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  • 2021-06-23 发布

2006年上海市高考数学试卷(文科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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1 / 5 2006 年上海市高考数学试卷(文科) 一、填空题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 1. 已知퐴 = { ― 1, 3, 푚},集合퐵 = {3, 4},若퐵 ⊆ 퐴,则实数푚 = ________. 2. 已知两条直线푙1:푎푥 +3푦 ― 3 = 0,푙2:4푥 +6푦 ― 1 = 0.若푙1 // 푙2,则푎 = ________. 3. 若函数푓(푥) = 푎푥(푎 > 0,且푎 ≠ 1)的反函数的图象过点(2,  ― 1),则푎 = ________. 4. 计算: lim 푛→∞ 푛(푛2 + 1) 6푛3 + 1 = ________. 5. 若复数푧满足푧 = (푚 ― 2) + (푚 +1)푖(푖为虚数单位)为纯虚数,其中푚 ∈ R,则|푧 | = ________. 6. 函数푦=sin푥cos푥的最小正周期是________. 7. 已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3, 0),且焦距与虚轴长之比为5:4, 则双曲线的标准方程是________. 8. 方程log3(푥2 ― 10) = 1 + log3푥的解是________. 9. 已知实数푥,푦满足{ 푥 + 푦 ― 3 ≥ 0 푥 + 2푦 ― 5 ≤ 0 푥 ≥ 0 푦 ≥ 0 ,则푦 ― 2푥的最大值是________. 10. 在一个小组中有8名女同学和4名男同学,从中任意地挑选2名同学担任交通安全 宣传志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是________(结果用分数表示). 11. 若曲线|푦|=2푥 +1与直线푦=푏没有公共点,则푏的取值范围是________. 12. 如图,平面中两条直线푙1和푙2相交于点푂,对于平面上任意一点푀,若푝,푞分别 是푀到直线푙1和푙2的距离,则称有序非负实数对(푝, 푞)是点푀的“距离坐标”,根据上述 定义,“距离坐标”是(1, 2)的点的个数是________. 二、选择题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 13. 如图,在平行四边形퐴퐵퐶퐷中,下列结论中错误的是(        ) A. → 퐴퐵 = → 퐷퐶 B. → 퐴퐷 + → 퐴퐵 = → 퐴퐶 C. → 퐴퐵 ― → 퐴퐷 = → 퐵퐷 D. → 퐴퐷 + → 퐶퐵 = → 0 14. 如果푎 < 0,푏 > 0,那么下列不等式中正确的是( ) A.1 푎 < 1 푏 B. ―푎 < 푏 C.푎2 < 푏2 D.|푎| > |푏| 15. 若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共 点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 16. 如果一条直线与一个平面垂直,则称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在 一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对” 的个数是( ) A.48 B.18 C.24 D.36 三、解答题(共 6 小题,满分 86 分) 17. 已知훼是第一象限的角,且cos훼 = 5 13,求 sin(훼 + 휋 4) cos(2훼 + 4휋)的值. 2 / 5 18. 如图,当甲船位于퐴处时获悉,在其正东方向相距20海里的퐵处有一艘渔船遇险 等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30∘,相距10海里퐶处 的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往퐵处救援(角度精确到1∘)? 19. 在直三棱柱퐴퐵퐶 ― 퐴퐵퐶中,∠퐴퐵퐶 = 90∘,퐴퐵 = 퐵퐶 = 1. (1)求异面直线퐵1퐶1与퐴퐶所成的角的大小; (2)若퐴1퐶与平面퐴퐵퐶所成角为45∘,求三棱锥퐴1 ― 퐴퐵퐶的体积. 20. 设数列{푎푛}的前푛项和为푆푛,且对任意正整数푛,푎푛 + 푆푛 = 4096. (1)求数列{푎푛}的通项公式 (2)设数列{log2푎푛}的前푛项和为푇푛,对数列{푇푛},从第几项起푇푛 < ―509? 21. 已知在平面直角坐标系푥푂푦中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为퐹( ― 3,0), 3 / 5 右顶点为퐷(2, 0),设点퐴(1,1 2). (1)求该椭圆的标准方程; (2)若푃是椭圆上的动点,求线段푃퐴中点푀的轨迹方程; (3)过原点푂的直线交椭圆于点퐵,퐶,求 △ 퐴퐵퐶面积的最大值. 22. 已知函数푦 = 푥 + 푎 푥有如下性质:如果常数푎 > 0,那么该函数在(0, 푎]上是减函数, 在[ 푎, +∞)上是增函数. (1)如果函数푦 = 푥 + 2푏 푥 (푥 > 0)在(0, 4]上是减函数,在[4,  + ∞)上是增函数,求푏的值. (2)设常数푐 ∈ [1, 4],求函数푓(푥) = 푥 + 푐 푥(1 ≤ 푥 ≤ 2)的最大值和最小值; (3)当푛是正整数时,研究函数푔(푥) = 푥푛 + 푐 푥푛(푐 > 0)的单调性,并说明理由. 4 / 5 参考答案与试题解析 2006 年上海市高考数学试卷(文科) 一、填空题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 1.4 2.2 3.1 2 4.1 6 5.3 6.휋 7.푥2 9 ― 푦2 16 = 1 8.5 9.0 10.14 33 11. ― 1 ≤ 푏 ≤ 1 12.4 二、选择题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 13.C 14.A 15.A 16.D 三、解答题(共 6 小题,满分 86 分) 17.解: sin(훼 + 휋 4) cos(2훼 + 4휋) = 2 2 (cos훼 + sin훼) cos2훼 = 2 2 (cos훼 + sin훼) cos2훼 ― sin2훼 = 2 2 ⋅ 1 cos훼 ― sin훼 由已知可得sin훼 = 12 13, ∴ 原式 = 2 2 × 1 5 13 ― 12 13 = ― 13 2 14 . 18.解:连接퐵퐶, 由余弦定理得 퐵퐶2 = 202 + 102 ― 2 × 20 × 10퐶푂푆120∘ = 700. 于是,퐵퐶 = 10 7 ∵ sin퐴퐶퐵 20 = sin120∘ 10 7 , ∴ sin∠퐴퐶퐵 = 3 7, ∵ ∠퐴퐶퐵 < 90∘ ∴ ∠퐴퐶퐵 = 41∘ ∴ 乙船应朝北偏东71∘方向沿直线前往퐵处救援. 19.解:(1)∵ 퐵퐶 // 퐵1퐶1, ∴ ∠퐴퐶퐵为异面直线퐵1퐶1与퐴퐶所成角(或它的补角) ∵ ∠퐴퐵퐶 = 90∘,퐴퐵 = 퐵퐶 = 1, ∴ ∠퐴퐶퐵 = 45∘, ∴ 异面直线퐵1퐶1与퐴퐶所成角为45∘. (2)∵ 퐴퐴1 ⊥ 平面퐴퐵퐶, ∠퐴퐶퐴1是퐴1퐶与平面퐴퐵퐶所成的角,∠퐴퐶퐴 = 45∘. ∵ ∠퐴퐵퐶 = 90∘,퐴퐵 = 퐵퐶 = 1,퐴퐶 = 2, ∴ 퐴퐴1 = 2. ∴ 三棱锥퐴1 ― 퐴퐵퐶的体积푉 = 1 3푆△퐴퐵퐶 × 퐴퐴1 = 2 6 . 5 / 5 20.解:(1)∵ 푎푛 + 푆푛 = 4096, ∴ 푎1 + 푆1 = 4096,푎1 = 2048. 当푛 ≥ 2时,푎푛 = 푆푛 ― 푆푛―1 = (4096 ― 푎푛) ― (4096 ― 푎푛―1) = 푎푛―1 ― 푎푛 ∴ 푎푛 푎푛―1 = 1 2푎푛 = 2048(1 2)푛―1. (2)∵ log2푎푛 = log2[2048(1 2)푛―1] = 12 ― 푛, ∴ 푇푛 = 1 2( ― 푛2 +23푛). 由푇푛 < ―509,解得푛 > 23 + 4601 2 ,而푛是正整数, 于是,푛 ≥ 46. ∴ 从第46项起푇푛 < ―509. 21.由已知得椭圆的半长轴푎=2,半焦距푐 = 3,则半短轴푏=1. 又椭圆的焦点在푥轴上, ∴ 椭圆的标准方程为푥2 4 + 푦2 = 1 设线段푃퐴的中点为푀(푥, 푦),点푃的坐标是(푥0, 푦0), 由{푥 = 푥0 + 1 2 푦 = 푦0 + 1 2 2  得{푥0 = 2푥 ― 1 푦0 = 2푦 ― 1 2 由,点푃在椭圆上,得(2푥 ― 1)2 4 +(2푦 ― 1 2)2 = 1, ∴ 线段푃퐴中点푀的轨迹方程是(푥 ― 1 2)2 +4(푦 ― 1 4)2 = 1. 当直线퐵퐶垂直于푥轴时,퐵퐶=2, 因此 △ 퐴퐵퐶的面积푆△퐴퐵퐶=1. 当直线퐵퐶不垂直于푥轴时,设该直线方程为푦=푘푥,代入푥2 4 + 푦2 = 1, 解得퐵( 2 4푘2 + 1,  2푘 4푘2 + 1),퐶( ― 2 4푘2 + 1,  ― 2푘 4푘2 + 1), 则|퐵퐶| = 4 1 + 푘2 1 + 4푘2,又点퐴到直线퐵퐶的距离푑 = |푘 ― 1 2| 1 + 푘2, ∴ △ 퐴퐵퐶的面积푆△퐴퐵퐶 = 1 2|퐵퐶| ⋅ 푑 = |2푘 ― 1| 1 + 4푘2 于是푆△퐴퐵퐶 = 4푘2 ― 4푘 + 1 4푘2 + 1 = 1 ― 4푘 4푘2 + 1 由 4푘 4푘2 + 1 ≥ ―1,得푆△퐴퐵퐶 ≤ 2,其中,当푘 = ― 1 2时,等号成立. ∴ 푆△퐴퐵퐶的最大值是 2. 22.解:(1)由已知得 2푏 = 4, ∴ 푏 = 4. (2)∵ 푐 ∈ [1, 4], ∴ 푐 ∈ [1, 2], 于是,当푥 = 푐时,函数푓(푥) = 푥 + 푐 푥取得最小值2 푐. 푓(1) ― 푓(2) = 푐 ― 2 2 , 当1 ≤ 푐 ≤ 2时,函数푓(푥)的最大值是푓(2) = 2 + 푐 2; 当2 ≤ 푐 ≤ 4时,函数푓(푥)的最大值是푓(1) = 1 + 푐. (3)设0 < 푥1 < 푥2,푔(푥2) ― 푔(푥1) = 푥푛2 + 푐 푥푛2 ― 푥푛1 ― 푐 푥푛1 = (푥푛2 ― 푥푛1)(1 ― 푐 푥푛1푥푛2 ). 当2푛 푐 < 푥1 < 푥2时,푔(푥2) > 푔(푥1),函数푔(푥)在[2푛 푐, +∞)上是增函数; 当0 < 푥1 < 푥2 < 2푛 푐时,푔(푥2) > 푔(푥1),函数푔(푥)在(0, 2푛 푐]上是减函数. 当푛是奇数时,푔(푥)是奇函数, 函数푔(푥)在( ― ∞,  ― 2푛 푐]上是增函数,在[ ― 2푛 푐,0)上是减函数. 当푛是偶数时,푔(푥)是偶函数, 函数푔(푥)在( ― ∞,  ― 2푛 푐)上是减函数,在[ ― 2푛 푐, 0]上是增函数.