹣1=an﹣2,
,
将以上n个式子两端分别相乘,
整理得:.
综上{an}的通项公式为
19.(12分)(2012•大纲版)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.
(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;
(Ⅱ)设二面角A﹣PB﹣C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.
【分析】(I)先由已知建立空间直角坐标系,设D(,b,0),从而写出相关点和相关向量的坐标,利用向量垂直的充要条件,证明PC⊥BE,PC⊥DE,从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可;
(II)先求平面PAB的法向量,再求平面PBC的法向量,利用两平面垂直的性质,即可求得b的值,最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值,进而求得线面角
【解答】解:(I)以A为坐标原点,建立如图空间直角坐标系A﹣xyz,
设D(,b,0),则C(2,0,0),P(0,0,2),E(,0,),B(,﹣b,0)
∴=(2,0,﹣2),=(,b,),=(,﹣b,)
∴•=﹣=0,•=0
∴PC⊥BE,PC⊥DE,BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
(II)=(0,0,2),=(,﹣b,0)
设平面PAB的法向量为=(x,y,z),则
取=(b,,0)
设平面PBC的法向量为=(p,q,r),则
取=(1,﹣,)
∵平面PAB⊥平面PBC,∴•=b﹣=0.故b=
∴=(1,﹣1,),=(﹣,﹣,2)
∴cos<,>==
设PD与平面PBC所成角为θ,θ∈[0,],则sinθ=
∴θ=30°
∴PD与平面PBC所成角的大小为30°
20.(12分)(2012•大纲版)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,对方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球两次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.
(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1:2的概率;
(2)求开始第5次发球时,甲领先得分的概率.
【分析】(Ⅰ)记Ai表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2,Bi表示事件:第3次和第4次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2,A表示事件:第3次发球,甲得1分,B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2,C表示事件:开始第5次发球时,甲得分领先.B=,由此能求出开始第4次发球时,甲、乙的比分为1:2的概率.
(Ⅱ),P(B1)=2×0.4×0.6=0.48,,,由C=A1•B2+A2•B1+A2•B2,能求出开始第5次发球时,甲领先得分的概率.
【解答】解:(Ⅰ)记Ai表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2,
Bi表示事件:第3次和第4次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2,
A表示事件:第3次发球,甲得1分,
B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2,
C表示事件:开始第5次发球时,甲得分领先.
∴B=,
P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,
P(A1)=2×0.6×0.4=0.48,
P(B)=
=P(A0•A)+P()
=
=0.16×0.4+0.48×(1﹣0.4)
=0.352.
答:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1:2的概率是0.352.
(Ⅱ),
P(B1)=2×0.4×0.6=0.48,
,
,
∵C=A1•B2+A2•B1+A2•B2,
∴P(C)=P(A1•B2+A2B1+A2•B2)
=P(A1•B2)+P(A2•B1)+P(A2•B2)
=P(A1)P(B)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2)
=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16
=0.3072.
答:开始第5次发球时,甲领先得分的概率是0.3072.
21.(12分)(2012•大纲版)已知函数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.
【分析】(1)先对函数进行求导,通过a的取值,求出函数的根,然后通过导函数的值的符号,推出函数的单调性.
(2)根据导函数的根,判断a的范围,进而解出直线l的方程,利用l与x轴的交点为(x0,0),可解出a的值.
【解答】解:(1)f′(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a﹣1.
①当a≥1时,f′(x)≥0,
且仅当a=1,x=﹣1时,f′(x)=0,
所以f(x)是R上的增函数;
②当a<1时,f′(x)=0,有两个根,
x1=﹣1﹣,x2=﹣1+,
当x∈时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
当x∈时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
当x∈时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
(2)由题意x1,x2,是方程f′(x)=0的两个根,
故有a<1,,,
因此=
=
==,
同理.
因此直线l的方程为:y=.
设l与x轴的交点为(x0,0)得x0=,
=,
由题设知,点(x0,0)在曲线y=f(x)上,故f(x0)=0,
解得a=0,或a=或a=
22.(12分)(2012•大纲版)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆(r>0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.
(Ⅰ)求r;
(Ⅱ)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离.
【分析】(Ⅰ)设A(x0,(x0+1)2),根据y=(x+1)2,求出l的斜率,圆心M(1,),求得MA的斜率,利用l⊥MA建立方程,求得A的坐标,即可求得r的值;
(Ⅱ)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为y﹣(t+1)2=2(t+1)(x﹣t),即y=2(t+1)x﹣t2+1,若该直线与圆M相切,则圆心M到该切线的距离为,建立方程,求得t的值,求出相应的切线方程,可得D的坐标,从而可求D到l的距离.
【解答】解:(Ⅰ)设A(x0,(x0+1)2),
∵y=(x+1)2,y′=2(x+1)
∴l的斜率为k=2(x0+1)
当x0=1时,不合题意,所以x0≠1
圆心M(1,),MA的斜率.
∵l⊥MA,∴2(x0+1)×=﹣1
∴x0=0,∴A(0,1),
∴r=|MA|=;
(Ⅱ)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为y﹣(t+1)2=2(t+1)(x﹣t),即y=2(t+1)x﹣t2+1
若该直线与圆M相切,则圆心M到该切线的距离为
∴
∴t2(t2﹣4t﹣6)=0
∴t0=0,或t1=2+,t2=2﹣
抛物线C在点(ti,(ti+1)2)(i=0,1,2)处的切线分别为l,m,n,其方程分别为
y=2x+1①,y=2(t1+1)x﹣②,y=2(t2+1)x﹣③
②﹣③:x=
代入②可得:y=﹣1
∴D(2,﹣1),
∴D到l的距离为
参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;刘长柏;沂蒙松;xize;邢新丽;wfy814;zlzhan;xintrl(排名不分先后)
2017年2月3日
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