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- 2021-06-23 发布
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附加题满分练2
1.(2018·江苏省盐城中学质检)已知AB是圆O的直径,P是上半圆上的任意一点,PC是∠APB的平分线,E是下半圆的中点.求证:直线PC经过点E.
证明 连结AE,EB,OE,则∠AOE=∠BOE=90°.
因为∠APE是圆周角,∠AOE同弧上的圆心角,
所以∠APE=∠AOE=45°.
同理可得∠BPE=45°,所以PE是∠APB的平分线.
又PC也是∠APB的平分线,∠APB的平分线有且只有一条,所以PC与PE重合.
所以直线PC经过点E.
2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知A,B,C.设变换T1, T2对应的矩阵分别为M=, N=,求对△ABC依次实施变换T1, T2后所得图形的面积.
解 依题意,依次实施变换T1, T2所对应的矩阵NM= =.
则 =, =,
=.
∴A,B,C分别变为点A′,B′,C′.
∴所得图形的面积为×6×4=12.
3.已知两个动点P,Q分别在两条直线l1:y=x和l2:y=-x上运动,且它们的横坐标分别为角θ的正弦,余弦,θ∈[0,π],记=+,求动点M的轨迹的普通方程.
解 设M(x,y),则
两式平方相加得x2+y2=2.
又x=sin,y=sin, θ∈[0,π],
所以x∈[-1,],y∈[-1,].
所以动点M轨迹的普通方程为x2+y2=2(x,y∈[-1,]).
4.(2018·江苏省盐城中学质检)已知a>0,b>0,证明:(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)≥9a2b2.
证明 因为a>0,b>0,
所以a2+b2+ab≥3=3ab>0,
ab2+a2b+1≥3=3ab>0,
所以(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)≥9a2b2.
5.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜,投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.现由甲先投.
(1)求甲获胜的概率;
(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的概率分布与数学期望.
解 (1)设甲第i次投中获胜的事件为A1(i=1,2,3),则A1,A2,A3彼此互斥.
甲获胜的事件为A1+A2+A3.
P(A1)=,
P(A2)=××=,
P(A3)=2×2×=.
所以P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.
(2)X的所有可能取值为1,2,3.
则P(X=1)=+×=,
P(X=2)=+×××=,
P(X=3)=2×2×1=.
即X的概率分布为
X
1
2
3
P
所以数学期望E(X)=1×+2×+3×=.
6.设n个正数a1,a2,…,an满足a1≤a2≤…≤an(n∈N*且n≥3).
(1)当n=3时,证明:++≥a1+a2+a3;
(2)当n=4时,不等式+++≥a1+a2+a3+a4也成立,请你将其推广到n(n∈N*且n≥3)个正数a1,a2,…,an的情形,归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.
证明 (1)因为an(n∈N*且n≥3)均为正实数,
左—右=++≥++=0,
所以原不等式++≥a1+a2+a3成立.
(2)归纳的不等式为:
++…+++≥a1+a2+…+an(n∈N*且n≥3).
记Fn=++…+++-(a1+a2+…+an),
当n=3(n∈N*)时,由(1)知,不等式成立;
假设当n=k(k∈N*且k≥3)时,不等式成立,即
Fk=++…+++-(a1+a2+…+ak)≥0.
则当n=k+1时,
Fk+1=++…++++-(a1+a2+…+ak+ak+1)
=Fk+++---ak+1
=Fk+ak-1ak+ak+1+(ak+1-ak)≥0+a+ak+1+(ak+1-ak)=(ak+1-ak),
因为ak+1≥ak,+≥2,≤=2,
所以Fk+1≥0,
所以当n=k+1时,不等式成立.
综上所述,不等式++…+++≥a1+a2+…+an(n∈N*且n≥3)成立.
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