2009年上海市高考数学试卷（理科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】 6页

‎2009年上海市高考数学试卷（理科）‎ 一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）‎ ‎1. 若复数z满足z(1+i)=1-i（I是虚数单位），则其共轭复数z‎¯‎‎=‎________．‎ ‎2. 已知集合A={x|x≤1}‎，B={x|x≥a}‎，且A∪B=R，则实数a的取值范围是________．‎ ‎3. 若行列式‎4‎‎5‎x‎1‎x‎3‎‎7‎‎8‎‎9‎中，元素‎4‎的代数余子式大于‎0‎，则x满足的条件是________．‎ ‎4. 某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是________．‎ ‎5. 如图，若正四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的底面边长为‎2‎，高为‎4‎，则异面直线BD‎1‎与AD所成角的大小是________（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎6. 函数y=2cos‎2‎x+sin2x的最小值是________．‎ ‎7. 某学校要从‎5‎名男生和‎2‎名女生中选出‎2‎人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ________（结果用最简分数表示）．‎ ‎8. 已知三个球的半径R‎1‎，R‎2‎，R‎3‎满足R‎1‎‎+2R‎2‎=3‎R‎3‎，则它们的表面积S‎1‎，S‎2‎，S‎3‎，满足的等量关系是________．‎ ‎9. 已知F‎1‎、F‎2‎是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF‎1‎‎→‎‎⊥‎PF‎2‎‎→‎．若‎△PF‎1‎F‎2‎的面积为‎9‎，则b＝________．‎ ‎10. 在极坐标系中，由三条直线θ=0‎，θ=‎π‎3‎，ρcosθ+ρsinθ=1‎围成图形的面积等于________．‎ ‎11. 当‎0≤x≤‎‎1‎‎2‎时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是________．‎ ‎12. 已知函数f(x)‎＝sinx+tanx，项数为‎27‎的等差数列‎{an}‎满足an‎∈(-π‎2‎,π‎2‎)‎，且公差d≠0‎，若f(a‎1‎)+f(a‎2‎)+...f(a‎27‎)‎＝‎0‎，则当k＝________时，f(ak)‎＝‎0‎．‎ ‎13. 某地街道呈现东-西、南-北向的网格状，相邻街距都为‎1‎．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点‎(-2, 2)‎，‎(3, 1)‎，‎(3, 4)‎，‎(-2, 3)‎，‎(4, 5)‎，‎(6, 6)‎为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）________为发行站，使‎6‎个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．‎ ‎14. 将函数y=‎4+6x-‎x‎2‎-2(x∈[0, 6])‎的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α)‎，得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为________．‎ 二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎15. “‎-2≤a≤2‎”是“实系数一元二次方程x‎2‎‎+ax+1=0‎有虚根”的(        )‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎16. 若事件E与F相互独立，且P(E)=P(F)=‎‎1‎‎4‎，则P(E∩F)‎的值等于（ ）‎ A.‎0‎ B.‎1‎‎16‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎ 6 / 6‎ ‎17. 有专业机构认为甲型N‎1‎H‎1‎流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续‎10‎天，每天新增疑似病例不超过‎15‎人”．根据过去‎10‎天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）‎ A.甲地：总体均值为‎3‎，中位数为‎4‎ B.乙地：总体均值为‎1‎，总体方差大于‎0‎ C.丙地：中位数为‎2‎，众数为‎3‎ D.丁地：总体均值为‎2‎，总体方差为‎3‎ ‎18. 过圆C：‎(x-1‎)‎‎2‎+(y-1‎)‎‎2‎=1‎的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，‎△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S‎|‎‎+SIV=S‎||‎+‎S‎|||‎则直线AB有（ ）‎ A.‎0‎条 B.‎1‎条 C.‎2‎条 D.‎3‎条 三、解答题（共5小题，满分78分）‎ ‎19. 如图，在直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，AA‎1‎=BC=AB=2‎，AB⊥BC，求二面角B‎1‎‎-A‎1‎C-‎C‎1‎的大小．‎ ‎20. 有时可用函数f(x)=‎0.1+151naa-xx≤6‎x-4.4‎x-4‎x>6‎ ‎，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数‎(x∈N‎*‎)‎，f(x)‎表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．‎ ‎（1）证明：当x≥7‎时，掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)‎总是下降；‎ ‎（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为‎(115, 121]‎，‎(121, 127]‎，‎(127, 133]‎．当学习某学科知识‎6‎次时，掌握程度是‎85%‎，请确定相应的学科．‎ ‎21. 已知双曲线c：x‎2‎‎2‎-y‎2‎=1‎，设直线l过点A(-3‎2‎，0)‎，‎ ‎（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；‎ ‎（2）证明：当k>‎‎2‎‎2‎时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为‎6‎．‎ ‎ 6 / 6‎ ‎22. 已知函数y=f(x)‎的反函数．定义：若对给定的实数a(a≠0)‎，函数y=f(x+a)‎与y=f‎-1‎(x+a)‎互为反函数，则称y=f(x)‎满足“a和性质”；若函数y=f(ax)‎与y=f‎-1‎(ax)‎互为反函数，则称y=f(x)‎满足“a积性质”．‎ ‎（1）判断函数g(x)=x‎2‎+1(x>0)‎是否满足“‎1‎和性质”，并说明理由；‎ ‎（2）求所有满足“‎2‎和性质”的一次函数；‎ ‎（3）设函数y=f(x)(x>0)‎对任何a>0‎，满足“a积性质”．求y=f(x)‎的表达式．‎ ‎23. 已知‎{an}‎是公差为d的等差数列，‎{bn}‎是公比为q的等比数列．‎ ‎（1）若an‎=3n+1‎，是否存在m、k∈‎N‎*‎，有am‎+am+1‎=‎ak？说明理由；‎ ‎（2）找出所有数列‎{an}‎和‎{bn}‎，使对一切n∈‎N‎*‎，an+1‎an‎=‎bn，并说明理由；‎ ‎（3）若a‎1‎‎=5‎，d=4‎，b‎1‎‎=q=3‎，试确定所有的p，使数列‎{an}‎中存在某个连续p项的和是数列‎{bn}‎中的一项，请证明．‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2009年上海市高考数学试卷（理科）‎ 一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）‎ ‎1.‎i ‎2.‎a≤1‎ ‎3.x>‎‎8‎‎3‎且x≠4‎ ‎4.‎y=‎x-2,x>1‎‎2‎x‎，x≤1‎ ‎5.‎arctan‎5‎ ‎6.‎‎1-‎‎2‎ ‎7.‎‎4‎‎7‎ ‎8.‎S‎1‎‎+2S‎2‎=3‎S‎3‎ ‎9.‎‎3‎ ‎10.‎‎3-‎‎3‎‎4‎ ‎11.‎k≤2‎ ‎12.‎‎14‎ ‎13.‎‎(3, 3)‎ ‎14.‎arctan‎2‎‎3‎ 二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎15.A ‎16.B ‎17.B ‎18.B 三、解答题（共5小题，满分78分）‎ ‎19.解：如图，建立空间直角坐标系．则A(2, 0, 0)‎，C(0, 2, 0)‎，A‎1‎‎(2, 0, 2)‎，B‎1‎‎(0, 0, 2)‎，C‎1‎‎(0, 2, 2)‎，‎ 设AC的中点为M，‎ ‎∵ BM⊥AC，BM⊥CC‎1‎．‎ ‎∴ BM⊥‎平面A‎1‎C‎1‎C，‎ 即BM‎→‎‎=(1, 1, 0)‎是平面A‎1‎C‎1‎C的一个法向量．‎ 设平面A‎1‎B‎1‎C的一个法向量是n=(x, y, z)‎．A‎1‎C‎→‎‎=(-2, 2, -2)‎，‎ A‎1‎B‎1‎‎→‎‎=(-2, 0, 0)‎‎，‎ ‎∴ ‎n⋅A‎1‎B‎1‎‎→‎=-2x=0‎n⋅A‎1‎C‎1‎‎→‎=-2x+2y-2z=0‎ 令z=1‎，解得x=0‎，y=1‎．‎ ‎∴ n=(0, 1, 1)‎，‎ 设法向量n与BM‎→‎的夹角为φ，二面角B‎1‎‎-A‎1‎C-‎C‎1‎的大小为θ，显然θ为锐角．‎ ‎∵ cosθ=|cosφ|=‎|n⋅BM‎→‎|‎‎|n|⋅|BM‎→‎|‎=‎‎1‎‎2‎，解得：θ=‎π‎3‎．‎ ‎∴ 二面角B‎1‎‎-A‎1‎C-‎C‎1‎的大小为π‎3‎．‎ ‎20.当x≥7‎时，‎f(x+1)-f(x)=‎‎0.4‎‎(x-3)(x-4)‎ 而当x≥7‎时，函数y＝‎(x-3)(x-4)‎单调递增，且‎(x-3)(x-4)>0‎ 故函数f(x+1)-f(x)‎单调递减 当x≥7‎时，掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)‎总是下降 由题意可知‎0.1+151naa-6‎=0.85‎ 整理得aa-6‎‎=‎e‎0.05‎ 解得a=e‎0.05‎e‎0.05‎‎-1‎⋅6=20.50×6=123,123∈(121,127]‎ 由此可知，该学科是乙学科..‎ ‎21.解：（1）双曲线C的渐近线m：x‎2‎±y=0‎，‎ ‎ 6 / 6‎ 即x±‎2‎y=0‎∴‎ 直线l的方程x±‎2‎y+3‎2‎=0‎ ‎∴ 直线l与m的距离d=‎3‎‎2‎‎1+2‎=‎‎6‎．‎ ‎（2）设过原点且平行于l的直线b:kx-y=0‎，‎ 则直线l与b的距离d=‎‎3‎2‎|k|‎‎1+‎k‎2‎，‎ 当k>‎‎2‎‎2‎时，d>‎‎6‎．‎ 又双曲线C的渐近线为x±‎2‎y=0‎，‎ ‎∴ 双曲线C的右支在直线b的右下方，‎ ‎∴ 双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于‎6‎．‎ 故在双曲线C的右支上不存在点Q(x‎0‎, y‎0‎)‎到到直线l的距离为‎6‎．‎ ‎22.解（1）函数g(x)=x‎2‎+1(x>0)‎的反函数是g‎-1‎‎(x)=x-1‎(x>1)‎，‎ ‎∴ g‎-1‎‎(x+1)=x(x>0)‎，‎ 而g(x+1)=(x+1‎)‎‎2‎+1(x>-1)‎，其反函数为y=x-1‎-1(x>1)‎，‎ 故函数g(x)=x‎2‎+1(x>0)‎不满足“‎1‎和性质”．‎ ‎（2）设函数f(x)=kx+b(x∈R)‎满足“‎2‎和性质”，k≠0‎．‎ ‎∴ f‎-1‎‎(x)=x-bk(x∈R)‎，∴ f‎-1‎‎(x+2)=‎x+2-bk，‎ 而 f(x+2)=k(x+2)+b(x∈R)‎，得反函数 y=‎x-b-2kk，‎ 由“‎2‎和性质”定义可知  x+2-bk‎=‎x-b-2kk，对‎(x∈R)‎恒成立．‎ ‎∴ k=-1‎，b∈R，即所求一次函数f(x)=-x+b(b∈R)‎．‎ ‎（3）设a>0‎，x‎0‎‎>0‎，且点‎(x‎0‎, y‎0‎)‎在y=f(ax)‎图象上，则‎(y‎0‎, x‎0‎)‎在函数y=f‎-1‎(ax)‎图象上，‎ 故f(ax‎0‎)=‎y‎0‎f-1(ay‎0‎)=‎x‎0‎，可得 ay‎0‎=f(x‎0‎)=af(ax‎0‎)‎，‎ 令  ax‎0‎=x，则a=‎xx‎0‎，∴ f(x‎0‎)=xx‎0‎f(x)‎，即f(x)=‎x‎0‎f(x‎0‎)‎x．‎ 综上所述，f(x)=kx(k≠0)‎，此时f(ax)=‎kax，其反函数是y=‎kax，‎ 而f‎-1‎‎(ax)=‎kax，故y=f(ax)‎与y=f‎-1‎(ax)‎互为反函数．‎ ‎23.解：（1）由am‎+am+1‎=‎ak，得‎6m+5=3k+1‎，‎ 整理后，可得k-2m=‎‎4‎‎3‎，∵ m、k∈‎N‎*‎，∴ k-2m为整数，‎ ‎∴ 不存在m、k∈‎N‎*‎，使等式成立．‎ ‎（2）设an‎=nd+c，若an+1‎an‎=‎bn，对n∈‎N‎×‎都成立，‎ 且‎{bn}‎为等比数列，则an+2‎an+1‎‎/an+1‎an=q，对n∈‎N‎×‎都成立，‎ 即anan+2‎‎=qan+1‎‎2‎，∴ ‎(dn+c)(dn+2d+c)=q(dn+d+c‎)‎‎2‎，‎ 对n∈‎N‎×‎都成立，∴ ‎d‎2‎‎=qd‎2‎ ‎(I)‎若d=0‎，则an‎=c≠0‎，∴ bn‎=1‎，n∈‎N‎*‎．‎ ‎(II)‎若d≠0‎，则q=1‎，∴ bn‎=m（常数），即dn+d+cdn+c‎=m，则d=0‎，矛盾．‎ 综上所述，有an‎=c≠0‎，bn‎=1‎，使对一切n∈‎N‎×‎，an+1‎an‎=‎bn．‎ ‎（3）an‎=4n+1‎，bn‎=‎‎3‎n，n∈‎N‎*‎，‎ 设am+1‎‎+am+2‎++am+p=bk=‎‎3‎k，p、k∈‎N‎*‎，m∈N．‎ ‎4(m+1)+1+4(m+p)+1‎‎2‎p=‎‎3‎k‎，‎ ‎∴ ‎4m+2p+3=‎‎3‎kp，‎ ‎∵ p、k∈‎N‎*‎，∴ p=‎‎3‎s，‎s∈N 取k=3s+2‎，‎4m=‎3‎‎2s+2‎-2×‎3‎s-3=(4-1‎)‎‎2s+2‎-2×(4-1‎)‎s-3≥0‎，由 ‎ 6 / 6‎ 二项展开式可得整数M‎1‎、M‎2‎，‎ 使得‎(4-1‎)‎‎2s+2‎=4M‎1‎+1‎，‎‎2×(4-1‎)‎s=8M‎2‎+(-1‎)‎S2‎ ‎∴ ‎4m=4(M‎1‎-2M‎2‎)-((-1‎)‎S+1)2‎，‎ ‎∴ 存在整数m满足要求．‎ 故当且仅当p=‎‎3‎s，s∈N，命题成立．‎ ‎ 6 / 6‎