- 410.00 KB
- 2021-06-24 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2013年辽宁省高考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)复数的模长为( )
A. B. C. D.2
2.(5分)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=( )
A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2]
3.(5分)已知点A(1,3),B(4,﹣1),则与向量同方向的单位向量为( )
A. B. C. D.
4.(5分)下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:数列{an}是递增数列;
p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列是递增数列;
p4:数列{an+3nd}是递增数列;
其中真命题是( )
A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4
5.(5分)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( )
A.45 B.50 C.55 D.60
6.(5分)在△ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=
b,且a>b,则∠B=( )
A. B. C. D.
7.(5分)使得(3x+)n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出的S=( )
A. B. C. D.
9.(5分)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△OAB为直角三角形,则必有( )
A.b=a3 B.
C. D.
10.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B. C. D.
11.(5分)已知函数f(x)=x2﹣2(a+2)x+a2,g(x)=﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q})表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A﹣B=( )
A.16 B.﹣16 C.﹣16a2﹣2a﹣16 D.16a2+2a﹣16
12.(5分)设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)( )
A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值
C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .
14.(5分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,则S6= .
15.(5分)已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e= .
16.(5分)为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)设向量,,.
(1)若,求x的值;
(2)设函数,求f(x)的最大值.
18.(12分)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若AB=2,AC=1,PA=1,求证:二面角C﹣PB﹣A的余弦值.
19.(12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(Ⅰ)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(Ⅱ)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.
20.(12分)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=﹣2py(p>0),点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x0=1﹣时,切线MA的斜率为﹣.
(Ⅰ)求P的值;
(Ⅱ)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
21.(12分)已知函数f(x)=(1+x)e﹣2x,g(x)=ax++1+2xcosx,当x∈[0,1]时,
(I)求证:;
(II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
请考生在21、22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(10分)选修4﹣1:几何证明选讲
如图,AB为⊙O直径,直线CD与⊙O相切与E,AD垂直于CD于D,BC垂直于CD于C,EF垂直于F,连接AE,BE.证明:
(I)∠FEB=∠CEB;
(II)EF2=AD•BC.
23.在直角坐标系xOy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos()=2.
(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;
(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.
24.已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.
2013年辽宁省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2013•辽宁)复数的模长为( )
A. B. C. D.2
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.
【解答】解:复数,
所以===.
故选B.
2.(5分)(2013•辽宁)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=( )
A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2]
【分析】求出集合A中其他不等式的解集,确定出A,找出A与B的公共部分即可求出交集.
【解答】解:由A中的不等式变形得:log41<log4x<log44,
解得:1<x<4,即A=(1,4),
∵B=(﹣∞,2],
∴A∩B=(1,2].
故选D
3.(5分)(2013•辽宁)已知点A(1,3),B(4,﹣1),则与向量同方向的单位向量为( )
A. B. C. D.
【分析】由条件求得 =(3,﹣4),||=5,再根据与向量同方向的单位向量为 求得结果.
【解答】解:∵已知点A(1,3),B(4,﹣1),∴=(4,﹣1)﹣(1,3)=(3,﹣4),||==5,
则与向量同方向的单位向量为 =,
故选A.
4.(5分)(2013•辽宁)下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:数列{an}是递增数列;
p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列是递增数列;
p4:数列{an+3nd}是递增数列;
其中真命题是( )
A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4
【分析】对于各个选项中的数列,计算第n+1项与第n项的差,看此差的符号,再根据递增数列的定义得出结论.
【解答】解:∵对于公差d>0的等差数列{an},an+1﹣an=d>0,∴命题p1:数列{an}是递增数列成立,是真命题.
对于数列{nan},第n+1项与第n项的差等于 (n+1)an+1﹣nan=(n+1)d+an,不一定是正实数,
故p2不正确,是假命题.
对于数列,第n+1项与第n项的差等于 ﹣==,不一定是正实数,
故p3不正确,是假命题.
对于数列{an+3nd},第n+1项与第n项的差等于 an+1+3(n+1)d﹣an﹣3nd=4d>0,
故命题p4:数列{an+3nd}是递增数列成立,是真命题.
故选D.
5.(5分)(2013•辽宁)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( )
A.45 B.50 C.55 D.60
【分析】由已知中的频率分布直方图,我们可以求出成绩低于60分的频率,结合已知中的低于60分的人数是15人,结合频数=频率×总体容量,即可得到总体容量.
【解答】解:∵成绩低于60分有第一、二组数据,
在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为0.005,0.01,
每组数据的组距为20,
则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3,
又∵低于60分的人数是15人,
则该班的学生人数是=50.
故选:B.
6.(5分)(2013•辽宁)在△ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则∠B=( )
A. B. C. D.
【分析】利用正弦定理化简已知的等式,根据sinB不为0,两边除以sinB,再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值,即可确定出B的度数.
【解答】解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,
∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=,
∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B为锐角,
则∠B=.
故选A
7.(5分)(2013•辽宁)使得(3x+)n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=3n﹣r••,令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n.
【解答】解:设(n∈N+)的展开式的通项为Tr+1,
则:Tr+1=3n﹣r••xn﹣r•=3n﹣r••,
令n﹣r=0得:n=r,又n∈N+,
∴当r=2时,n最小,即nmin=5.
故选B.
8.(5分)(2013•辽宁)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出的S=( )
A. B. C. D.
【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2,在输入n的值为10后,对i的值域n的值大小加以判断,满足i≤n,
执行,i=i+2,不满足则跳出循环,输出S.
【解答】解:输入n的值为10,框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2,
判断2≤10成立,执行,i=2+2=4;
判断4≤10成立,执行=,i=4+2=6;
判断6≤10成立,执行,i=6+2=8;
判断8≤10成立,执行,i=8+2=10;
判断10≤10成立,执行,i=10+2=12;
判断12≤10不成立,跳出循环,算法结束,输出S的值为.
故选A.
9.(5分)(2013•辽宁)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△
OAB为直角三角形,则必有( )
A.b=a3 B.
C. D.
【分析】利用已知可得=(a,a3﹣b),,=(a,a3),且ab≠0.分以下三种情况:①,②,③,利用垂直与数量积的关系即可得出.
【解答】解:∵=(a,a3﹣b),,=(a,a3),且ab≠0.
①若,则=ba3=0,∴a=0或b=0,但是ab≠0,应舍去;
②若,则=b(a3﹣b)=0,∵b≠0,∴b=a3≠0;
③若,则=a2+a3(a3﹣b)=0,得1+a4﹣ab=0,即.
综上可知:△OAB为直角三角形,则必有.
故选C.
10.(5分)(2013•辽宁)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B. C. D.
【分析】通过球的内接体,说明几何体的侧面对角线是球的直径,求出球的半径.
【解答】解:因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,
所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,侧面B1BCC1,经过球的球心,球的直径是其对角线的长,
因为AB=3,AC=4,BC=5,BC1=,
所以球的半径为:.
故选C.
11.(5分)(2013•辽宁)已知函数f(x)=x2﹣2(a+2)x+a2,g(x)=﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q})表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A﹣B=( )
A.16 B.﹣16 C.﹣16a2﹣2a﹣16 D.16a2+2a﹣16
【分析】先作差得到h(x)=f(x)﹣g(x)=2(x﹣a)2﹣8.分别解出h(x)=0,h(x)>0,h(x)<0.画出图形,利用新定义即可得出H1(x),H2(x).进而得出A,B即可.
【解答】解:令h(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣2(a+2)x+a2﹣[﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2(x﹣a)2﹣8.
①由2(x﹣a)2﹣8=0,解得x=a±2,此时f(x)=g(x);
②由h(x)>0,解得x>a+2,或x<a﹣2,此时f(x)>g(x);
③由h(x)<0,解得a﹣2<x<a+2,此时f(x)<g(x).
综上可知:
(1)当x≤a﹣2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)=[x﹣(a+2)]2﹣4a﹣4,
H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)=﹣[x﹣(a﹣2)]2﹣4a+12,
(2)当a﹣2≤x≤a+2时,H1(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=f(x);
(3)当x≥a+2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x),
故A=g(a+2)=﹣[(a+2)﹣(a﹣2)]2﹣4a+12=﹣4a﹣4,B=g(a﹣2)=﹣4a+12,
∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣(﹣4a+12)=﹣16.
故选:B.
12.(5分)(2013•辽宁)设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)( )
A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值
C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值
【分析】令F(x)=x2f(x),利用导数的运算法则,确定f′(x)=,再构造新函数,确定函数的单调性,即可求得结论.
【解答】解:∵函数f(x)满足,
∴
令F(x)=x2f(x),则F′(x)=,
F(2)=4•f(2)=.
由,得f′(x)=,
令φ(x)=ex﹣2F(x),则φ′(x)=ex﹣2F′(x)=.
∴φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
∴φ(x)的最小值为φ(2)=e2﹣2F(2)=0.
∴φ(x)≥0.
又x>0,∴f′(x)≥0.
∴f(x)在(0,+∞)单调递增.
∴f(x)既无极大值也无极小值.
故选D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.(5分)(2013•辽宁)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 16π﹣16 .
【分析】首先判断该几何体的形状,然后计算其体积即可.
【解答】解:根据三视图可知,该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱,
圆柱是底面外径为2,高为4的圆筒,
四棱柱的底面是边长为2的正方形,高也为4.
故其体积为:22π×4﹣22×4=16π﹣16,
故答案为:16π﹣16.
14.(5分)(2013•辽宁)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,则S6= 63 .
【分析】通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项,然后求出公比,直接利用等比数列前n项和公式求前6项和.
【解答】解:解方程x2﹣5x+4=0,得x1=1,x2=4.
因为数列{an}是递增数列,且a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,
所以a1=1,a3=4.
设等比数列{an}的公比为q,则,所以q=2.
则.
故答案为63.
15.(5分)(2013•辽宁)已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e= .
【分析】设椭圆右焦点为F',连接AF'、BF',可得四边形AFBF'为平行四边形,得|AF|=|BF'|=6.△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8,从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2,得∠AFB=90°,所以c=|OF|=|AB|=5.根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7,最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率.
【解答】解:设椭圆的右焦点为F',连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分,∴四边形AFBF'为平行四边形,可得|AF|=|BF'|=6
∵△ABF中,|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,
∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF,
可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×,解之得|BF|=8
由此可得,2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7
∵△ABF中,|AF|2+|BF|2=100=|AB|2
∴∠AFB=90°,可得|OF|=|AB|=5,即c=5
因此,椭圆C的离心率e==
故答案为:
16.(5分)(2013•辽宁)为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 10 .
【分析】本题可运用平均数公式求出平均数,再运用方差的公式列出方差表达式,再讨论样本数据中的最大值的情况,即可解决问题.
【解答】解:设样本数据为:x1,x2,x3,x4,x5,
平均数=(x1+x2+x3+x4+x5)÷5=7;
方差s2=[(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2+(x5﹣7)2]÷5=4.
从而有x1+x2+x3+x4+x5=35,①
(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2+(x5﹣7)2=20.②
若样本数据中的最大值为11,不妨设x5=11,则②式变为:
(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2=4,由于样本数据互不相同,这是不可能成立的;
若样本数据为4,6,7,8,10,代入验证知①②式均成立,此时样本数据中的最大值为 10.
故答案为:10.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)(2013•辽宁)设向量,,.
(1)若,求x的值;
(2)设函数,求f(x)的最大值.
【分析】(1)由条件求得,的值,再根据以及x的范围,可的sinx的值,从而求得x的值.
(2)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f(x)的解析式为sin(2x﹣)+.结合x的范围,利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值.
【解答】解:(1)由题意可得 =+sin2x=4sin2x,=cos2x+sin2x=1,
由,可得 4sin2x=1,即sin2x=.
∵x∈[0,],∴sinx=,即x=.
(2)∵函数=(sinx,sinx)•(cosx,sinx)=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin(2x﹣)+.
x∈[0,],∴2x﹣∈[﹣,],
∴当2x﹣=,sin(2x﹣)+取得最大值为1+=.
18.(12分)(2013•辽宁)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若AB=2,AC=1,PA=1,求证:二面角C﹣PB﹣A的余弦值.
【分析】(Ⅰ)要证平面PAC⊥平面PBC,只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC即可,利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥
平面PAC;
(Ⅱ)因为平面PAB和平面ABC垂直,只要在平面ABC内过C作两面的交线AB的垂线,然后过垂足再作PB的垂线,连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角,然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值.
【解答】(Ⅰ)证明:如图,
由AB是圆的直径,得AC⊥BC.
由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA⊂平面APC,AC⊂平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
因为BC⊂平面PBC,
所以平面PAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)解:过C作CM⊥AB于M,
因为PA⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,所以PA⊥CM,
故CM⊥平面PAB.
过M作MN⊥PB于N,连接NC.
由三垂线定理得CN⊥PB.
所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角.
在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,得,,.
在Rt△ABP中,由AB=2,AP=1,得.
因为Rt△BNM∽Rt△BAP,所以.
故MN=.
又在Rt△CNM中,.故cos.
所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为.
19.(12分)(2013•辽宁)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(Ⅰ)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(Ⅱ)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.
【分析】(I)从10道试题中取出3个的所有可能结果数有,张同学至少取到1道乙类题的对立事件是:张同学取到的全为甲类题,代入古典概率的求解公式即可求解
(II)先判断随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,根据题意求出随机变量的各个取值的概率,即可求解分布列及期望值
【解答】解:(I)设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”
则=张同学至少取到的全为甲类题
∴P(A)=1﹣P()=1﹣=
(II)X的所有可能取值为0,1,2,3
P (X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)=+=
P(X=3)==
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
EX=
20.(12分)(2013•辽宁)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=﹣2py(p>0),点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x0=1﹣时,切线MA的斜率为﹣.
(Ⅰ)求P的值;
(Ⅱ)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义,先表示出切线方程,再由M在抛物线上及在直线上两个前提下,得到相应的方程,解出p值.
(Ⅱ)由题意,可先设出A,B两个端点的坐标及中点的坐标,再由中点坐标公式建立方程,直接求解出中点N的轨迹方程
【解答】解:(Ⅰ)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为﹣,
所以设A点坐标为(x,y),得,解得x=﹣1,y==,点A的坐标为(﹣1,),
故切线MA的方程为y=﹣(x+1)+
因为点M(1﹣,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是
y0=﹣(2﹣)+=﹣①
∴y0=﹣=﹣②
解得p=2
(Ⅱ)设N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1≠x2,由N为线段AB中点知x=③,y==④
切线MA,MB的方程为y=(x﹣x1)+,⑤;y=(x﹣x2)+⑥,
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标满足x0=,y0=
因为点M(x0,y0)在C2上,即x02=﹣4y0,所以x1x2=﹣⑦
由③④⑦得x2=y,x≠0
当x1=x2时,A,B丙点重合于原点O,A,B中点N为O,坐标满足x2=y
因此中点N的轨迹方程为x2=y
21.(12分)(2013•辽宁)已知函数f(x)=(1+x)e﹣2x,g(x)=ax++1+2xcosx,当x∈[0,1]时,
(I)求证:;
(II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
【分析】(I)①当x∈[0,1)时,(1+x)e﹣2x≥1﹣x⇔(1+x)e﹣x≥(1﹣x)ex,令h(x)=(1+x)e﹣x﹣(1﹣x)ex,利用导数得到h(x)的单调性即可证明;
②当x∈[0,1)时,⇔ex≥1+x,令u(x)=ex﹣1﹣x,利用导数得出h(x)的单调性即可证明.
(II)利用(I)的结论得到f(x)≥1﹣x,于是G(x)=f(x)﹣g(x)≥=.再令H(x)=
,通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围.
【解答】(I)证明:①当x∈[0,1)时,(1+x)e﹣2x≥1﹣x⇔(1+x)e﹣x≥(1﹣x)ex,
令h(x)=(1+x)e﹣x﹣(1﹣x)ex,则h′(x)=x(ex﹣e﹣x).
当x∈[0,1)时,h′(x)≥0,
∴h(x)在[0,1)上是增函数,
∴h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥1﹣x.
②当x∈[0,1)时,⇔ex≥1+x,令u(x)=ex﹣1﹣x,则u′(x)=ex﹣1.
当x∈[0,1)时,u′(x)≥0,
∴u(x)在[0,1)单调递增,∴u(x)≥u(0)=0,
∴f(x).
综上可知:.
(II)解:设G(x)=f(x)﹣g(x)=
≥=.
令H(x)=,则H′(x)=x﹣2sinx,
令K(x)=x﹣2sinx,则K′(x)=1﹣2cosx.
当x∈[0,1)时,K′(x)<0,
可得H′(x)是[0,1)上的减函数,∴H′(x)≤H′(0)=0,故H(x)在[0,1)单调递减,
∴H(x)≤H(0)=2.∴a+1+H(x)≤a+3.
∴当a≤﹣3时,f(x)≥g(x)在[0,1)上恒成立.
下面证明当a>﹣3时,f(x)≥g(x)在[0,1)上不恒成立.
f(x)﹣g(x)≤==﹣x
.
令v(x)==,则v′(x)=.
当x∈[0,1)时,v′(x)≤0,故v(x)在[0,1)上是减函数,
∴v(x)∈(a+1+2cos1,a+3].
当a>﹣3时,a+3>0.
∴存在x0∈(0,1),使得v(x0)>0,此时,f(x0)<g(x0).
即f(x)≥g(x)在[0,1)不恒成立.
综上实数a的取值范围是(﹣∞,﹣3].
请考生在21、22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(10分)(2013•辽宁)选修4﹣1:几何证明选讲
如图,AB为⊙O直径,直线CD与⊙O相切与E,AD垂直于CD于D,BC垂直于CD于C,EF垂直于F,连接AE,BE.证明:
(I)∠FEB=∠CEB;
(II)EF2=AD•BC.
【分析】(1)直线CD与⊙O相切于E,利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB.由AB为⊙O的直径,可得∠AEB=90°.又EF⊥AB,利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB,从而得证.
(2)利用(1)的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB,于是CB=FB.同理可得△ADE≌△AFE,AD=AF.在Rt△AEB中,由EF⊥AB,利用射影定理可得EF2=AF•FB.等量代换即可.
【解答】证明:(1)∵直线CD与⊙O相切于E,∴∠CEB=∠EAB.
∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°.
∴∠EAB+∠EBA=90°.
∵EF⊥AB,∴∠FEB+∠EBF=90°.
∴∠FEB=∠EAB.
∴∠CEB=∠EAB.
(2)∵BC⊥CD,∴∠ECB=90°=∠EFB,
又∠CEB=∠FEB,EB公用.
∴△CEB≌△FEB.
∴CB=FB.
同理可得△ADE≌△AFE,∴AD=AF.
在Rt△AEB中,∵EF⊥AB,∴EF2=AF•FB.
∴EF2=AD•CB.
23.(2013•辽宁)在直角坐标系xOy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos()=2.
(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;
(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.
【分析】(I)先将圆C1,直线C2化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐标,最后化成极坐标即可;
(II)由(I)得,P与Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,由参数方程可得y=x﹣+1,从而构造关于a,b的方程组,解得a,b的值.
【解答】解:(I)圆C1,直线C2的直角坐标方程分别为 x2+(y﹣2)2=4,x+y﹣4=0,
解得或,
∴C1与C2交点的极坐标为(4,).(2,).
(II)由(I)得,P与Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),
故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,
由参数方程可得y=x﹣+1,
∴,
解得a=﹣1,b=2.
24.(2013•辽宁)已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.
【分析】(1)当a=2时,f(x)≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4,直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可.
(2)设h(x)=f(2x+a)﹣2f(x),则h(x)=.由|h(x)|≤2解得,它与1≤x≤2等价,然后求出a的值.
【解答】解:(1)当a=2时,f(x)≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4,
当x≤2时,得﹣2x+6≥4,解得x≤1;
当2<x<4时,得2≥4,无解;
当x≥4时,得2x﹣6≥4,解得x≥5;
故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}.
(2)设h(x)=f(2x+a)﹣2f(x),则h(x)=
由|h(x)|≤2得,
又已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},
所以,
故a=3.
参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;sllwyn;caoqz;minqi5;wfy814;sxs123;沂蒙松;刘长柏;ywg2058;邢新丽;xintrl(排名不分先后)
2017年2月3日
相关文档
- 2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新2021-06-2427页
- 2013年江西省高考数学试卷(理科)2021-06-2425页
- 【2020年高考数学预测题】上海市高2021-06-249页
- 2018年上海市高考数学试卷2021-06-2421页
- 2015年四川省高考数学试卷(文科)2021-06-2422页
- 2006年安徽省高考数学试卷(文科)【附2021-06-246页
- 2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ(文)【2021-06-245页
- 2014年湖南省高考数学试卷(理科)2021-06-2326页
- 2014年江西省高考数学试卷(理科)2021-06-2328页
- 2017年北京市高考数学试卷(理科)2021-06-2324页