2019年高考数学练习题汇总解答题满分练2 6页

解答题满分练2‎ ‎1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD, PA⊥PC；‎ ‎(1)求证：平面PAB ⊥平面PCD；‎ ‎(2)若过点B的直线l垂直于平面PCD，‎ 求证： l∥平面PAD. ‎ 证明　(1)因为ABCD为矩形，所以CD⊥AD，‎ 因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD, CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，‎ 因为AP⊂平面PAD，所以PA⊥CD，‎ 又PA⊥PC, PC∩CD＝C, CD，PC⊂平面PCD，‎ 所以AP⊥平面PCD，‎ 又AP⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.‎ ‎(2)由(1)知，AP⊥平面PCD，又l⊥平面PCD，‎ 所以l∥PA，‎ 又l⊄平面PAD, AP⊂平面PAD，所以l∥平面PAD.‎ ‎2.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足＋＝0 .‎ ‎(1)求角B的值； ‎ ‎(2)若c＝2，AC边上的中线BD＝，求△ABC的面积.‎ 解　(1)＋＝0⇔＋＝0, ‎ 所以cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，‎ 所以2sin Acos B＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0，‎ 所以2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0，‎ 所以sin A(2cos B＋1)＝0，‎ 因为sin A≠0，所以cos B＝－.‎ 所以B＝.‎ ‎(2)延长BD到E，使BD＝DE，易知四边形AECB为平行四边形， ‎ 在△BEC 中，EC＝2，BE＝2BD＝ ，因为∠ABC＝，所以∠BCE＝ ，由余弦定理得，‎ BE2＝EC2＋BC2－2EC·BC·cos∠BCE，‎ 即3＝22＋a2－2·2a·cos ，‎ 即a2－2a＋1＝0，‎ 解得a＝1，‎ S△ABC＝acsin B＝×1×2×＝.‎ ‎3.某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy.‎ ‎(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？‎ ‎(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为S＝lh)‎ 解　(1)设抛物线的方程为y＝－ax2(a＞0)，则抛物线过点，‎ 代入抛物线方程得a＝，‎ 令y＝－6，解得x＝±20，则隧道设计的拱宽l是40米.‎ ‎(2)抛物线最大拱高为h米，h≥6，抛物线过点，‎ 代入抛物线方程得a＝.‎ 令y＝－h，则－x2＝－h，解得x2＝，‎ 则2＝，h＝，‎ ‎∵h≥6，∴≥6，即20＜l≤40，‎ ‎∴S＝lh＝l·＝，200)，则g′(x)＝2x－1－＝＝，‎ 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g(x)min＝g(1)＝k.‎ 因此，欲使不等式f(x)≥x2－3x＋k有大于0的实数解，则k≤0.‎ 即实数k的取值范围是(－∞，0].‎ ‎(3)对于任意的x∈[1，＋∞)，f(x)≤(m－2)x－恒成立，等价于ln x－m≤0在x∈[1，＋∞)上恒成立.‎ 设h(x)＝ln x－m(x≥1)，‎ 则h′(x)＝－m＝.‎ 若m≤0，则h′(x)>0，h(x)在[1，＋∞)上为增函数，‎ h(x)≥h(1)＝0，‎ 这与题设h(x)≤0矛盾.‎ 若m>0，方程－mx2＋x－m＝0的判别式Δ＝1－4m2.‎ ‎(i)当Δ≤0，即m≥时，h′(x)≤0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以h(x)≤h(1)＝0，即不等式成立；‎ ‎(ii)当00，h(x)单调递增，h(x)≥h(1)＝0，与题设矛盾.‎ 综上所述，m≥.‎ 即实数m的取值范围是.‎ ‎6.(2018·江苏泰州中学模拟)已知数列，，Sn为数列的前n项和，向量x＝(1，bn)，y＝(an－1，Sn)，x∥y.‎ ‎(1)若bn＝2，求数列的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝，a2＝0.‎ ‎①证明：数列为等差数列；‎ ‎②设数列满足cn＝，问是否存在正整数l，m(l