2021版高考数学一轮复习第八章立体几何8-5空间向量及其运算练习苏教版 9页

‎8.5 空间向量及其运算 考点一　空间向量的线性运算 ‎ ‎1.在空间四边形ABCD中,若=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为 (　　)‎ A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3) ‎ C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)‎ ‎2.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________. ‎ ‎3.如图所示,在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,O为AC的中点.用,,表示,则=________. ‎ ‎4.如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x,y,z的值分别为________.  ‎ ‎【解析】1.选B.因为点E,F分别为线段BC,AD的中点,设O为坐标原点,所以=-,=(+),‎ ‎=(+).‎ - 9 -‎ 所以=(+)-(+)=(+)‎ ‎=[(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)]‎ ‎=(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).‎ ‎2.设M(0,y,0),则=(1,-y,2),=(1,-3-y,1),由题意知||=||,所以12+y2+22=12+(-3-y)2+12,解得y=-1,故M(0,-1,0).‎ 答案:(0,-1,0)‎ ‎3.因为==(+),所以=+=(+)+=++.‎ 答案:++‎ ‎4.因为=+=+‎ ‎=+( -)=+-‎ ‎= +×(+)-× ‎ ‎=+ +,所以x,y,z的值分别为,,.‎ 答案:,,‎ ‎(1)选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.‎ - 9 -‎ ‎(2)解题时应结合已知和所求观察图形,正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,灵活运用三角形法则及四边形法则,就近表示所需向量.‎ 考点二　共线向量定理、共面向量定理及其应用 ‎ ‎【典例】1.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若向量a,b,c共面,则实数λ等于 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.‎ 求证:B,G,N三点共线.‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 因为a,b,c共面,想到c=xa+yb,列出方程组可求参数值.‎ ‎2‎ 要证B,G,N三点共线,只要证=λ即可,想到选择恰当的基向量分别表示和. ‎ ‎【解析】1.选D.因为向量a,b,c共面,所以由共面向量基本定理,存在惟一有序实数对(x,y),使得xa+yb=c,‎ 所以,解方程组得λ=.‎ ‎2.设=a,=b,=c,‎ 则=+=+ =-a+(a+b+c)=-a +b +c,‎ - 9 -‎ ‎=+=+(+)=-a+b+c=.所以∥,即B,G,N三点共线.‎ 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面 ‎=λ且同过点P ‎=x+y 对空间任一点O,=+t 对空间任一点O,=+‎ x+y ‎1.e1,e2是平面内不共线两向量,已知=e1-ke2,=2e1+e2,=3e1-e2,若A,B,D三点共线,则k的值是 (　　)‎ A.2 B.‎-3 ‎ C.-2 D.3‎ ‎【解析】选A.=-=e1-2e2,又A,B,D三点共线,设=λ,所以,所以k=2.‎ ‎2.如图,已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′,E,F,G,H分别是棱A′D′,D′C′,C′C和AB的中点,求证E,F,G,H四点共面.‎ ‎【证明】取=a,=b,=c,‎ 则=++‎ - 9 -‎ ‎=b-a+‎2a+( ++ )‎ ‎=b+a+(b-a-c-a)=b-c,‎ 所以与b,c共面.即E,F,G,H四点共面.‎ 考点三　空间向量的数量积及其应用  ‎ 命 题 精 解 读 考什么:(1)考查空间向量的数量积运算、利用数量积求线段长度、夹角大小以及证明垂直问题.(2)考查直观想象与数学运算的核心素养.‎ 怎么考:常见命题方向:证明线线垂直,求空间角.‎ 新趋势:以柱、锥、台体为载体,利用空间向量的数量积运算解决求值问题.‎ 学 霸 好 方 法 ‎1.(1)利用数量积解决问题的两条途径 :一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.‎ ‎(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.‎ ‎①a≠0,b≠0,a⊥b⇔a·b=0;‎ ‎②|a|=;‎ ‎③cos=‎ ‎2.交汇问题:与立体几何知识联系,考查证明垂直,求空间角等问题. ‎ 空间向量的数量积运算 ‎【典例】1.在棱长为1的正四面体ABCD中,E是BC的中点,则·=(　　)‎ A.0 B. C.- D.-‎ ‎2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2)且ka+b与‎2a-b互相垂直,则k=________.  ‎ - 9 -‎ ‎【解析】1.选D.·=·= ==-.‎ ‎2.由题意得,ka+b=(k-1,k,2),‎2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)·(‎2a-b)= 3(k-1)+2k-2×2=5k-7=0,解得k=.‎ 答案:‎ 空间向量数量积计算有两种方法:基向量法与坐标法,在具体题目中我们如何选择使用哪种方法?‎ 提示:只要能建系写坐标的题目,尽量使用坐标法.‎ 数量积的应用 ‎【典例】已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).‎ ‎(1)求以,为边的平行四边形的面积.‎ ‎(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标. ‎ ‎【解析】(1)由题意可得:=(-2,-1,3),‎ ‎=(1,-3,2),所以cos<,>=‎ ‎===,所以sin<,>=,‎ 所以以,为边的平行四边形的面积为 S=2×||·||·sin<,>=14×=7.‎ - 9 -‎ ‎(2)设a=(x,y,z),由题意得 解得或 所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).‎ 空间向量数量积的基本应用有哪些?‎ 提示:(1)求角.(2)求线段长.(3)证明垂直.‎ ‎1.在Rt△ABC中, ∠C=90°,AC=4,则·等于 (　　)‎ A.-16 B.‎-8 ‎ C.8 D.16‎ ‎【解析】选D.·=(-)·(-)=-·+ =16.‎ ‎2.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.‎ ‎(1)求AC1的长.‎ ‎(2)求证:AC1⊥BD.‎ ‎(3)求BD1与AC夹角的余弦值.‎ ‎【解析】(1)记=a,=b,=c,‎ 则|a|=|b|=|c|=1,===60°,‎ 所以a·b=b·c=c·a=.‎ ‎||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)‎ - 9 -‎ ‎=1+1+1+2×=6,‎ 所以||=,即AC1的长为.‎ ‎(2)因为=a+b+c,=b-a,‎ 所以·=(a+b+c)·(b-a)‎ ‎=a·b+b2+b·c-a2-a·b-a·c ‎=b·c-a·c ‎=|b|·|c|cos 60°-|a||c|cos 60°=0.‎ 所以⊥,所以AC1⊥BD.‎ ‎(3)=b+c-a,=a+b,‎ 所以||=,||=,‎ ‎·=(b+c-a)·(a+b)‎ ‎=b2-a2+a·c+b·c=1.‎ 所以cos <,>==.‎ 所以AC与BD1夹角的余弦值为.‎ ‎1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则·= ________. ‎ ‎【解析】由题干图可得:‎ ‎·=(+)·=·+·=0+·=(+)·=·||2=.‎ 答案:‎ - 9 -‎ ‎2.如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求BD的长.‎ ‎【解析】因为AB与CD成60°角,‎ 所以<, >=60°或120°,‎ 又因为AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB,‎ 所以| |== =‎ ‎= ,‎ 所以||=2或,所以BD的长为2或.‎ - 9 -‎