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2015年山东省高考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.(5分)已知集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=( )
A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)
2.(5分)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=( )
A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i
3.(5分)要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象( )
A.向左平移单位 B.向右平移单位
C.向左平移单位 D.向右平移单位
4.(5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=( )
A.﹣a2 B.﹣a2 C.a2 D.a2
5.(5分)不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|<2的解集是( )
A.(﹣∞,4) B.(﹣∞,1) C.(1,4) D.(1,5)
6.(5分)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=( )
A.3 B.2 C.﹣2 D.﹣3
7.(5分)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B. C. D.2π
8.(5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ<μ+
σ)=68.26%,P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
9.(5分)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.﹣或﹣ B.﹣或﹣ C.﹣或﹣ D.﹣或﹣
10.(5分)设函数f(x)=,则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )
A.[,1] B.[0,1] C.[,+∞) D.[1,+∞)
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.(5分)观察下列各式:
C=40;
C+C=41;
C+C+C=42;
C+C+C+C=43;
…
照此规律,当n∈N*时,
C+C+C+…+C= .
12.(5分)若“∀x∈[0,],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为 .
13.(5分)执行如图程序框图,输出的T的值为 .
14.(5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a+b= .
15.(5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 .
三、解答题
16.(12分)设f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC面积的最大值.
17.(12分)如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(Ⅰ)求证:BD∥平面FGH;
(Ⅱ)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
18.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn},满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.
19.(12分)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分,若能被5整除,但不能被10整除,得﹣1分,若能被10整除,得1分.
(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;
(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.
20.(13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求||的值;
(ii)求△ABQ面积的最大值.
21.(14分)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,
(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;
(Ⅱ)若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.
2015年山东省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.(5分)(2015•山东)已知集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=( )
A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)
【分析】求出集合A,然后求出两个集合的交集.
【解答】解:集合A={x|x2﹣4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4},
则A∩B={x|2<x<3}=(2,3).
故选:C.
2.(5分)(2015•山东)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=( )
A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i
【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可.
【解答】解:=i,则=i(1﹣i)=1+i,
可得z=1﹣i.
故选:A.
3.(5分)(2015•山东)要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象( )
A.向左平移单位 B.向右平移单位
C.向左平移单位 D.向右平移单位
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可.
【解答】解:因为函数y=sin(4x﹣)=sin[4(x﹣)],
要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位.
故选:B.
4.(5分)(2015•山东)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=( )
A.﹣a2 B.﹣a2 C.a2 D.a2
【分析】由已知可求,,根据=()•=代入可求
【解答】解:∵菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,
∴=a2,=a×a×cos60°=,
则=()•==
故选:D
5.(5分)(2015•山东)不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|<2的解集是( )
A.(﹣∞,4) B.(﹣∞,1) C.(1,4) D.(1,5)
【分析】运用零点分区间,求出零点为1,5,讨论①当x<1,②当1≤x≤5,③当x>5,分别去掉绝对值,解不等式,最后求并集即可.
【解答】解:①当x<1,不等式即为﹣x+1+x﹣5<2,即﹣4<2成立,故x<1;
②当1≤x≤5,不等式即为x﹣1+x﹣5<2,得x<4,故1≤x<4;
③当x>5,x﹣1﹣x+5<2,即4<2不成立,故x∈∅.
综上知解集为(﹣∞,4).
故选A.
6.(5分)(2015•山东)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=( )
A.3 B.2 C.﹣2 D.﹣3
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
则A(2,0),B(1,1),
若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,
此时,目标函数为z=2x+y,
即y=﹣2x+z,
平移直线y=﹣2x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为4,满足条件,
若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,
此时,目标函数为z=3x+y,
即y=﹣3x+z,
平移直线y=﹣3x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,
故a=2,
故选:B
7.(5分)(2015•山东)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B. C. D.2π
【分析】画出几何体的直观图,利用已知条件,求解几何体的体积即可.
【解答】解:由题意可知几何体的直观图如图:旋转体是底面半径为1,高为2的圆柱,挖去一个相同底面高为1的倒圆锥,
几何体的体积为:=.
故选:C.
8.(5分)(2015•山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
【分析】由题意P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%,可得P(3<ξ<6)=(95.44%﹣68.26%),即可得出结论.
【解答】解:由题意P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%,
所以P(3<ξ<6)=(95.44%﹣68.26%)=13.59%.
故选:B.
9.(5分)(2015•山东)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.﹣或﹣ B.﹣或﹣ C.﹣或﹣ D.﹣或﹣
【分析】点A(﹣2,﹣3)关于y轴的对称点为A′(2,﹣3),可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2),利用直线与圆相切的性质即可得出.
【解答】解:点A(﹣2,﹣3)关于y轴的对称点为A′(2,﹣3),
故可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2),化为kx﹣y﹣2k﹣3=0.
∵反射光线与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,
∴圆心(﹣3,2)到直线的距离d==1,
化为24k2+50k+24=0,
∴k=或﹣.
故选:D.
10.(5分)(2015•山东)设函数f(x)=,则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )
A.[,1] B.[0,1] C.[,+∞) D.[1,+∞)
【分析】令f(a)=t,则f(t)=2t,讨论t<1,运用导数判断单调性,进而得到方程无解,讨论t≥1时,以及a<1,a≥1,由分段函数的解析式,解不等式即可得到所求范围.
【解答】解:令f(a)=t,
则f(t)=2t,
当t<1时,3t﹣1=2t,
由g(t)=3t﹣1﹣2t的导数为g′(t)=3﹣2tln2,
在t<1时,g′(t)>0,g(t)在(﹣∞,1)递增,
即有g(t)<g(1)=0,
则方程3t﹣1=2t无解;
当t≥1时,2t=2t成立,
由f(a)≥1,即3a﹣1≥1,解得a≥,且a<1;
或a≥1,2a≥1解得a≥0,即为a≥1.
综上可得a的范围是a≥.
故选C.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.(5分)(2015•山东)观察下列各式:
C=40;
C+C=41;
C+C+C=42;
C+C+C+C=43;
…
照此规律,当n∈N*时,
C+C+C+…+C= 4n﹣1 .
【分析】仔细观察已知条件,找出规律,即可得到结果.
【解答】解:因为C=40;
C+C=41;
C+C+C=42;
C+C+C+C=43;
…
照此规律,可以看出等式左侧最后一项,组合数的上标与等式右侧的幂指数相同,
可得:当n∈N*时,C+C+C+…+C=4n﹣1;
故答案为:4n﹣1.
12.(5分)(2015•山东)若“∀x∈[0,],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为 1 .
【分析】求出正切函数的最大值,即可得到m的范围.
【解答】解:“∀x∈[0,],tanx≤m”是真命题,
可得tanx≤1,所以,m≥1,
实数m的最小值为:1.
故答案为:1.
13.(5分)(2015•山东)执行如图程序框图,输出的T的值为 .
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的n,T的值,当n=3时不满足条件n<3,退出循环,输出T的值为.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
n=1,T=1
满足条件n<3,T=1+xdx,n=2
满足条件n<3,T=1+xdx+x2dx=1+=,n=3
不满足条件n<3,退出循环,输出T的值为.
故答案为:
14.(5分)(2015•山东)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a+b= .
【分析】对a进行分类讨论,分别题意和指数函数的单调性列出方程组,解得答案.
【解答】解:当a>1时,函数f(x)=ax+b在定义域上是增函数,
所以,
解得b=﹣1,=0不符合题意舍去;
当0<a<1时,函数f(x)=ax+b在定义域上是减函数,
所以 ,
解得b=﹣2,a=,
综上a+b=,
故答案为:
15.(5分)(2015•山东)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 .
【分析】求出A的坐标,可得=,利用△OAB的垂心为C2的焦点,可得×(﹣)=﹣1,由此可求C1的离心率.
【解答】解:双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,
与抛物线C2:x2=2py联立,可得x=0或x=±,
取A(,),设垂心H(0,),
则kAH==,
∵△OAB的垂心为C2的焦点,
∴×(﹣)=﹣1,
∴5a2=4b2,
∴5a2=4(c2﹣a2)
∴e==.
故答案为:.
三、解答题
16.(12分)(2015•山东)设f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC面积的最大值.
【分析】(Ⅰ)由三角函数恒等变换化简解析式可得f(x)=sin2x﹣,由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得f(x)的单调递增区间,由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得单调递减区间.
(Ⅱ)由f()=sinA﹣=0,可得sinA,cosA,由余弦定理可得:bc,且当b=c时等号成立,从而可求bcsinA≤,从而得解.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,f(x)=sin2x﹣
=sin2x﹣
=sin2x﹣
由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得:k≤x≤k,k∈Z;
由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得:k≤x≤k,k∈Z;
所以f(x)的单调递增区间是[k,k],(k∈Z);单调递减区间是:[k,k],(k∈Z);
(Ⅱ)由f()=sinA﹣=0,可得sinA=,
由题意知A为锐角,所以cosA=,
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,
可得:1+bc=b2+c2≥2bc,即bc,且当b=c时等号成立.
因此S=bcsinA≤,
所以△ABC面积的最大值为.
17.(12分)(2015•山东)如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(Ⅰ)求证:BD∥平面FGH;
(Ⅱ)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
【分析】
(Ⅰ)根据AB=2DE便可得到BC=2EF,从而可以得出四边形EFHB为平行四边形,从而得到BE∥HF,便有BE∥平面FGH,再证明DE∥平面FGH,从而得到平面BDE∥平面FGH,从而BD∥平面FGH;
(Ⅱ)连接HE,根据条件能够说明HC,HG,HE三直线两两垂直,从而分别以这三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,然后求出一些点的坐标.连接BG,可说明为平面ACFD的一条法向量,设平面FGH的法向量为,根据即可求出法向量,设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ,根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小.
【解答】解:(Ⅰ)证明:根据已知条件,DF∥AC,EF∥BC,DE∥AB;
△DEF∽△ABC,又AB=2DE,
∴BC=2EF=2BH,
∴四边形EFHB为平行四边形;
∴BE∥HF,HF⊂平面FGH,BE⊄平面FGH;
∴BE∥平面FGH;
同样,因为GH为△ABC中位线,∴GH∥AB;
又DE∥AB;
∴DE∥GH;
∴DE∥平面FGH,DE∩BE=E;
∴平面BDE∥平面FGH,BD⊂平面BDE;
∴BD∥平面FGH;
(Ⅱ)连接HE,则HE∥CF;
∵CF⊥平面ABC;
∴HE⊥平面ABC,并且HG⊥HC;
∴HC,HG,HE三直线两两垂直,分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设HC=1,则:
H(0,0,0),G(0,1,0),F(1,0,1),B(﹣1,0,0);
连接BG,根据已知条件BA=BC,G为AC中点;
∴BG⊥AC;
又CF⊥平面ABC,BG⊂平面ABC;
∴BG⊥CF,AC∩CF=C;
∴BG⊥平面ACFD;
∴向量为平面ACFD的法向量;
设平面FGH的法向量为,则:
,取z=1,则:;
设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ,则:cosθ=|cos|=;
∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°.
18.(12分)(2015•山东)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn},满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.
【分析】(Ⅰ)利用2Sn=3n+3,可求得a1=3;当n>1时,2Sn﹣1=3n﹣1+3,两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1,可求得an=3n﹣1,从而可得{an}的通项公式;
(Ⅱ)依题意,anbn=log3an,可得b1=,当n>1时,bn=31﹣n•log33n﹣1=(n﹣1)×31﹣n,于是可求得T1=b1=;当n>1时,Tn=b1+b2+…+bn=+(1×3﹣1+2×3﹣2+…+
(n﹣1)×31﹣n),利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(Ⅰ)因为2Sn=3n+3,所以2a1=31+3=6,故a1=3,
当n>1时,2Sn﹣1=3n﹣1+3,
此时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1,即an=3n﹣1,
所以an=.
(Ⅱ)因为anbn=log3an,所以b1=,
当n>1时,bn=31﹣n•log33n﹣1=(n﹣1)×31﹣n,
所以T1=b1=;
当n>1时,Tn=b1+b2+…+bn=+(1×3﹣1+2×3﹣2+…+(n﹣1)×31﹣n),
所以3Tn=1+(1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+(n﹣1)×32﹣n),
两式相减得:2Tn=+(30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣(n﹣1)×31﹣n)=+﹣(n﹣1)×31﹣n=﹣,
所以Tn=﹣,经检验,n=1时也适合,
综上可得Tn=﹣.
19.(12分)(2015•山东)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分,若能被5整除,但不能被10整除,得﹣1分,若能被10整除,得1分.
(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;
(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.
【分析】(Ⅰ)根据“三位递增数”的定义,即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”;
(Ⅱ)随机变量X的取值为:0,﹣1,1分别求出对应的概率,即可求出分布列和期望.
【解答】解:(Ⅰ)根据定义个位数字是5的“三位递增数”有:125,135,145,235,245,345;
(Ⅱ)由题意知,全部“三位递增数”的个数为,
随机变量X的取值为:0,﹣1,1,
当X=0时,可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合,即;
当X=﹣1时,首先选择5,由于不能被10整除,因此不能选择数字2,4,6,8,可以从1,3,7,9中选择两个数字和5进行组合,即;
当X=1时,有两种组合方式,第一种方案:首先选5,然后从2,4,6,8中选择2个数字和5进行组合,即;第二种方案:首先选5,然后从2,4,6,8中选择1个数字,再从1,3,7,9中选择1个数字,最后把3个数字进行组合,即.
则P(X=0)==,P(X=﹣1)==,P(X=1)==,
X
0
﹣1
1
P
EX=0×+(﹣1)×+1×=.
20.(13分)(2015•山东)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求||的值;
(ii)求△ABQ面积的最大值.
【分析】(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和a,b,c的关系,计算即可得到b,进而得到椭圆C的方程;
(Ⅱ)求得椭圆E的方程,(i)设P(x0,y0),||=λ,求得Q的坐标,分别代入椭圆C,E的方程,化简整理,即可得到所求值;
(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+m代入椭圆E的方程,运用韦达定理,三角形的面积公式,将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,由判别式大于0,可得t的范围,结合二次函数的最值,又△ABQ的面积为3S,即可得到所求的最大值.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,PF1+PF2=2a=4,可得a=2,
又=,a2﹣c2=b2,
可得b=1,即有椭圆C的方程为+y2=1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E的方程为+=1,
(i)设P(x0,y0),||=λ,由题意可知,
Q(﹣λx0,﹣λy0),由于+y02=1,
又+=1,即(+y02)=1,
所以λ=2,即||=2;
(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+m代入椭圆E的方程,可得
(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,由△>0,可得m2<4+16k2,①
则有x1+x2=﹣,x1x2=,所以|x1﹣x2|=,
由直线y=kx+m与y轴交于(0,m),
则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•
=2,设=t,则S=2,
将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
由△>0可得m2<1+4k2,②
由①②可得0<t<1,则S=2在(0,1)递增,即有t=1取得最大值,
即有S,即m2=1+4k2,取得最大值2,
由(i)知,△ABQ的面积为3S,
即△ABQ面积的最大值为6.
21.(14分)(2015•山东)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,
(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;
(Ⅱ)若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.
【分析】(I)函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,x∈(﹣1,+∞).=.令g(x)=2ax2+ax﹣a+1.对a与△分类讨论可得:(1)当a=0时,此时f′(x)>0,即可得出函数的单调性与极值的情况.
(2)当a>0时,△=a(9a﹣8).①当时,△≤0,②当a时,△>0,即可得出函数的单调性与极值的情况.
(3)当a<0时,△>0.即可得出函数的单调性与极值的情况.
(II)由(I)可知:(1)当0≤a时,可得函数f(x)在(0,+∞
)上单调性,即可判断出.
(2)当<a≤1时,由g(0)≥0,可得x2≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调性,即可判断出.
(3)当1<a时,由g(0)<0,可得x2>0,利用x∈(0,x2)时函数f(x)单调性,即可判断出;
(4)当a<0时,设h(x)=x﹣ln(x+1),x∈(0,+∞),研究其单调性,即可判断出
【解答】解:(I)函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,x∈(﹣1,+∞).
=.
令g(x)=2ax2+ax﹣a+1.
(1)当a=0时,g(x)=1,此时f′(x)>0,函数f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,无极值点.
(2)当a>0时,△=a2﹣8a(1﹣a)=a(9a﹣8).
①当时,△≤0,g(x)≥0,f′(x)≥0,函数f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,无极值点.
②当a时,△>0,设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1,x2,x1<x2.
∵x1+x2=,
∴,.
由g(﹣1)>0,可得﹣1<x1.
∴当x∈(﹣1,x1)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
因此函数f(x)有两个极值点.
(3)当a<0时,△>0.由g(﹣1)=1>0,可得x1<﹣1<x2.
∴当x∈(﹣1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
因此函数f(x)有一个极值点.
综上所述:当a<0时,函数f(x)有一个极值点;
当0≤a时,函数f(x)无极值点;
当a时,函数f(x)有两个极值点.
(II)由(I)可知:
(1)当0≤a时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∵f(0)=0,
∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意.
(2)当<a≤1时,由g(0)≥0,可得x2≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
又f(0)=0,
∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意.
(3)当1<a时,由g(0)<0,可得x2>0,
∴x∈(0,x2)时,函数f(x)单调递减.
又f(0)=0,
∴x∈(0,x2)时,f(x)<0,不符合题意,舍去;
(4)当a<0时,设h(x)=x﹣ln(x+1),x∈(0,+∞),h′(x)=>0.
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增.
因此x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0,即ln(x+1)<x,
可得:f(x)<x+a(x2﹣x)=ax2+(1﹣a)x,
当x>时,
ax2+(1﹣a)x<0,此时f(x)<0,不合题意,舍去.
综上所述,a的取值范围为[0,1].
参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;吕静;双曲线;maths;刘长柏;w3239003;豫汝王世崇;wkl197822;wfy814;沂蒙松(排名不分先后)
2017年2月3日
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