高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第31课)球(1) 5页

课 题：9．11球(一) ‎ 教学目的：‎ ‎⒈具体直观地了解球的定义以及球心、球的半径等概念；‎ ‎⒉熟练掌握球的性质；会用球心与球的截面的关系解决有关问题；‎ ‎⒊理解球面距离的概念，弄清地球的经度与纬度的概念，会球两点间的球面距离 掌握计算球面上两点间的球面距离的方法．‎ 教学重点：球的定义、性质．‎ 教学难点：球面上两点间的距离的计算方法．‎ 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 内容分析：‎ 本节有两个知识点：球的有关概念、性质和球的体积、表面积本章通过“分割，求近似和，化为准确和”的方法，即运用“化整为零，又积零为整”的极限思想，对于球的体积和表面积公式进行了推导，这种处理方法与原《立体几何》(必修本)有较大变化教学中对这两公式的推导，只要求了解其基本思想方法即可，重点在于掌握公式本身；而不必要求学生一定要掌握公式推导的细节   ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ 出示一些实物，如篮球、足球、乒乓球等说明球的形象，那么到底什么样的几何体是球呢？‎ ‎ ‎ 二、讲解新课：‎ ‎1 球的概念：‎ ‎ 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球．‎ ‎2．球的截面：‎ 用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，则它们的交线上的任一点，是一个定值，这说明交线是到定点距离等于定长的点的集合所以，一个平面截一个球面，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆 ‎3．经度、纬度：‎ 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；‎ 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；‎ 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；‎ 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数 ‎4．两点的球面距离：‎ 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 三、讲解范例：‎ 例1 我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少？（地球半径大约为）‎ 解：如图，是北纬上一点，是它的半径，‎ ‎∴，‎ 设是北纬的纬线长，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 答：北纬纬线长约等于．‎ 例2．在半径为的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离 解：设经过三点的截面为⊙，‎ 设球心为，连结，则平面，‎ ‎∵，∴，‎ 所以，球心到截面距离为．‎ 例3．在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离 解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴中，，‎ 所以，两点的球面距离等于．‎ 说明：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离 四、课堂练习：‎ ‎1①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．‎ ‎②球半径为，球心到截面距离为，则截面面积为 ．‎ ‎③已知球的两个平行截面的面积分别是和，它们位于球心同一侧，且相距，则球半径是 ．‎ ‎④球直径为，为球面上的两点且，则两点的球面距离为 ．‎ ‎⑤北纬圈上两地，它们在纬度圈上的弧长是（为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．‎ 答案：①一个或无数个 ② ③ ④ ⑤ ‎ ‎2．北纬圈上有两地，在东径，在西径，设地球半径为，两地球面距离为 ；‎ 答案：‎ ‎3．一个球夹在二面角内，两切点在球面上最短距离为，则球半径为 ；‎ 答案：‎ ‎4.设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．‎ 分析：求A、B两点间的球面距离，就是求过球心和点A、B的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB的长，所以要先求出A、B两点所在纬度圈的半径．‎ 解：连结AB．设地球球心为O，北纬45°圈中心为O1，则 ‎　O1O⊥O‎1A，O1O⊥O1B．‎ ‎∴　．‎ ‎∴　 O‎1A＝O1B＝O1O＝＝．‎ ‎∴　两点间的纬线的长为：．‎ ‎∵　 A、B两点的经度相差90°，‎ ‎∴　．‎ 在中，，‎ ‎∴　，．‎ ‎∴　两点间的球面距离是：．‎ 说明：半径为R的圆弧长的公式：或半径．‎ 五、小结 ：球的有关概念；球的截面的概念；经度、纬度的概念；两点间的球面距离 球的概念和性质与圆的很多性质是相似的，我们可以结合圆的性质去理解、掌握球的性质；地球上两点间的距离，实质上是球面上两点间的距离，她也具有距离的概念的共同特征——最小性．‎ 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎