2007年安徽省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2007年安徽省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）‎ ‎1. 下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ）‎ A.f(x)=‎x‎3‎，x∈[0, +∞)‎ B.f(x)=‎x‎3‎，‎x∈[-∞, +∞)‎ C.f(x)=‎cx，x∈(-∞, +∞)‎ D.f(x)=‎‎1‎x，‎x∈(0, +∞)‎ ‎2. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3. 若对任意x∈R，不等式‎|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A.a<-1‎ B.‎|a|≤1‎ C.‎|a|<1‎ D.‎a≥1‎ ‎4. 若a为实数，‎2+ai‎1+‎2‎i‎=-‎2‎i，则a等于（ ）‎ A.‎2‎ B.‎-‎‎2‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎-2‎‎2‎ ‎5. 若A={x|2≤‎2‎‎2-x<8, x∈Z}‎，B={x||log‎2‎x|>1, x∈R}‎，则A∩(CRB)‎的元素个数为（ ）‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ ‎6. 函数f(x)=3sin(2x-π‎3‎)‎的图象为G ‎①图象G关于直线x=‎11‎‎12‎π对称；‎ ‎②函数f(x)‎在区间‎(-π‎12‎，‎5π‎12‎)‎内是增函数；‎ ‎③由y=3sin2x的图象向右平移π‎3‎个单位长度可以得到图象G．‎ 以上三个论断中，所有正确论断的序号是（ ）‎ A.①② B.①③ C.②③ D.②‎ ‎7. 如果点P在平面区域‎2x-y+2≥0‎x-2y+1≤0‎x+y-2≤0‎上，点Q在曲线x‎2‎‎+(y+2‎)‎‎2‎=1‎上，那么‎|PQ|‎的最小值为（ ）‎ A.‎5‎‎-1‎ B.‎4‎‎5‎‎-1‎ C.‎2‎2‎-1‎ D.‎‎2‎‎-1‎ ‎8. 半径为‎1‎的球面上的四点A，B，C，D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（ ）‎ A.arccos(-‎3‎‎3‎)‎ B.arccos(-‎6‎‎3‎)‎ C.arccos(-‎1‎‎3‎)‎ D.‎arccos(-‎1‎‎4‎)‎ ‎9. 已知F‎1‎，F‎2‎分别是双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的两个焦点，A和B是以O（O为坐标原点）为圆心，‎|OF‎1‎|‎为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且‎△F‎2‎AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A.‎3‎ B.‎5‎ C.‎5‎‎2‎ D.‎‎3‎‎+1‎ ‎10. 以Φ(x)‎表示标准正态总体在区间‎(-∞, x)‎内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ, σ‎2‎)‎，则概率P(|ξ-μ|<σ)‎等于（ ）‎ A.Φ(μ+σ)-Φ(μ-σ)‎ B.‎Φ(1)-Φ(-1)‎ C.Φ(‎1-μσ)‎ D.‎‎2Φ(μ+σ)‎ ‎11. 定义在R上的函数f(x)‎既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)=0‎在闭区间‎[-T, T]‎上的根的个数记为n，则n可能为（ ）‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎3‎ D.‎‎5‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎12. 若‎(2x‎3‎+‎‎1‎x‎)‎n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于________．‎ ‎13. 在四面体O-ABC中，OA‎→‎‎=‎a‎→‎，OB‎→‎‎=‎b‎→‎，OC‎→‎‎=‎c‎→‎，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE‎→‎‎=‎________（用a，b，c表示）‎ ‎ 7 / 7‎ ‎14. 如图，抛物线y=-x‎2‎+1‎与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P‎1‎，P‎2‎，…，Pn-1‎，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q‎1‎，Q‎2‎，…，Qn-1‎，从而得到n-1‎个直角三角形‎△Q‎1‎OP‎1‎，‎△‎Q‎2‎P‎1‎P‎2‎，…，‎△‎Qn-1‎Pn-2‎Pn-1‎．当n→∞‎时，这些三角形的面积之和的极限为________．‎ ‎15. 已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择‎4‎个顶点，它们可能是如下各种几何形体的‎4‎个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）________．‎ ‎①矩形；‎ ‎②不是矩形的平行四边形；‎ ‎③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；‎ ‎④每个面都是等腰三角形的四面体；‎ ‎⑤每个面都是直角三角形的四面体．‎ 三、解答题（共6小题，满分79分）‎ ‎16. 已知‎0<α<‎π‎4‎，β为f(x)=cos(2x+π‎8‎)‎的最小正周期，a‎→‎‎=(tan(a+‎1‎‎4‎β)‎，‎-1)‎，b‎→‎‎=(cosα, 2)‎，且a⋅b‎→‎‎=m，求‎2cos‎2‎α+sin2(α+β)‎cosα-sinα．‎ ‎17. 如图，在六面体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，四边形ABCD是边长为‎2‎的正方形，四边形A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎是边长为‎1‎的正方形，DD‎1‎⊥‎平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎，DD‎1‎⊥‎平面ABCD，DD‎1‎=2‎．‎ ‎（1）求证：A‎1‎C‎1‎与AC共面，B‎1‎D‎1‎与BD共面；‎ ‎（2）求证：平面A‎1‎ACC‎1‎⊥‎平面B‎1‎BDD‎1‎；‎ ‎（3）求二面角A-BB‎1‎-C的大小（用反三角函数值圾示）．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎18. 设a≥0‎，f(x)=x-1-ln‎2‎x+2alnx(x>0)‎．‎ ‎（1）令F(x)=xf'(x)‎，讨论F(x)‎在‎(0, +∞)‎内的单调性并求极值；‎ ‎（2）求证：当x>1‎时，恒有x>ln‎2‎x-2alnx+1‎．‎ ‎19. 如图，曲线G的方程为y‎2‎‎=2x(y≥0)‎．以原点为圆心，以t(t>0)‎为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B．直线AB与x轴相交于点C．‎ ‎（1）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；‎ ‎（2）设曲线G上点D的横坐标为a+2‎，求证：直线CD的斜率为定值．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎20. 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有‎6‎只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有‎8‎只蝇子：‎6‎只果蝇和‎2‎只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数．‎ ‎（1）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）和数学期望Eξ；‎ ‎（2）求概率P(ξ≥Eξ)‎．‎ ‎21. 公民在就业的第一年就交纳养老储备金a‎1‎，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)‎，历年所交纳的储备金数目a‎1‎，a‎2‎，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为r(r>0)‎，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a‎1‎‎(1+r‎)‎n-1‎，第二年所交纳的储备金就变为a‎2‎‎(1+r‎)‎n-2‎，…以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额．‎ 求证：Tn‎=An+‎Bn，其中‎{An}‎是一个等比数列，‎{Bn}‎是一个等差数列．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年安徽省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）‎ ‎1.D ‎2.A ‎3.B ‎4.B ‎5.C ‎6.A ‎7.A ‎8.C ‎9.D ‎10.B ‎11.D 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎12.‎‎7‎ ‎13.‎‎1‎‎2‎a‎→‎‎+‎1‎‎4‎b‎→‎+‎‎1‎‎4‎c‎→‎ ‎14.‎‎1‎‎3‎ ‎15.①③④⑤‎ 三、解答题（共6小题，满分79分）‎ ‎16.解：因为β为f(x)=cos(2x+π‎8‎)‎的最小正周期，故β=π．‎ 因a⋅b‎→‎‎=m，又a⋅b‎→‎‎=cosα⋅tan(α+‎1‎‎4‎β)-2‎．故cosαtan(α+‎1‎‎4‎β)=m+2‎．‎ 由于‎0<α<‎π‎4‎，所以 ‎2cos‎2‎α+sin2(α+β)‎cosα-sinα ‎=‎‎2cos‎2‎α+sin(2α+2π)‎cosα-sinα ‎=‎‎2cos‎2‎α+sin2αcosα-sinα ‎=‎‎2cosα(cosα+sinα)‎cosα-sinα ‎=2cosα‎1+tanα‎1-tanα ‎=2cosαtan(α+π‎4‎)=2(2+m)‎ ‎17.解：（1）证明：∵ D‎1‎D⊥‎平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎，D‎1‎D⊥‎平面ABCD．‎ ‎∴ D‎1‎D⊥DA，D‎1‎D⊥DC，平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎‎ // ‎平面ABCD．‎ 于是C‎1‎D‎1‎‎ // CD，D‎1‎A‎1‎‎ // DA．‎ 设E，F分别为DA，DC的中点，连接EF，A‎1‎E，C‎1‎F，‎ 有A‎1‎E // D‎1‎D，C‎1‎F // D‎1‎D，DE=1‎，DF=1‎．∴ A‎1‎E // C‎1‎F，‎ 于是A‎1‎C‎1‎‎ // EF．由DE=DF=1‎，得EF // AC，‎ 故A‎1‎C‎1‎‎ // AC，A‎1‎C‎1‎与AC共面．‎ 过点B‎1‎作B‎1‎O⊥‎平面ABCD于点O，‎ 则B‎1‎O‎=‎‎ // ‎A‎1‎E，B‎1‎O‎=‎‎ // ‎C‎1‎F，连接OE，OF，‎ 于是OE‎=‎‎ // ‎B‎1‎A‎1‎，OF‎=‎‎ // ‎B‎1‎C‎1‎，∴ OE=OF．‎ ‎∵ B‎1‎A‎1‎‎⊥‎A‎1‎D‎1‎，∴ OE⊥AD．∵ B‎1‎C‎1‎‎⊥‎C‎1‎D‎1‎，∴ OF⊥CD．‎ 所以点O在BD上，故D‎1‎B‎1‎与DB共面．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎（2）证明：∵ D‎1‎D⊥‎平面ABCD，∴ D‎1‎D⊥AC，‎ 又BD⊥AC（正方形的对角线互相垂直），‎ D‎1‎D与BD是平面B‎1‎BDD‎1‎内的两条相交直线，∴ AC⊥‎平面B‎1‎BDD‎1‎．‎ 又平面A‎1‎ACC‎1‎过AC，∴ 平面A‎1‎ACC‎1‎⊥‎平面B‎1‎BDD‎1‎．‎ ‎（3）解：∵ 直线DB是直线B‎1‎B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB，‎ 根据三垂线定理，有AC⊥B‎1‎B．‎ 过点A在平面ABB‎1‎A‎1‎内作AM⊥B‎1‎B于M，连接MC，MO，‎ 则B‎1‎B⊥‎平面AMC，‎ 于是B‎1‎B⊥MC，B‎1‎B⊥MO，‎ 所以，‎∠AMC是二面角A-B‎1‎B-C的一个平面角．‎ 根据勾股定理，有A‎1‎A=‎5‎，C‎1‎C=‎5‎，B‎1‎B=‎‎6‎．‎ ‎∵ OM⊥B‎1‎B，有OM=B‎1‎O⋅OBB‎1‎B=‎‎2‎‎3‎，‎ BM=‎‎2‎‎3‎‎，AM=‎‎10‎‎3‎，CM=‎‎10‎‎3‎．‎ cos∠AMC=AM‎2‎+CM‎2‎-AC‎2‎‎2AM⋅CM=-‎‎1‎‎5‎‎，‎ ‎∠AMC=π-arccos‎1‎‎5‎‎，‎ 二面角A-BB‎1‎-C的大小为π-arccos‎1‎‎5‎．‎ ‎18.解：（1）根据求导法则有f'(x)=1-‎2lnxx+‎2ax，x>0‎，‎ 故F(x)=xf‎'‎(x)=x-2lnx+2a，x>0‎，‎ 于是F'(x)=1-‎2‎x=x-2‎x，x>0‎，‎ ‎∴ 知F(x)‎在‎(0, 2)‎内是减函数，在‎(2, +∞)‎内是增函数，‎ 所以，在x=2‎处取得极小值F(2)=2-2ln2+2a．‎ ‎（2）证明：由a≥0‎知，F(x)‎的极小值F(2)=2-2ln2+2a>0‎．‎ 于是知，对一切x∈(0, +∞)‎，恒有F(x)=xf‎'‎(x)>0‎．‎ 从而当x>0‎时，恒有f‎'‎‎(x)>0‎，故f(x)‎在‎(0, +∞)‎内单调增加．‎ 所以当x>1‎时，f(x)>f(1)=0‎，即x-1-ln‎2‎x+2alnx>0‎．‎ 故当x>1‎时，恒有x>ln‎2‎x-2alnx+1‎．‎ ‎19.解：（1）由题意知，A(a,‎2a)‎．‎ 因为‎|OA|=t，所以a‎2‎‎+2a=‎t‎2‎．‎ 由于t>0‎，故有t=‎a‎2‎‎+2a． ①‎ 由点B(0, t)‎，C(c, 0)‎的坐标知，‎ 直线BC的方程为xc‎+yt=1‎．‎ 又因点A在直线BC上，故有ac‎+‎2at=1‎，‎ 将①代入上式，得ac‎+‎2aa(a+2)‎=1‎，‎ 解得c=a+2+‎‎2(a+2)‎．‎ ‎（2）因为D(a+2,‎2(a+2)‎)‎，所以直线CD的斜率为kCD‎=‎2(a+2)‎a+2-c=‎2(a+2)‎a+2-(a+2+‎2(a+2)‎)‎=‎2(a+2)‎‎-‎‎2(a+2)‎=-1‎．‎ 所以直线CD的斜率为定值．‎ ‎20.解：（1）由题意知以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数，ξ的可能取值是‎0‎，‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎，‎‎6‎ 得到ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎7‎‎28‎ ‎6‎‎28‎ ‎5‎‎28‎ ‎4‎‎28‎ ‎3‎‎28‎ ‎2‎‎28‎ ‎1‎‎28‎ ‎ 7 / 7‎ ‎∴ 数学期望为Eξ=‎2‎‎28‎(1×6+2×5+3×4)=2‎．‎ ‎（2）所求的概率为P(ξ≥Eξ)=P(ξ≥2)=‎5+4+3+2+1‎‎28‎=‎‎15‎‎28‎．‎ ‎21.解：T‎1‎‎=‎a‎1‎，对n≥2‎反复使用上述关系式，得 Tn‎=Tn-1‎(1+r)+an=Tn-2‎(1+r‎)‎‎2‎+an-1‎(1+r)+an=a‎1‎(1+r‎)‎n-1‎+a‎2‎(1+r‎)‎n-2‎++an-1‎(1+r)+‎an‎，①‎ 在①式两端同乘‎1+r，得‎(1+r)Tn=a‎1‎(1+r‎)‎n+a‎2‎(1+r‎)‎n-1‎++an-1‎(1+r‎)‎‎2‎+an(1+r)‎②‎ ‎②-①，得rTn=a‎1‎(1+r‎)‎n+d[(1+r‎)‎n-1‎+(1+r‎)‎n-2‎++(1+r)]-an=dr[(1+r‎)‎n-1-r]+a‎1‎(1+r‎)‎n-‎an．‎ 即Tn‎=a‎1‎r+dr‎2‎(1+r‎)‎n-drn-‎a‎1‎r+dr‎2‎．‎ 如果记An‎=a‎1‎r+dr‎2‎(1+r‎)‎n，Bn‎=-a‎1‎r+dr‎2‎-drn，‎ 则Tn‎=An+‎Bn．‎ 其中‎{An}‎是以a‎1‎r+dr‎2‎‎(1+r)‎为首项，以‎1+r(r>0)‎为公比的等比数列；‎ ‎{Bn}‎是以‎-a‎1‎r+dr‎2‎-‎dr为首项，‎-‎dr为公差的等差数列．‎ ‎ 7 / 7‎