2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ） 29页

‎2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB=（　　）‎ A．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}‎ ‎2．（5分）若z=4+3i，则=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i ‎3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（　　）‎ A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 ‎5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知a=，b=，c=，则（　　）‎ A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）‎ A．18+36 B．54+18 C．90 D．81‎ ‎11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（　　）‎ A．4π B． C．6π D．‎ ‎12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为　 　．‎ ‎14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移　 　个单位长度得到．‎ ‎15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=　 　．‎ ‎16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0．‎ ‎（1）求a2，a3；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．‎ 注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．‎ ‎（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；‎ ‎（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．‎ 附注：‎ 参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．‎ 参考公式：相关系数r=，‎ 回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎=，=﹣．‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．‎ ‎20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；‎ ‎（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．‎ ‎　‎ 请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[‎ 选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．‎ ‎（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；‎ ‎（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．‎ ‎（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．‎ ‎（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；‎ ‎（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB=（　　）‎ A．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}‎ ‎【分析】根据全集A求出B的补集即可．‎ ‎【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB={0，2，6，10}．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若z=4+3i，则=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i ‎【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．‎ ‎【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．‎ ‎【解答】解：，；‎ ‎∴；‎ 又0°≤∠ABC≤180°；‎ ‎∴∠ABC=30°．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（　　）‎ A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 ‎【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．‎ ‎【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确 B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确 D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．‎ ‎【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：‎ ‎（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种．‎ 其中只有一个是小敏的密码前两位．‎ 由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanθ的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵tanθ=，‎ ‎∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1=﹣1=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知a=，b=，c=，则（　　）‎ A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：∵a==，‎ b=，‎ c==，‎ 综上可得：b＜a＜c，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 a=4，b=6，n=0，s=0‎ 执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1‎ 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2‎ 不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3‎ 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4‎ 满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，‎ ‎∴AB=BC，‎ 由余弦定理得：AC===BC，‎ 故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，‎ ‎∴sinA=，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）‎ A．18+36 B．54+18 C．90 D．81‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，‎ 其底面面积为：3×6=18，‎ 侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，‎ 故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（　　）‎ A．4π B． C．6π D．‎ ‎【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，‎ ‎∴AC=10．‎ 故三角形ABC的内切圆半径r==2，‎ 又由AA1=3，‎ 故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，‎ 此时V的最大值=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），‎ 设直线AE的方程为y=k（x+a），‎ 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），‎ 设OE的中点为H，可得H（0，），‎ 由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，‎ 即为=，‎ 化简可得=，即为a=3c，‎ 可得e==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为　﹣10　．‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得，即A（﹣1，﹣1）．‎ 化目标函数z=2x+3y﹣5为．‎ 由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10．‎ 故答案为：﹣10．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移　　个单位长度得到．‎ ‎【分析】令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．‎ ‎【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），‎ 令f（x）=2sinx，‎ 则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），‎ 依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），‎ 故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），‎ 即φ=﹣2kπ+（k∈Z），‎ 当k=0时，正数φmin=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=　4　．‎ ‎【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可．‎ ‎【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==3，‎ ‎∴|AB|=2=2，‎ ‎∵直线l：x﹣y+6=0‎ ‎∴直线l的倾斜角为30°，‎ ‎∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，‎ ‎∴|CD|==4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是　y=2x　．‎ ‎【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．‎ ‎【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，‎ 设x＞0，则﹣x＜0，‎ ‎∴f（x）=f（﹣x）=ex﹣1+x，‎ 则f′（x）=ex﹣1+1，‎ f′（1）=e0+1=2．‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．‎ 即y=2x．‎ 故答案为：y=2x．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0．‎ ‎（1）求a2，a3；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n=1可得a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，将a1=1代入可得a2的值，进而令n=2可得a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，将a2=代入计算可得a3的值，即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，将an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0变形可得（an﹣2an+1）（an+an+1）=0，进而分析可得an=2an+1或an=﹣an+1，结合数列各项为正可得an=2an+1，结合等比数列的性质可得{an}是首项为a1=1，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，‎ 当n=1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，‎ 而a1=1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得a2=，‎ 当n=2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，‎ 又由a2=，解可得a3=，‎ 故a2=，a3=；‎ ‎（2）根据题意，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，‎ 变形可得（an﹣2an+1）（an+1）=0，‎ 即有an=2an+1或an=﹣1，‎ 又由数列{an}各项都为正数，‎ 则有an=2an+1，‎ 故数列{an}是首项为a1=1，公比为的等比数列，‎ 则an=1×（）n﹣1=（）n﹣1，‎ 故an=（）n﹣1．‎ ‎【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到an与an+1的关系．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．‎ 注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．‎ ‎（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；‎ ‎（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．‎ 附注：‎ 参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．‎ 参考公式：相关系数r=，‎ 回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎=，=﹣．‎ ‎【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；‎ ‎（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．‎ ‎【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：‎ ‎∵r==≈≈≈0.993，‎ ‎∵0.993＞0.75，‎ 故y与t之间存在较强的正相关关系；‎ ‎（2）==≈≈0.103，‎ ‎=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，‎ ‎∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，‎ ‎2016年对应的t值为9，‎ 故=0.10×9+0.92=1.82，‎ 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．‎ ‎（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，‎ ‎∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线 ‎∴NE∥PB，‎ 又∵AD∥BC，∴BE∥AD，‎ ‎∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，‎ ‎∴BE=BC=AM=2，‎ ‎∴四边形ABEM是平行四边形，‎ ‎∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，‎ ‎∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．‎ 解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，‎ ‎∵NF是△PAC的中位线，‎ ‎∴NF∥PA，NF==2，‎ 又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，‎ 如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，‎ ‎∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，‎ ‎∴AC=MG=3，‎ 又∵ME=3，EC=CG=2，‎ ‎∴△MEG的高h=，‎ ‎∴S△BCM===2，‎ ‎∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM===．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2‎ 分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；‎ ‎（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，‎ 由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，‎ ‎∴∠PFQ=90°，‎ ‎∵R是PQ的中点，‎ ‎∴RF=RP=RQ，‎ ‎∴△PAR≌△FAR，‎ ‎∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，‎ ‎∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，‎ ‎∴∠FQB=∠PAR，‎ ‎∴∠PRA=∠PQF，‎ ‎∴AR∥FQ．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎ F（，0），准线为 x=﹣，‎ ‎ S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，‎ 设直线AB与x轴交点为N，‎ ‎∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|，‎ ‎∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，‎ ‎∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．‎ 设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），‎ 又=，‎ ‎∴=，即y2=x﹣1．‎ ‎∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；‎ ‎（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．‎ ‎【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；‎ ‎（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．运用（1）的单调性可得lnx＜x﹣1，设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；‎ ‎（3）设G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx，求G（x）的二次导数，判断G′（x）的单调性，进而证明原不等式．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）=﹣1，‎ 由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．‎ 即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；‎ ‎（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．‎ 由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，‎ 可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；‎ 设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，‎ 当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，‎ 即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；‎ ‎（3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx，‎ 则需要证明：当x∈（0，1）时，G（x）＞0（c＞1）；‎ G′（x）=c﹣1﹣cxlnc，G′′（x）=﹣（lnc）2cx＜0，‎ ‎∴G′（x）在（0，1）单调递减，而G′（0）=c﹣1﹣lnc，G′（1）=c﹣1﹣clnc，‎ 由（1）中f（x）的单调性，可得G′（0）=c﹣1﹣lnc＞0，由（2）可得G′（1）=c﹣1﹣clnc=c（1﹣lnc）﹣1＜0，‎ ‎∴∃t∈（0，1），使得G′（t）=0，即x∈（0，t）时，G′（x）＞0，x∈（t，1）时，G′（x）＜0；‎ 即G（x）在（0，t）递增，在（t，1）递减；‎ 又因为：G（0）=G（1）=0，‎ ‎∴x∈（0，1）时G（x）＞0成立，不等式得证；‎ 即c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．‎ ‎（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；‎ ‎（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．‎ ‎【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；‎ ‎（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．‎ ‎【解答】（1）解：连接PB，BC，‎ 设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，‎ ‎∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，‎ 由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，‎ 在△EBC中，∠1=∠2+∠3，‎ 又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，‎ 即有∠2=∠4，则∠D=∠1，‎ 则四点E，C，D，F共圆，‎ 可得∠EFD+∠PCD=180°，‎ 由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，‎ 即有3∠PCD=180°，‎ 可得∠PCD=60°；‎ ‎（2）证明：由C，D，E，F共圆，‎ 由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G 可得G为圆心，即有GC=GD，‎ 则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，‎ 则OG⊥CD．‎ ‎【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．‎ ‎（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．‎ 另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），‎ 移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，‎ 即有椭圆C1：+y2=1；‎ 曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，‎ 即有ρ（sinθ+cosθ）=2，‎ 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，‎ 即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；‎ ‎（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，‎ ‎|PQ|取得最值．‎ 设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，‎ 联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，‎ 由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，‎ 解得t=±2，‎ 显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，‎ 即有|PQ|==，‎ 此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，‎ 即为P（，）．‎ 另解：设P（cosα，sinα），‎ 由P到直线的距离为d=‎ ‎=，‎ 当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，‎ 此时可取α=，即有P（，）．‎ ‎【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．‎ ‎（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；‎ ‎（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．‎ ‎（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，‎ ‎∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，‎ ‎|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，‎ ‎∴﹣2≤x﹣1≤2，‎ 解得﹣1≤x≤3，‎ ‎∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．‎ ‎（2）∵g（x）=|2x﹣1|，‎ ‎∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，‎ ‎2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，‎ ‎|x﹣|+|x﹣|≥，‎ 当a≥3时，成立，‎ 当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，‎ ‎∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，‎ 解得2≤a＜3，‎ ‎∴a的取值范围是[2，+∞）．‎ ‎【点评】‎ 本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．‎ ‎　‎