2006年上海市高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 5页

1 / 5 2006 年上海市高考数学试卷（文科） 一、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 1. 已知퐴 = { ― 1, 3, 푚}，集合퐵 = {3, 4}，若퐵 ⊆ 퐴，则实数푚 = ________． 2. 已知两条直线푙1:푎푥 +3푦 ― 3 = 0，푙2:4푥 +6푦 ― 1 = 0．若푙1 // 푙2，则푎 = ________． 3. 若函数푓(푥) = 푎푥(푎 > 0，且푎 ≠ 1)的反函数的图象过点(2,  ― 1)，则푎 = ________． 4. 计算： lim 푛→∞ 푛(푛2 + 1) 6푛3 + 1 = ________． 5. 若复数푧满足푧 = (푚 ― 2) + (푚 +1)푖（푖为虚数单位）为纯虚数，其中푚 ∈ R，则|푧 | = ________． 6. 函数푦＝sin푥cos푥的最小正周期是________． 7. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3, 0)，且焦距与虚轴长之比为5:4， 则双曲线的标准方程是________． 8. 方程log3(푥2 ― 10) = 1 + log3푥的解是________． 9. 已知实数푥，푦满足{ 푥 + 푦 ― 3 ≥ 0 푥 + 2푦 ― 5 ≤ 0 푥 ≥ 0 푦 ≥ 0 ，则푦 ― 2푥的最大值是________． 10. 在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全 宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是________（结果用分数表示）． 11. 若曲线|푦|＝2푥 +1与直线푦＝푏没有公共点，则푏的取值范围是________． 12. 如图，平面中两条直线푙1和푙2相交于点푂，对于平面上任意一点푀，若푝，푞分别 是푀到直线푙1和푙2的距离，则称有序非负实数对(푝, 푞)是点푀的“距离坐标”，根据上述 定义，“距离坐标”是(1, 2)的点的个数是________． 二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13. 如图，在平行四边形퐴퐵퐶퐷中，下列结论中错误的是(        ) A. → 퐴퐵 = → 퐷퐶 B. → 퐴퐷 + → 퐴퐵 = → 퐴퐶 C. → 퐴퐵 ― → 퐴퐷 = → 퐵퐷 D. → 퐴퐷 + → 퐶퐵 = → 0 14. 如果푎 < 0，푏 > 0，那么下列不等式中正确的是( ) A.1 푎 < 1 푏 B. ―푎 < 푏 C.푎2 < 푏2 D.|푎| > |푏| 15. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共 点”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 16. 如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在 一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对” 的个数是（ ） A.48 B.18 C.24 D.36 三、解答题（共 6 小题，满分 86 分） 17. 已知훼是第一象限的角，且cos훼 = 5 13，求 sin(훼 + 휋 4) cos(2훼 + 4휋)的值． 2 / 5 18. 如图，当甲船位于퐴处时获悉，在其正东方向相距20海里的퐵处有一艘渔船遇险 等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30∘，相距10海里퐶处 的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往퐵处救援（角度精确到1∘）？ 19. 在直三棱柱퐴퐵퐶 ― 퐴퐵퐶中，∠퐴퐵퐶 = 90∘，퐴퐵 = 퐵퐶 = 1． （1）求异面直线퐵1퐶1与퐴퐶所成的角的大小； （2）若퐴1퐶与平面퐴퐵퐶所成角为45∘，求三棱锥퐴1 ― 퐴퐵퐶的体积． 20. 设数列{푎푛}的前푛项和为푆푛，且对任意正整数푛，푎푛 + 푆푛 = 4096． （1）求数列{푎푛}的通项公式 （2）设数列{log2푎푛}的前푛项和为푇푛，对数列{푇푛}，从第几项起푇푛 < ―509？ 21. 已知在平面直角坐标系푥푂푦中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为퐹( ― 3,0)， 3 / 5 右顶点为퐷(2, 0)，设点퐴(1,1 2)． （1）求该椭圆的标准方程； （2）若푃是椭圆上的动点，求线段푃퐴中点푀的轨迹方程； （3）过原点푂的直线交椭圆于点퐵，퐶，求 △ 퐴퐵퐶面积的最大值． 22. 已知函数푦 = 푥 + 푎 푥有如下性质：如果常数푎 > 0，那么该函数在(0, 푎]上是减函数， 在[ 푎， +∞)上是增函数． （1）如果函数푦 = 푥 + 2푏 푥 (푥 > 0)在(0, 4]上是减函数，在[4,  + ∞)上是增函数，求푏的值． （2）设常数푐 ∈ [1, 4]，求函数푓(푥) = 푥 + 푐 푥(1 ≤ 푥 ≤ 2)的最大值和最小值； （3）当푛是正整数时，研究函数푔(푥) = 푥푛 + 푐 푥푛(푐 > 0)的单调性，并说明理由． 4 / 5 参考答案与试题解析 2006 年上海市高考数学试卷（文科） 一、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 1.4 2.2 3.1 2 4.1 6 5.3 6.휋 7.푥2 9 ― 푦2 16 = 1 8.5 9.0 10.14 33 11. ― 1 ≤ 푏 ≤ 1 12.4 二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13.C 14.A 15.A 16.D 三、解答题（共 6 小题，满分 86 分） 17.解： sin(훼 + 휋 4) cos(2훼 + 4휋) = 2 2 (cos훼 + sin훼) cos2훼 = 2 2 (cos훼 + sin훼) cos2훼 ― sin2훼 = 2 2 ⋅ 1 cos훼 ― sin훼 由已知可得sin훼 = 12 13， ∴ 原式 = 2 2 × 1 5 13 ― 12 13 = ― 13 2 14 ． 18.解：连接퐵퐶， 由余弦定理得 퐵퐶2 = 202 + 102 ― 2 × 20 × 10퐶푂푆120∘ = 700． 于是，퐵퐶 = 10 7 ∵ sin퐴퐶퐵 20 = sin120∘ 10 7 ， ∴ sin∠퐴퐶퐵 = 3 7， ∵ ∠퐴퐶퐵 < 90∘ ∴ ∠퐴퐶퐵 = 41∘ ∴ 乙船应朝北偏东71∘方向沿直线前往퐵处救援． 19.解：（1）∵ 퐵퐶 // 퐵1퐶1， ∴ ∠퐴퐶퐵为异面直线퐵1퐶1与퐴퐶所成角（或它的补角） ∵ ∠퐴퐵퐶 = 90∘，퐴퐵 = 퐵퐶 = 1， ∴ ∠퐴퐶퐵 = 45∘， ∴ 异面直线퐵1퐶1与퐴퐶所成角为45∘． （2）∵ 퐴퐴1 ⊥ 平面퐴퐵퐶， ∠퐴퐶퐴1是퐴1퐶与平面퐴퐵퐶所成的角，∠퐴퐶퐴 = 45∘． ∵ ∠퐴퐵퐶 = 90∘，퐴퐵 = 퐵퐶 = 1，퐴퐶 = 2， ∴ 퐴퐴1 = 2． ∴ 三棱锥퐴1 ― 퐴퐵퐶的体积푉 = 1 3푆△퐴퐵퐶 × 퐴퐴1 = 2 6 ． 5 / 5 20.解：（1）∵ 푎푛 + 푆푛 = 4096， ∴ 푎1 + 푆1 = 4096，푎1 = 2048． 当푛 ≥ 2时，푎푛 = 푆푛 ― 푆푛―1 = (4096 ― 푎푛) ― (4096 ― 푎푛―1) = 푎푛―1 ― 푎푛 ∴ 푎푛 푎푛―1 = 1 2푎푛 = 2048(1 2)푛―1． （2）∵ log2푎푛 = log2[2048(1 2)푛―1] = 12 ― 푛， ∴ 푇푛 = 1 2( ― 푛2 +23푛)． 由푇푛 < ―509，解得푛 > 23 + 4601 2 ，而푛是正整数， 于是，푛 ≥ 46． ∴ 从第46项起푇푛 < ―509． 21.由已知得椭圆的半长轴푎＝2，半焦距푐 = 3，则半短轴푏＝1． 又椭圆的焦点在푥轴上， ∴ 椭圆的标准方程为푥2 4 + 푦2 = 1 设线段푃퐴的中点为푀(푥, 푦)，点푃的坐标是(푥0, 푦0)， 由{푥 = 푥0 + 1 2 푦 = 푦0 + 1 2 2  得{푥0 = 2푥 ― 1 푦0 = 2푦 ― 1 2 由，点푃在椭圆上，得(2푥 ― 1)2 4 +(2푦 ― 1 2)2 = 1， ∴ 线段푃퐴中点푀的轨迹方程是(푥 ― 1 2)2 +4(푦 ― 1 4)2 = 1． 当直线퐵퐶垂直于푥轴时，퐵퐶＝2， 因此 △ 퐴퐵퐶的面积푆△퐴퐵퐶＝1． 当直线퐵퐶不垂直于푥轴时，设该直线方程为푦＝푘푥，代入푥2 4 + 푦2 = 1， 解得퐵( 2 4푘2 + 1,  2푘 4푘2 + 1)，퐶( ― 2 4푘2 + 1,  ― 2푘 4푘2 + 1)， 则|퐵퐶| = 4 1 + 푘2 1 + 4푘2，又点퐴到直线퐵퐶的距离푑 = |푘 ― 1 2| 1 + 푘2， ∴ △ 퐴퐵퐶的面积푆△퐴퐵퐶 = 1 2|퐵퐶| ⋅ 푑 = |2푘 ― 1| 1 + 4푘2 于是푆△퐴퐵퐶 = 4푘2 ― 4푘 + 1 4푘2 + 1 = 1 ― 4푘 4푘2 + 1 由 4푘 4푘2 + 1 ≥ ―1，得푆△퐴퐵퐶 ≤ 2，其中，当푘 = ― 1 2时，等号成立． ∴ 푆△퐴퐵퐶的最大值是 2． 22.解：（1）由已知得 2푏 = 4， ∴ 푏 = 4． （2）∵ 푐 ∈ [1, 4]， ∴ 푐 ∈ [1, 2]， 于是，当푥 = 푐时，函数푓(푥) = 푥 + 푐 푥取得最小值2 푐． 푓(1) ― 푓(2) = 푐 ― 2 2 ， 当1 ≤ 푐 ≤ 2时，函数푓(푥)的最大值是푓(2) = 2 + 푐 2； 当2 ≤ 푐 ≤ 4时，函数푓(푥)的最大值是푓(1) = 1 + 푐． （3）设0 < 푥1 < 푥2，푔(푥2) ― 푔(푥1) = 푥푛2 + 푐 푥푛2 ― 푥푛1 ― 푐 푥푛1 = (푥푛2 ― 푥푛1)(1 ― 푐 푥푛1푥푛2 )． 当2푛 푐 < 푥1 < 푥2时，푔(푥2) > 푔(푥1)，函数푔(푥)在[2푛 푐， +∞)上是增函数； 当0 < 푥1 < 푥2 < 2푛 푐时，푔(푥2) > 푔(푥1)，函数푔(푥)在(0, 2푛 푐]上是减函数． 当푛是奇数时，푔(푥)是奇函数， 函数푔(푥)在( ― ∞,  ― 2푛 푐]上是增函数，在[ ― 2푛 푐，0)上是减函数． 当푛是偶数时，푔(푥)是偶函数， 函数푔(푥)在( ― ∞,  ― 2푛 푐)上是减函数，在[ ― 2푛 푐, 0]上是增函数．