2014年江西省高考数学试卷（理科） 28页

‎2014年江西省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．（5分）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（　　）‎ A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i ‎2．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（　　）‎ A．（0，1） B．[0，1] C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）‎ ‎3．（5分）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．﹣1‎ ‎4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（　　）‎ A．3 B． C． D．3‎ ‎5．（5分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　）‎ 表1‎ ‎ 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 女 ‎10‎ ‎22‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表2‎ ‎ 视力 性别 好 差 总计 男 ‎4‎ ‎16‎ ‎20‎ 女 ‎12‎ ‎20‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表3‎ ‎ 智商 性别 偏高 正常 总计 男 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎24‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表4‎ ‎ 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 女 ‎2‎ ‎30‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量 ‎7．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（　　）‎ A．7 B．9 C．10 D．11‎ ‎8．（5分）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣ C． D．1‎ ‎9．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（　　）‎ A．π B．π C．（6﹣2）π D．π ‎10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为li（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎　‎ 二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题 ‎11．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 坐标系与参数方程选做题 ‎12．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（　　）‎ A．ρ=，0≤θ≤ B．ρ=，0≤θ≤‎ C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤ D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤‎ ‎　‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．（5分）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是　　．‎ ‎14．（5分）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是　　．‎ ‎15．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=　　．‎ ‎16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于　　．‎ ‎　‎ 五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）‎ ‎（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；‎ ‎（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．‎ ‎18．（12分）已知首项是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0．‎ ‎（1）令cn=，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=3n﹣1，求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）‎ ‎（1）当b=4时，求f（x）的极值；‎ ‎（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎（1）求证：AB⊥PD；‎ ‎（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．‎ ‎21．（13分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．‎ ‎22．（14分）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．‎ ‎（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；‎ ‎（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2014年江西省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．（5分）（2014•江西）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（　　）‎ A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i ‎【分析】由题，先求出z﹣=﹣2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项．‎ ‎【解答】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①‎ 又z+=2 ②‎ 由①②解得z=1﹣i 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•江西）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（　　）‎ A．（0，1） B．[0，1] C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）‎ ‎【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x＞0，即x＞1或x＜0，‎ 故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•江西）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．﹣1‎ ‎【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵g（x）=ax2﹣x（a∈R），‎ ‎∴g（1）=a﹣1，‎ 若f[g（1）]=1，‎ 则f（a﹣1）=1，‎ 即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，‎ 解得a=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（　　）‎ A．3 B． C． D．3‎ ‎【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，‎ ‎∴c2=a2﹣2ab+b2+6，‎ 即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，‎ ‎∵C=，‎ ‎∴cos===，‎ 解得ab=6，‎ 则三角形的面积S=absinC==，‎ 故选：C ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•江西）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．‎ ‎【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　）‎ 表1‎ ‎ 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 女 ‎10‎ ‎22‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表2‎ ‎ 视力 性别 好 差 总计 男 ‎4‎ ‎16‎ ‎20‎ 女 ‎12‎ ‎20‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表3‎ ‎ 智商 性别 偏高 正常 总计 男 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎24‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表4‎ ‎ 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 女 ‎2‎ ‎30‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量 ‎【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：表1：X2=≈0.009；‎ 表2：X2=≈1.769；‎ 表3：X2=≈1.3；‎ 表4：X2=≈23.48，‎ ‎∴阅读量与性别有关联的可能性最大，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（　　）‎ A．7 B．9 C．10 D．11‎ ‎【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，‎ ‎∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，‎ ‎∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣ C． D．1‎ ‎【分析】利用回代验证法推出选项即可．‎ ‎【解答】解：若f（x）dx=﹣1，则：f（x）=x2﹣2，‎ ‎∴x2﹣2=x2+2（x2﹣2）dx=x2+2（）=x2﹣，显然A不正确；‎ 若f（x）dx=，则：f（x）=x2﹣，‎ ‎∴x2﹣=x2+2（x2﹣）dx=x2+2（）=x2﹣，显然B正确；‎ 若f（x）dx=，则：f（x）=x2+，‎ ‎∴x2+=x2+2（x2+）dx=x2+2（）=x2+2，显然C不正确；‎ 若f（x）dx=1，则：f（x）=x2+2，‎ ‎∴x2+2=x2+2（x2+2）dx=x2+2（）=x2+，显然D不正确；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（　　）‎ A．π B．π C．（6﹣2）π D．π ‎【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得 ‎|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小．‎ ‎【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，‎ 由已知得|OC|=|CE|=r，‎ 过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，‎ 交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，‎ 则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小 此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：‎ d==，‎ 此时r=‎ ‎∴圆C的面积的最小值为：Smin=π×（）2=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•江西）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为li（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．‎ ‎【解答】解：根据题意有：‎ A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；‎ A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；‎ E的坐标为（4，3，12）‎ ‎（1）l1长度计算 所以：l1=|AE|==13．‎ ‎（2）l2长度计算 将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：‎ A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；‎ 显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称．‎ 设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24）‎ 根据相似三角形易知：‎ xE2=2xE=2×4=8，‎ yE2=2yE=2×3=6，‎ 即：E2（8，6，24）‎ 根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内．‎ 根据反射原理，E2在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点．‎ 所以F的坐标为（8，6，0）．‎ 因此：l2=|EF|==13．‎ ‎（3）l3长度计算 设G的坐标为：（xG，yG，zG）‎ 如果G落在平面BCC1B1；‎ 这个时候有：xG=11，yG≤7，zG≤12‎ 根据反射原理有：AE∥FG 于是：向量与向量共线；‎ 即有：=λ 因为：=（4，3，12）；=（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）=（3，yG﹣6，zG）‎ 即有：（4，3，12）=λ（3，yG﹣6，zG）‎ 解得：yG=，zG=9；‎ 故G的坐标为：（11，，9）‎ 因为：＞7，故G点不在平面BCC1B1上，‎ 所以：G点只能在平面DCC1D1上；‎ 因此有：yG=7；xG≤11，zG≤12‎ 此时：=（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）=（xG﹣8，1，zG）‎ 即有：（4，3，12）=λ（xG﹣8，1，zG）‎ 解得：xG=，zG=4；‎ 满足：xG≤11，zG≤12‎ 故G的坐标为：（，7，4）‎ 所以：l3=|FG|==‎ ‎（4）l4长度计算 设G点在平面A1B1C1D1的投影为G’，坐标为（，7，12）‎ 因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；‎ 即：AEFGH共面 故EG的反射线GH只能与平面A1B1C1D1相交，且交点H只能在A1G'；‎ 易知：l4＞|GG’|=12﹣4=8＞l3．‎ 根据以上解析，可知l1，l2，l3，l4要满足以下关系：‎ l1=l2；且l4＞l3‎ 对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件．‎ 故本题选：C．‎ ‎　‎ 二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题 ‎11．（5分）（2014•江西）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．‎ ‎【解答】解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|‎ ‎=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|‎ ‎≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，‎ 当且仅当x∈[0，1]，y∈[﹣1，1]成立．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 坐标系与参数方程选做题 ‎12．（2014•江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（　　）‎ A．ρ=，0≤θ≤ B．ρ=，0≤θ≤‎ C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤ D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤‎ ‎【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1﹣x（0≤x≤1）化为极坐标方程．‎ ‎【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1﹣x（0≤x≤1），‎ 可得ρcosθ+ρsinθ=1，即 ρ=．‎ 由0≤x≤1，可得线段y=1﹣x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[0，]，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．（5分）（2014•江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是　　．‎ ‎【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C73种结果，得到概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，‎ 满足条件的事件是恰好有1件次品有C种结果，‎ ‎∴恰好有一件次品的概率是P==‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是　（﹣ln2，2）　．‎ ‎【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．‎ ‎【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，‎ ‎∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，‎ ‎∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，‎ ‎∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．‎ 故答案为：（﹣ln2，2）．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2014•江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3‎ ‎﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=　　．‎ ‎【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．‎ ‎【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（1，0），=，‎ ‎=3﹣2=（），=3﹣=（），‎ ‎∴cosβ===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2014•江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于　　．‎ ‎【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，‎ ‎∵M是线段AB的中点，‎ ‎∴=1，=1，‎ ‎∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，‎ ‎∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），‎ ‎∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞‎ ‎0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，‎ ‎∴①②两式相减可得，即，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴=b，‎ ‎∴e==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）‎ ‎（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；‎ ‎（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．‎ ‎【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=﹣sin（x﹣），再根据x∈[0，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．‎ ‎（2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由这两个式子求出a和θ的值．‎ ‎【解答】解：（1）当a=，θ=时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）‎ ‎=sin（x+）+cos（x+）=sinx+cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx ‎=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）．‎ ‎∵x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，‎ ‎∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，‎ ‎∴﹣sin（x﹣）∈[﹣1，]，‎ 故f（x）在区间[0，π]上的最小值为﹣1，最大值为．‎ ‎（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），‎ f（）=0，f（π）=1，‎ ‎∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，‎ 由①求得sinθ=，由②可得cos2θ==﹣﹣．‎ 再根据cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，‎ 求得 a=﹣1，∴sinθ=﹣，θ=﹣．‎ 综上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•江西）已知首项是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0．‎ ‎（1）令cn=，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=3n﹣1，求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（1）由anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn=，可得数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{cn}的通项公式；‎ ‎（2）用错位相减法来求和．‎ ‎【解答】解：（1）∵anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn=，‎ ‎∴cn﹣cn+1+2=0，‎ ‎∴cn+1﹣cn=2，‎ ‎∵首项是1的两个数列{an}，{bn}，‎ ‎∴数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ ‎∴cn=2n﹣1；‎ ‎（2）∵bn=3n﹣1，cn=，‎ ‎∴an=（2n﹣1）•3n﹣1，‎ ‎∴Sn=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，‎ ‎∴3Sn=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，‎ ‎∴﹣2Sn=1+2•（31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n，‎ ‎∴Sn=（n﹣1）3n+1．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）‎ ‎（1）当b=4时，求f（x）的极值；‎ ‎（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．‎ ‎【分析】（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；‎ ‎（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得到对任意x∈（0，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．‎ ‎【解答】解：（1）当b=4时，f（x）=（x2+4x+4）=（x），‎ 则=．‎ 由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．‎ 当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．‎ 当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数．‎ 当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上为减函数．‎ ‎∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0．‎ 当x=0时，f（x）取极大值为4；‎ ‎（2）由f（x）=（x2+bx+b），得：‎ ‎=．‎ 由f（x）在区间（0，）上单调递增，‎ 得f′（x）≥0对任意x∈（0，）恒成立．‎ 即﹣5x2﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0，）恒成立．‎ ‎∴对任意x∈（0，）恒成立．‎ ‎∵．‎ ‎∴．‎ ‎∴b的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎（1）求证：AB⊥PD；‎ ‎（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．‎ ‎【分析】（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．‎ ‎（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC=，PM=，设AB=x，则VP﹣ABCD=，故当时，VP﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．‎ ‎（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，‎ 作OM⊥BC，连接PM ‎∴PM⊥BC，‎ ‎∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，‎ ‎∴BC=，PM===，BM==，‎ 设AB=x，∴OM=x∴PO=，‎ ‎∴VP﹣ABCD=×x××==，‎ 当，即x=，VP﹣ABCD=，‎ 建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，‎ 则P（0，0，），D（﹣，0，0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）‎ 面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，﹣2）‎ ‎∴cosθ==﹣=﹣．由图可知二面角为锐角，即cos ‎　‎ ‎21．（13分）（2014•江西）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．‎ ‎【分析】（1）依题意知，A（c，），设B（t，﹣），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a=，从而可得双曲线C的方程；‎ ‎（2）易求A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N，可求得M（2，），N（，‎ ‎），于是化简=可得其值为，于是原结论得证．‎ ‎【解答】（1）解：依题意知，A（c，），设B（t，﹣），‎ ‎∵AB⊥OB，BF∥OA，∴•=﹣1，=，‎ 整理得：t=，a=，‎ ‎∴双曲线C的方程为﹣y2=1；‎ ‎（2）证明：由（1）知A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，‎ 又F（2，0），直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．‎ 于是可得M（2，），N（，），‎ ‎∴=====．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2014•江西）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．‎ ‎（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；‎ ‎（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．‎ ‎（2）根据C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件C发生的概率P（C）的表达式；‎ ‎（3）判断P（C）和P（）的大小关系，即判断P（C）和的大小关系，根据（2）的公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5‎ 其中P（ξ=2）==，‎ P（ξ=3）==，‎ P（ξ=4）==，‎ P（ξ=5）==，‎ 故随机变量ξ的分布列为：‎ ‎ ξ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ P ξ的数学期望E（ξ）=2×+3×+4×+5×=；‎ ‎（2）∵C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，‎ ‎∴P（C）=2×‎ ‎（3）当n=2时，P（C）=2×=，此时P（）＜；‎ 即P（）＜P（C）；‎ 当n≥3时，P（C）=2×＜，此时P（）＞；‎ 即P（）＞P（C）；‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；maths；qiss；刘长柏；清风慕竹；wsj1012；bjkjdxcl；caoqz；涨停；sxs123；szjzl；wfy814；豫汝王世崇（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日