高中数学第三章不等式3_4不等式的实际应用学案新人教B版必修51 5页

3.4 不等式的实际应用 1．能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题，能运用不等式的知识和 方法解决常见的实际问题(如比较大小，确定范围，求最值等)． 2．了解如何建立数学模型，体会数学知识和客观实践之间的相互关系，培养良好的数 学意识和情感态度． 1．例题中的结论 若 b＞a＞0，m＞0，则a＋m b＋m ____a b . 另外，若 a＞b＞0，m＞0 时，则有a＋m b＋m ＜______成立． 【做一做】已知 a，b 是正数，试比较 2 1 a ＋1 b 与 ab的大小． 2．不等式解决实际问题的步骤 (1)________：用字母表示题中的未知数． (2)__________：找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)． (3)______________：运用不等式知识求解不等式，同时要注意 ______________________________． (4)答：规范地写出答案． 在解决实际应用问题时，首先要学会正确地梳理数据，从而为寻找数据之间的关系奠定 良好的基础，进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构，构建数学模型，再利用不等式 求解，即解实际应用题的思路为： 一、解应用题的流程 剖析：数学问题就是数学语言的理解问题，数学语言具有简洁、准确的特点，但同时也 具有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行叙述，所以，对文字的理解就显得非常 重要，要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手： (1)略读识大意．应用题实际上是一篇说明文，一般文字比较多，信息量比较大．这就 需要快速浏览一遍，理解题目的大意：题目叙述的是什么事，是什么问题(比如不等式问题， 是求最值还是要解不等式得出结论等)．条件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念， 可以一边阅读一边写下主要内容，或者列表显示主要条件和要求的结论． (2)细读抓关键．题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在，将其辨析出来是 实现综合认知的出发点．因此，在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清具体含义 及各量之间的关系． (3)精读巧转换．领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具 体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，大脑要有灵活的转化 思维． 二、常见的不等式实际应用类型 剖析：常见的不等式实际应用问题有以下几种： (1)作差法解决实际问题 作差法的依据是 a－b＞0⇔a＞b，其基本步骤是： ①理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来． ②作差，分析差的符号． ③将作差后的结论转化为实际问题的结论． (2)应用均值不等式解决实际问题 ①均值不等式：a，b∈R＋，a＋b 2 ≥ ab(当且仅当 a＝b 时，等号成立)． 当 ab＝P(定值)，那么当 a＝b 时，a＋b 有最小值 2 P； 当 a＋b＝S(定值)，那么当 a＝b 时，ab 有最大值 1 4 S2. ②注意利用均值不等式必须有前提条件：“一正、二定、三相等”．为了创造利用均值 不等式的条件，常用技巧有配凑因子、拆项或平方． (3)应用一元二次不等式解决实际问题 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为： ①理解题意，搞清量与量之间的关系； ②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； ③解所列的一元二次不等式得到实际问题的解． 在建立不等关系时，一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围，不可盲目 使用． 题型一 一元二次不等式的实际应用 【例 1】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车车速 x km/h 有如下关系： s＝ 1 20 x＋ 1 180 x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于 39.5 m，那么这辆汽车刹车 前的车速至少为多少(精确到 0.01 km/h)? 分析：由刹车距离直接代入关系式就会得到一个关于 x 的一元二次不等式，解此不等式 即可求出 x 的范围，即汽车刹车前的车速范围． 反思：解答不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型．防止 在解答此题时不考虑实际意义而忘记舍去 x＜－88.94 这一情况． 题型二 利用均值不等式解应用题 【例 2】某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元．问这种汽车使用多少年时，它 的年平均费用最少？ 分析：每年的保险费、养路费等是一个定数，关键是每年的维修费逐年递增，构成一个 等差数列，只需求出 x 年的总费用(包括购车费)除以 x 年，即为平均费用 y.列出函数关系 式，再求解． 反思：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：(1)先理解题意，设变 量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把 实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)写出正确答案． 题型三 易错辨析 【例 3】甲、乙两地水路相距 s km，一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地，水流速度为常 量 p km/h，船在静水中的最大速度为 q km/h(q＞p)．已知船每小时的燃料费用(元)与船在 静水中的速度 v(km/h)的平方成正比，比例系数为 k. (1)把全程燃料费用 y(元)表示为船在静水中的速度 v(km/h)的函数，并指出这个函数的 定义域； (2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应是多少？ 错解：(1)依题意，船由甲地到乙地所用的时间为 s v－p h， 则 y＝k·v2· s v－p ＝ks·v2 v－p . 故所求函数为 y＝ks·v2 v－p ，其定义域为 v∈(p，q]． (2)依题意，k，s，v，p，q 均为正数，且 v－p＞0， 故有ks·v2 v－p ＝ks·v2－p2＋p2 v－p ＝ks(v－p＋ p2 v－p ＋2p)≥ks(2p＋2p)＝4ksp， 当且仅当 v－p＝ p2 v－p ，即 v＝2p 时等号成立． 所以当船的实际前进速度为 p km/h 时，全程燃料费用最少． 错因分析：错解中船在静水中的速度 v＝2p km/h 应不超过 q km/h，事实上 2p 与 q 的 大小关系并不明确，因此需分 2p≤q 和 2p＞q 两种情况进行讨论． 1 某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1) 按照使用面积缴纳，每平方米 4 元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米 3 元．李明家的使用 面积是 60 平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费不多于按第(1)种方案缴纳的供 暖费，那么他家的建筑面积最多不超过( )． A．70 平方米 B．80 平方米 C．90 平方米 D．100 平方米 2 一元二次不等式 ax2＋2x－1 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是( )． A．{a|a＞1} B．{a|a＜1 且 a≠0} C．{a|a＜－1} D．{a|a＞－1 且 a≠0} 3 某企业生产一种产品 x(百件)的成本为(3x－3)万元，销售总收入为(2x2－5)万元，如 果要保证该企业不亏本，那么至少生产该产品为______(百件)． 4 用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长(较长的边)和宽应选用的金属材料价格每 1 m 分别为 3 元和 5 元，且长和宽必须是整数，现预算花费不超过 100 元，则做成矩形框架 围成的最大面积是______． 5 某商场预计全年分批购入每台价值为 2 000 元的电视机共 3 600 台，每批都购入 x 台 (x∈N＋)，且每批均需运费 400 元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的 总价值(不含运费)成正比，若每批购入 400 台，则全年需用去运输和保管费用总计 43 600 元，现在全年只有 24 000 元资金可以用于支付这笔费用．请问：能否恰当安排每批进货的 数量，使资金够用？求出结论，并说明理由． 答案： 基础知识·梳理 1．＞ a b 【做一做】解：∵a＞0，b＞0， ∴1 a ＋1 b ≥2 1 ab ＞0. ∴ 2 1 a ＋1 b ≤ 2 2 1 ab ＝ ab. 即 2 1 a ＋1 b ≤ ab(当且仅当 a＝b 时，等号成立)． 2．(1)设未知数 (2)列不等式(组) (3)解不等式(组) 未知数在实际问题中的取值范 围 典型例题·领悟 【例 1】解：设这辆汽车刹车前的车速至少为 x km/h. 根据题意，有 1 20 x＋ 1 180 x2＞39.5. 移项整理，得 x2＋9x－7 110＞0. 显然Δ＞0，方程 x2＋9x－7 110＝0 有两个实数根， 即 x1≈－88.94，x2≈79.94. 然后，画出二次函数 y＝x2＋9x－7 110 的图象． 由图象得不等式的解集为 {x|x＜－88.94 或 x＞79.94}． 在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94 km/h. 【例 2】解：设汽车使用的年数为 x. 由于“年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元”，可知汽车每年维修费构 成以 0.2 万元为首项，0.2 万元为公差的等差数列． 因此，汽车使用 x 年总的维修费用为 0.2＋0.2x 2 x 万元． 设汽车的年平均费用为 y 万元，则有 y＝ 10＋0.9x＋0.2＋0.2x 2 x x ＝10＋x＋0.1x2 x ＝1＋10 x ＋ x 10 ≥1＋2 10 x · x 10 ＝3. 当且仅当10 x ＝ x 10 ，即 x＝10 时，等号成立，即 y 取最小值． 答：汽车使用 10 年时年平均费用最少． 【例 3】正解：(1)同错解(1)． (2)解题过程同错解(2)． 若 2p≤q，则当 v＝2p 时，y 取最小值，这时船的实际前进速度为 p km/h. 若 2p＞q，当 v∈(p，q]时， ks·v2 v－p －ks·q2 q－p ＝ks·(q－v)(pq＋pv－qv) (v－p)(q－p) . ∵v－p＞0，q－p＞0，q－v≥0，pq＋pv－qv≥pv＋pv－qv＝(2p－q)v＞0， ∴ks·v2 v－p ≥ks·q2 q－p . 当且仅当 v＝q 时等号成立，即当 v＝q 时，y 取得最小值．此时船的实际前进速度为(q －p) km/h. 随堂练习·巩固 1．B 根据使用面积应该缴纳的费用为 60×4＝240 元，设建筑面积为 x 平方米，则根 据他所选择的方案，知 3x－240≤0，所以 x≤80，即建筑面积不超过 80 平方米． 2．D 一元二次不等式有两个不相等的实数根，其判别式Δ＝4＋4a＞0，即 a＞－1， 且二次项系数不能为 0，即 a≠0.所以 a 的取值范围是{a|a＞－1 且 a≠0}． 3．2 要不亏本只需收入不小于成本，即 2x2－5－(3x－3)≥0，即 2x2－3x－2≥0，解 得 x≤－1 2 或 x≥2，而产品件数不能是负数，所以 x 的最小值为 2. 4．40 m2 设长为 x m，宽为 y m，则根据条件知 6x＋10y≤100，即 3x＋5y≤50，且 x≥y， 再根据 x，y 都是整数的条件求 xy 的最大值，而 xy＝ 1 15 ·3x·5y≤ 1 15 (3x＋5y 2 )2，并且检验， 知当 x＝8，y＝5 时，面积 xy 最大为 40 m2. 5．解：设总费用为 y 元，保管费用与每批电视机总价值的比例系数为 k(k＞0)，每批 购入 x 台，则 y＝3 600 x ×400＋k·(2 000·x)． 当 x＝400 时，y＝43 600，解得 k＝5%. ∴y＝3 600×400 x ＋100x ≥2 3 600×400 x ·100x＝24 000(元)． 当且仅当3 600×400 x ＝100x，即 x＝120 时，等号成立，因此只需每批购入 120 台，便 可使资金够用．