2019年高考数学练习题汇总解答题通关练 6 4页

‎6.函数与导数 ‎1.已知函数f(x)＝ln x＋－1，a∈R.‎ ‎(1)若关于x的不等式f(x)>－x＋1在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎(2)设函数g(x)＝，证明：当a≥时，g(x)在[1，e2]上不存在极值.‎ ‎(1)解　由f(x)>－x＋1，得ln x＋－1>－x＋1.‎ 即a>－xln x－x2＋2x在[1，＋∞)上恒成立.‎ 设m(x)＝－xln x－x2＋2x，x≥1，‎ 则m′(x)＝－ln x－2x＋1.‎ ‎∵x∈[1，＋∞)，∴－ln x≤0，－2x＋1<0.‎ ‎∴当x∈[1，＋∞)时， m′(x)＝－ln x－2x＋1<0.‎ ‎∴m(x)在[1，＋∞)上单调递减.‎ ‎∴当x∈[1，＋∞)时， m(x)≤m(x)max＝m(1)＝1.‎ ‎∴a>1，即a的取值范围是(1，＋∞).‎ ‎(2)证明　∵g(x)＝－＋，x∈[1，e2].‎ ‎∴g′(x)＝＋－＝.‎ 设h(x)＝2x－xln x－2a，x∈[1，e2]，‎ 则h′(x)＝2－(1＋ln x)＝1－ln x.‎ 令h′(x)＝0，得x＝e.‎ 当1≤x0；当e0，‎ 则g′(x)＝＋2ax＋b，‎ 由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得，‎ g′(1)＝1＋2a＋b＝0，‎ ‎∴b＝－2a－1.‎ ‎(2)由(1)得g′(x)＝＝.‎ ‎∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ ‎∴当a＝0时， g′(x)＝－，‎ 由g′(x)>0得01；‎ 若0<<1，即a>时，由g′(x)>0得x>1或01，即00得x>或0时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增.‎ ‎3.已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数).‎ ‎(1)当a＝5时，求函数g(x)的图象在x＝1处的切线方程；‎ ‎(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值；‎ ‎(3)若存在两个不等实数x1，x2∈，使方程g(x)＝2exf(x)成立，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e，g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e，‎ 所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.‎ ‎(2)函数f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞).因为f′(x)＝ln x＋1，‎ 所以在(0，＋∞)上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值(最小值)‎ ‎↗‎ 当t≥时，在区间[t，t＋2]上，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(t)＝tln t，当00，‎ 则h′(x)＝1＋－＝.‎ 当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：‎ x ‎1‎ ‎(1，e)‎ h′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ h(x)‎ ‎↘‎ 极小值(最小值)‎ ‎↗‎ 因为h＝＋3e－2，h(e)＝＋e＋2，h(1)＝4，‎ 所以h(e)－h＝4－2e＋<0，‎ 所以h(e)0，即a>－1时，令h′(x)>0，∵x>0，∴x>1＋a，令h′(x)<0，∵x>0，∴00恒成立，∴h(x)的单调递增区间为(0，＋∞).‎ ‎①当a＋1≥e，即a≥e－1时，h(x)在[1，e]上单调递减，‎ ‎∴h(x)min＝h(e)＝e＋－a≤0，‎ ‎∴a≥，∵>e－1，∴a≥；‎ ‎②当a＋1≤1，即a≤0时，h(x)在[1，e]上单调递增，‎ ‎∴h(x)min＝h(1)＝1＋1＋a≤0，∴a≤－2；‎ ‎③当12，此时不存在x0，使h(x0)≤0成立.‎ 综上，实数a的取值范围为(－∞，－2]∪.‎