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- 2021-06-24 发布
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高考模拟试卷(二)
(时间:150分钟 满分:200分)
数学Ⅰ试题
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|kx-y-2≤0},其中x,y∈R.若A⊆B,则实数k的取值范围是________.
答案 [-, ]
解析 要使A⊆B,只需直线kx-y-2=0与圆相切或相离,所以圆心到直线的距离d=≥1,
解得-≤k≤.
2.函数y=lg(3x+1)+的定义域是________.
答案
解析 由题意可得
解得x>-且x≠2,
故函数的定义域是.
3.如图所示的茎叶图(图一)为高三某班50名学生的数学考试成绩,(图二)的流程图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩,则输出m,n的值分别是________.
4
3
6
7
8
5
0
1
2
3
3
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8
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0
1
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2
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6
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2
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4
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9
0
1
6
8
(图一)
(图二)
答案 26,12
解析 分析流程图可知,n为50名学生中成绩在[80,100)的人数,m为50名学生中成绩在[60,80)的人数,分析茎叶图即可知n=12,m=26.
4.某企业3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量比为1∶2∶1,用分层抽样的方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________ h.
答案 1 013
解析 由于三个分厂的产量比为1∶2∶1,
所以从三个分厂抽出产品数量的比例也应为1∶2∶1,
所以100件产品的使用寿命的平均值为
=1 013(h).
5.现有红桃1,2,3和黑桃4,5共五张牌,从这五张牌中随机取2张牌,则所取2张牌均为红桃的概率为________.
答案
解析 从5张中取2张共有基本事件10个:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中2张均为红桃的有3个:(1,2),(1,3),(2,3),则所求概率为.
6.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<,则f(x)的最大值为__________.
答案 2
解析 f(x)=(1+tan x)cos x=cos x+sin x
=2sin,∵0≤x<,∴≤x+<,
∴f(x)max=2.
7.在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π有零点的概率为________.
答案
解析 根据函数f(x)=x2+2ax-b2+π有零点,
得4a2-4(π-b2)≥0,即a2+b2≥π.
建立如图所示的平面直角坐标系,则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部,使函数f(x)有零点的区域为图中阴影部分,且S阴影=4π2-π2=3π2.
故所求概率为P===.
8.设双曲线-=1(b>a>0)的焦距为2c,直线l过点A(a,0),B(0,b),已知原点到直线l的距离为c,则双曲线的离心率为________.
答案 2
解析 如图所示,在△OAB中,
OA=a,OB=b,OE=c,
AB==c.
因为AB·OE=OA·OB,
所以c·c=ab,
即(a2+b2)=ab,
两边同除以a2,得2-+=0,
解得=或=(舍去).
所以e====2.
9.(2018·绍兴模拟)若实数x,y,z满足x+2y+3z=1,x2+4y2+9z2=1,则实数z的最小值是________.
答案 -
解析 x+2y+3z=1,则x=1-2y-3z,据此可得
(1-2y-3z)2+4y2+9z2=1,
整理得4y2+(6z-2)y+(9z2-3z)=0,
满足题意时上述关于y的一元二次方程有实数根,
则Δ=(6z-2)2-16(9z2-3z)≥0,
整理可得(3z-1)(9z+1)≤0,则-≤z≤.
则实数z的最小值是-.
10.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2+2c2=8,则△ABC面积的最大值为________.
答案
解析 S△ABC=absin C=ab
=
=,
而2ab≤a2+b2=8-2c2,即ab≤4-c2,
所以S△ABC≤
=
≤×=,
当且仅当a=b,c2=时取等号.
11.设Sn为数列{an}的前n项和,若不等式n2a+4S≥λn2a对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立,则λ的最大值为________.
答案
解析 当a1=0时,λ∈R;
当a1≠0时,n2a+4S≥λn2a,
即≥λ,
所以+≥λ,
所以22+2+1≥λ.
即22+≥λ,
所以λ≤,即λmax=.
12.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=3,BC=DC=2,若E,F分别是线段DC和BC上的动点,则·的取值范围是________.
答案 [-4,6]
解析 方法一 因为=+,=+,
所以·=(+)·(+)=·+·=3||-2||.
因为E,F分别是线段DC和BC上的动点,且BC=DC=2,
所以||∈[0,2],||∈[0,2],
所以由不等式的性质知,·的取值范围是[-4,6].
方法二 以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则C(3,2),
因为E,F分别是线段DC和BC上的动点,且BC=DC=2,
所以可设E(x,2),F(3,y),且x∈[1,3],y∈[0,2],
所以=(3,2),=(3-x,y-2),
所以·=3(3-x)+2(y-2)=5-3x+2y∈[-4,6],
即·的取值范围是[-4,6].
13.四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,PA=AB=BC=AD=1,BC∥AD,已知Q是四边形ABCD内部一点,且二面角Q-PD-A的平面角大小为,若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为S1,S2(S10).
由题意可知A(0,0,0),D(2,0,0),P(0,0,1),
∴=(-2,0,1),=(-2,b,0),=(2,0,0).
设平面APD的法向量n1=(x1,y1,z1),平面PDQ的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
即
令y1=1,得n1=(0,1,0),令z2=2,得n2=,
∴n1·n2=,|n1|=1,|n2|=,
∵二面角Q-PD-A的平面角大小为,
∴cos〈n1,n2〉==,即=,
解得b=.
∴S△ADQ=AD·AQ=×2×=.
S四边形BCDQ=S梯形ABCD-S△ADQ=×(1+2)×1-=-.
∵S10,
当y=ax2与y=-有一个交点时,
方程ax2+x2-2x+=0有一个根,由Δ=0,得a=1,
此时函数g(x)=f(x)-ax2有三个不同的零点,不合题意,
要使函数g(x)=f(x)-ax2有四个不同的零点,
y=ax2与y=-有两个交点,
则抛物线y=ax2的开口要比y=x2的开口大,
可得a<1,
∴0m≥k,n∈N*,m∈N*时总有|an-am|≤t;
(2)已知Δ2an=3n-2,若a1=1,且an≥a3对n∈N*恒成立,求a2的取值范围.
(1)①解 因为a2=a1+Δa1=a1-,a3=a2+Δa2=a1-,且{an}为等比数列,
所以a=a1·a3,即2=a1,
解得a1=,当a1=时,
当n≥2时,an=Δan-1+…+Δa1+a1
=+
=·n-1.
当n=1时,符合上式,
所以{an}为等比数列,即a1=.
②证明 因为an-am=Δan-1+…+Δam
=
=·,
所以|an-am|=·
≤·≤·m,
令·m≤t,则m≥log2,
故k可取不小于log2的正整数,则对任意n>m≥k,n∈N*,m∈N*,|an-am|≤·m≤t.
(2)解 因为Δan=Δ2an-1+…+Δ2a1+Δa1
=-2(n-1)+Δa1
=-2n++Δa1
=-2n+a2-.
由Δ2an=3n-2>0知,{Δan}是递增的.
所以an≥a3对n∈N*恒成立,当且仅当满足
所以
解得-7≤a2≤0.
所以a2的取值范围是[-7,0].
20.(16分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x.
(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.
解 (1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),
则f(x0)=0,f′(x0)=0,
即
解得x0=,a=-.
因此,当a=-时,x轴为曲线y=f(x)的切线.
(2)当x∈(1,+∞)时,g(x)=-ln x<0,
从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,
故h(x)在(1,+∞)上无零点.
当x=1时,若a≥-,
则f(1)=a+≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点;
若a<-,则f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是h(x)的零点.
当x∈(0,1)时,g(x)=-ln x>0.
所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数.
①若a≤-3或a≥0,则f′(x)=3x2+a在(0,1)上无零点,故f(x)在(0,1)上单调.而f(0)=,f(1)=a+,所以当a≤-3时,f(x)在(0,1)内有一个零点;当a≥0时,f(x)在(0,1)上没有零点.
②若-30,即--或a<-时,h(x)有一个零点;当a=-或a=-时,h(x)有两个零点;
当-0).
∵点P(1,2)在抛物线上,
∴22=2p×1,解得p=2,
故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.
(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,
则kPA=(x1≠1),kPB=(x2≠1).
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,
∴kPA=-kPB,
由A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,得
y=4x1, ①
y=4x2, ②
∴=-,
∴y1+2=-(y2+2),
∴y1+y2=-4,
直线AB的斜率
kAB===-=-1(x1≠x2).
23.(10分)已知函数f0(x)=x(sin x+cos x),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.
(1)求f1(x),f2(x)的表达式;
(2)写出fn(x)的表达式,并用数学归纳法证明.
解 (1)因为fn(x)为fn-1(x)的导数,
所以f1(x)=f0′(x)=(sin x+cos x)+x(cos x-sin x)
=(x+1)cos x+(x-1)(-sin x),
同理,f2(x)=-(x+2)sin x-(x-2)·cos x.
(2)由(1)得f3(x)=f2′(x)=-(x+3)cos x+(x-3)sin x,
把f1(x),f2(x),f3(x)分别改写为
f1(x)=(x+1)sin+(x-1)·cos,
f2(x)=(x+2)sin+(x-2)·cos,
f3(x)=(x+3)sin+(x-3)·cos,
猜测fn(x)=(x+n)sin+(x-n)·cos. (*)
下面用数学归纳法证明上述等式.
①当n=1时,由(1)知,等式(*)成立;
②假设当n=k(k∈N*)时,等式(*)成立,即
fk(x)=(x+k)sin+(x-k)cos,
则当n=k+1时,
fk+1(x)=fk′(x)=sin+(x+k)cos+cos+(x-k)·
=(x+k+1)cos+[x-(k+1)]·
=[x+(k+1)]sin+[x-(k+1)]·cos,
即当n=k+1时,等式(*)也成立.
综上所述,当n∈N*时,fn(x)=(x+n)sin+(x-n)·cos成立.
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