宁夏平罗县 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文 12页

宁夏平罗县 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文 第 I 卷（选择题） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．已知命题 : ,sin 1p x R x   ,则（ ） A． : ,sin 1p x R x    B． : ,sin 1p x R x    C． : ,sin 1p x R x    D． : ,sin 1p x R x    2．若命题“ p q ”为假，且“ p ”为假，则（ ） A．“ p 或 q ”为假 B． q 假 C． q 真 D． p 假 3．已知椭圆 2 2 116 8 x y  上的一点 M 到椭圆的一个焦点的距离等于 4，那么点 M 到椭圆的另一个焦 点的距离等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．椭圆 2 24 1x y  的离心率为（ ） A. 3 2 B. 3 4 C. 2 2 D. 2 3 5．抛物线 2y x 在点 )4 1,2 1(M 处的切线的倾斜角是 ( ) A.30 B.90 C. 60 D. 45 6．已知函数   3f x x 在点 P 处的导数值为3，则 P 点的坐标为（ ） A. 2, 8  B. 1, 1  C. 2, 8  或 2,8 D. 1, 1  或 (1,1) 7． 3k  是方程 2 2 13 3 x y k k    表示双曲线的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设 ' ( )f x 是函数 )(xf 的导函数， )(' xfy  的图象如图所示，则 ( )y f x 的图象最有可能的是 （ ） 9．焦点为  60 ， 且与双曲线 2 2 12 x y  有相同渐近线的双曲线方程是( ) A. 2 2 112 24 x y  B. 2 2 112 24 y x  C. 2 2 124 12 y x  D. 2 2 124 12 x y  10．若函数 3( ) 2f x x ax   在区间 ),1(  内是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A． (3, ) B． ),3(  C． ),3[  D． )3,(  11. 设 0 ( ) sinf x x ， 1 0( ) ( )f x f x ， 2 1( ) ( )f x f x ，…， 1( ) ( )n nf x f x  ， Nn ， 则 2017 ( )f x ＝（ ） A．sin x B． sin x C． cos x D． cos x 12．三次函数 3 23( ) 2 12f x ax x x    的图象在点 (1, (1))f 处的切线与 x 轴平行，则 )(xf 在区 间 )3,1( 上的最小值是（ ） A． 3 8 B． 6 11 C． 3 11 D． 3 5 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（每小题 5 分，共 2 0 分） 13．抛物线 24y x 的准线方程为___________． 14．某物体的运动方程为 32ts  ，则物体在第 3t 秒时的瞬时速度是 . 15．函数 3y x ax  在 1x 处有极值，则实数 a 为 . 16．曲线 3xy  在点  1,1 处的切线与 x 轴、直线 2x 所围成的三角形的面积为 . 三、解答题（共 70 分） 17．（10 分）已知函数 2( )f x x x  （1）求 ( )f x ；（2）求函数 2( )f x x x  在 2x  处的导数. 18. (12 分) 已知命题 p ： 2 8 20 0x x   ，命题 q ： ( 1 )( 1 ) 0( 0)x m x m m      ； 若 q 是 p 的充分而不必要条件，求实数 m 的取值范围. 19.（12 分）椭圆的中心在原点，一个焦点为  50,0F 且该椭圆被直线 3 2y x  截得的弦的中点的横坐标 为 2 1 ，求椭圆的标准方程. 20．（12 分）已知函数 ( ) xf x xe （ e 为自然对数的底）. （1）求函数 )(xf 的单调递增区间； （2）求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程. 21．（12 分）已知函数 3( )f x ax bx c   在 1x 处取得极值 4c . (1)求 ba, ； (2)设函数 )(xf 为 R 上的奇函数,求函数 )(xf 在区间 )0,2( 上的极值. 22．（12 分）已知函数 ( ) 2 ln 1f x x x  . （1）求函数 ( )f x 的最小值； （2）若不等式 2( ) 3 2f x x ax  恒成立，求实数 a 的取值范围． 参考答案 1．C 【解析】 试题分析：由命题的否定可知，命题 : , s i n 1p x R x   ，则“ : , s i n 1p x R x    ”，故 选 C． 考点：命题的否定． 2．B 【解析】 试题分析：“P∧q”为假，则 p,q 中至少有一个为假，“¬p”为假，则 p 为真，所以 q 为假 考点：复合命题真假的判定 3．B 【解析】 试题分析：由椭圆方程可知 2 1 6 4 2 8a a a     ，由椭圆定义可知点M到椭圆的另一个 焦点的距离等于 8-4=4 考点：椭圆定 义 4．A 【解析】 试题分析：由椭圆方程可知 2 2 21 3 3 31, 1,4 4 2 2 ca b c a c e a           考点：椭圆离心率 5．A 【解析】 试题分析：当 3k  时， 3 0k   ， + 3 0k  ，方程 2 2 13 3 x y k k    表示双曲线，当方程 2 2 13 3 x y k k    表示双曲线时， 3 ) ( 3 ) 0k   （ k ，解得 3k  或 3k   ，所以 3k  是方程 2 2 13 3 x y k k    表示双曲线的充分不必要条件，故选 A． 考点：1．充分条件、必要条件；2．双曲线的标准方程． 【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的定义及简单几何性质，及充分条件与必要条件，属 于难题．解决问题时首先考虑 3k  时，方程 2 2 13 3 x y k k    能否表示双曲线，做出是否是 充分条件的结论，然后分析方程 2 2 13 3 x y k k    表示双曲线时，分析 3k  ， + 3k 的符号， 只有 3 ) ( 3 ) 0k   （ k 才表示双曲线，此时得不到 3k  ． 6．B 【解析】 试题分析：由平均变化率的公式，可得从 0.1到 0.2 的平均变化率为 (0.2) (0.1) 0.90.2 0.1 f f  ， 故选 B. 考点：平均变化率. 7．D 【解析】 试题分析：由题意得，函数的导数为   23f x x  ，设 0 0( , ( ))P x f x ，则 2 0 0( ) 3 3f x x   ， 解得 0 1x   ，当 0 1x  时， 0( ) 1f x  ，当 0 1x   时， 0( ) 1f x   ，所以点 P 点的坐标 为 1, 1  或 1,1 ，故选 D. 考点：函数在某点处的导数. 8．C 【解析】 试题分析：由导函数图象可知，函数在   ,0 , 2,  上单调递增，在 0,2 单调递减，所 以选 C. 考点：函数导数与图象. 【思路点晴】求导运算、函数 的单调性、极值和最值是重点知识，其基础是求导运算，而 熟练记忆基本导数公式和函数的求导法则又是正确进行导数运算的基础，在 ( , )a b 内可导函 数 ( )f x ， '( )f x 在 ( , )a b 任意子区间内都不恒等于 0 . '( ) 0 ( )f x f x  在 ( , )a b 上为增函 数． '( ) 0 ( )f x f x  在 ( , )a b 上为减函数．导函数图象主要看在 x 轴的上下方的部分. 9．B． 【解析】 试题分析：已知抛物线 2y x ，对其进行求导，即 xy 2'  ，当 2 1x 时， 1' y ，即切线的 斜率为 1k ，从而问题解决． 考点：导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程． 10．B 【解析】 试题分析：双曲线 12 2 2  yx 的渐近线方程为 2 2 21 1 36 2 2 ay x a b cb        2 212, 24a b   ，所以双曲线方程为 12412 22  xy 考点：双曲线方程及性质 11．B 【解析】 试题分析：∵f（x）=x3+ax-2， ∴f′（x）=3x2+a， ∵函数 f（x）=x3+ax-2 在区间[1，+∞）内是增函数， ∴f′（1）=3+a≥0， ∴a≥-3． 故选 B．. 考点：利用导数研究函数的单调性．. 12．D 【解析】 试 题 分 析 ： 2( ) 3 3 2f x ax x    ， 所 以 1(1) 3 1 0 3k f a a      ， 所 以 2( ) 3 2 0 1 2f x x x x x       或 ，因此， )( xf 在区间 (1 , 2 ) 上单调减， )( xf 在区间 ( 2 , 3 ) 上单调增，所以最小值是 1 3 5(2) 8 4 2 2 1=3 2 3f        ，选 D. 考点：利用导数求函数最值 【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用 f′（x）＞0 或 f′（x） ＜0 求单调区间；第二步：解 f′（x）＝0 得两个根 x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的 大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 13． 1 16y   【解析】 试题分析： 24y x 变形为 2 1 1 124 4 2 16 px y p     ，所以准线方程为 1 16y   考点：抛物线性质 14．54 【解析】物体在t 时刻的瞬时速度 2( ) ' 6v t s t  ，则 2(3) 6 3 54v    15．1 【解析】 试题分析：因为 2 2 3 2 2( ) ( 2 ) 2f x x x cx c x cx c x      ，所以 2 2( ) 3 4f x x cx c    ，因 为 2( ) ( )f x x x c  在 1x  处 有 极 小 值 ， 所 以 2(1) 3 4 0 ( 3)( 1) 0 1f c c c c c           或 3c  若 1c  ， 2( ) 3 4 1 ( 1)(3 1)f x x x x x       ，当 1 13 x  时， ( ) 0f x  ，当 1x  时， ( ) 0f x  ， 所 以 1x  是 函 数 2( ) ( )f x x x c  的 极 小 值 点 ， 符 合 要 求 ； 若 3c  ， 2( ) 3 12 9 3( 1)( 3)f x x x x x       ，当 1x  时， ( ) 0f x  ，当1 3x  时， ( ) 0f x  ， 所以 1x  是函数 2( ) ( )f x x x c  的极大值点，不符合要求；综上可知 1c  . 考点：函数的极值与导数. 16．② 【解析】 试题分析：由 ( )f x 的图像可知， 当 ( 3 , 1 )x    时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减， 1 2x   时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增，所以 1x   是函数 ( )f x 的极小值点，故①错误，②正确； 从图中可以看到 ( ) 0f x  在 ( 3 , 4 ) 有一个零点，设为 0x ，当 02 x x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单 调递减，当 0 4x x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增， 1 2x   时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调 递增，所以， 2x  是函数 ( )f x 有极大值点，故③错误，④错误；综上可知，②正确. 考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的极值与导数. 17． 2 2 14 5 y x  ． 【解析】 试题分析：由已知椭圆的焦点为 (0 , 3) ，故双曲线的焦点在 y 轴，半焦距为 3 ，设出曲线的 方程，利用待定系数法，即可求解双曲线的方程. 试题解析：易知已知椭圆的焦点为 (0 , 3) ，故双曲线的焦点在 y 轴，半焦距为 3， 设双曲线方程为 2 2 2 2 2 1(0 9)9 y x aa a     ，代入 ( 15,4) ，得 2 2 16 15 19a a   ， 整理得 4 24 0 1 4 4 0a a   ，解得 2 4a  或 2 3 6a  （舍），故双曲线方程为 2 2 14 5 y x  . 考点：椭圆与双曲线的几何性质. 18．(1) 2 0  x y ;(2)详见解析. 【解析】 试题分析：(1)根据导数的几何意义，当 2a 时，   xxf 21  ,得出   11 f ，再代入点 斜式直线方程； （2） ( ) 1 , 0    a x af x xx x 讨论，当 0a 和 0a 两种情况下的极值情况. 试题解析：解:函数 ( )f x 的定义域为 ( 0 , )  , ( ) 1   af x x . （1）当 2a 时, ( ) 2 l n f x x x , 2( ) 1 ( 0)   f x xx , ( 1 ) 1 , ( 1 ) 1   f f , ( ) y f x 在点 (1, (1 ) )A f 处的切线方程 为 1 ( 1 )   y x , 即 2 0  x y . （2）由 ( ) 1 , 0    a x af x xx x 可知: ①当 0a 时, ( ) 0 f x ,函数 ( )f x 为 ( 0 , )  上的增函数,函数 ( )f x 无极值; ②当 0a 时,由 ( ) 0 f x ,解得 x a ; ( 0 , ) x a 时, ( ) 0 f x , ( , )  x a 时, ( ) 0 f x ( ) f x 在 x a 处取得极小值,且极小值为 ( ) l n f a a a a ,无极大值. 综上:当 0a 时,函数 ( )f x 无极值 当 0a 时,函数 ( )f x 在 x a 处取得极小值 lna a a ,无极大值. 考点：1.导数的几何意义；2.利用导数求极值. 19．（1） 3 2( ) 2g x x x x    （2） 2 1y x y   或 （3） 2a   【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，利用导数求解切线方程，以及导数 解决不等式的恒成立问题和最值问题的运用 。 （ 1 ） 因 为 函 数 3 2( )= ln ( ) 2，f x x x g x x ax x    如 果 函 数 ( )g x 单 调 减 区 调 为 1( ,1)3  ，利用解集是不等式成立的充要条件得到解析式。 （2）设切点为 0 0( )x y， ，则切线方程为    2 0 0 0 03 2 1y y x x x x     ，然后将过点点代 入得到。 （3）因为 0 (0, )x   ，使关于 x 的不等式 2 ( ) ( ) 2f x g x  成立 即 22 2 ln 3 1 0ax x x x x    有解 12 2 ln 3a x x x    最大值 分离参数求解最值可得到。 解：（1） 2( ) 3 2 1 0g x x ax     解为 1 13 x   1 21 13 3 a a        3 2( ) 2g x x x x    ………………4 分 （2）设切点为 0 0( )x y， ，则切线方程为    2 0 0 0 03 2 1y y x x x x     （1，1）代入得      3 2 2 0 0 0 0 0 01 2 3 2 1x x x x x x x         2 0 0 0 01 =0 =0 =1x x x x 或 切线方程为 2 1y x y   或 ……………9 分 （3） 22 l n 3 2 1 2x x x a x    22 2 ln 3 1 0ax x x x x    有解 12 2 ln 3a x x x    最大值 令 1( ) 2 ln 3h x x x x    ，则     2 2 1 3 12 1( ) 3 x xh x x x x        0 1x  时 ( ) 0 ( )h x h x  单增， 1x  时 ( ) 0 ( )h x h x  单减 1x  时， ( ) m a x 4h x   2 4 2a a     ……………………………………14 分 20．（1）最小值为 1 2 1f e e        ；切线方程为 2 3 0x y   ；（2） 2,  ． 【解析】 试题分析：（1）首先求得函数的定义与导函数，然后根据导函数与 0 的关系得到函数 ( )f x 的 单调性，由此求得函数 ( )f x 的最小值，再根据导数的几何意义求得切线方程的斜率，从而 求得切线的方程；（2）首先将问题转化为 3 1ln 2 2a x x x    在  0, 上恒成立，然后设   3 1ln 2 2h x x x x    ，从而通过求导研究函数 ( )h x 的单调性，并求得其最大值，进而求 得 a 的取值范围． 试题解析：（1）函数   2 ln 1f x x x  的定义域为 0, ，    12 ln 2 ln 1f x x x xx         ， 令   0f x  ，得 1x e  ；令   0f x  ，得 1x e  ；令   0f x  ，得 10 x e   ； 故函数  f x 在 10, e      上单调递减，在 1 ,e      上单调递增， 故函数  f x 的最小值为 1 2 1f e e        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分  1 2f   ，即切线的斜率为 2， 故所求切线方程为    1 2 1y f x   ，即    1 2 1y x    ， 化简得 2 3 0x y   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （2）不等式   23 2f x x ax  恒成立等价于 22 ln 1 3 2x x x a x   在 0, 上恒成立，可得 3 1ln 2 2a x x x    在 0, 上恒成立， 设   3 1ln 2 2h x x x x    ，则       2 2 1 3 11 3 1 2 2 2 x xh x x x x        ， 令   0h x  ，得 1x  ，或 1 2x   （舍去） 当 0 1x  时，   0h x  ；当 1x  时，   0h x  ， 当 x 变化时    ,h x h x 变化情况如下表： x  0,1 1  1,  h x  0   h x 单调递增 -2 单调递减 所以当 1x  时，  h x 取得最大值，  max 2h x   ，所以 2a   ， 所以实数 a 的取值范围是 2,  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性及最值；3、不等式恒成立问题． 【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函 数的单调性，求出最值，进而得出 相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分 离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 21．（1）递增区间为 )0,(  ，递减区间为 ),0(  ；（2） ]4 9,( . 【解析】 试题分析：（1）求出函数  f x 的导函数，通过讨论 a 的符号，分别解不等式即可求得函数 )( xf 的单调区间；（2） ]3,1[ x ， 0633 223  xaxxax 有解，可分离参数转化为 2 3 2 3 6 3 x xa x x   在 ]3,1[x 有解，求出右边函数的最大值即可得到实数 a 的取值范围. 试题解析：（1） xaxxf 63)( 2  ， 0a 时， xxf 6)(  ， 0)(  xf ，得 0x ， 0)(  xf ，得 0x ； 0a 时， 0)(  xf ，得 ax 2 或 0x ， 0)(  xf ，得 ax 20  ； 0a 时， 0)(  xf ，得 02  xa ， 0)(  xf ，得 ax 2 或 0x ； 综上所述： 0a 时， )( xf 的单调递增区间为 )0,(  ，单调递减区间为 ),0(  . 0a 时， )( xf 的单调递增区间为 )0,(  ， ),2(  a ，单调递减区间为 )2,0( a . 0a 时， )( xf 的单调递增区间为 )0,2(a ，单调递减区间为 )2,( a  ， ),0(  . （2）依题意， ]3,1[ x ， 0633 223  xaxxax 等价于不等式 xx x xx xxa 3 63 3 63 223 2    在 ]3,1[x 有解. 令 ])3,1[(3 63)( 2   xxx xxh ，则 0)3( ]2)2[(3 )3( )64(3)( 22 2 22 2    xx x xx xxxh ， 所以 )( xh 在区间 ]3,1[ 上是减函数，所以 )( xh 的最大值为 4 9)1( h ， 所以 4 9a ，即实数 a 的取值范围为 ]4 9,( . 考点：利用导数研究函数的单调性及不等式在给定区间上的有解问题． 【方法点晴】本题主要考查 了利用导数研究函数的单调性及不等式在给定区间上的有解问 题，考查了分类讨论，转化的数学思想，属于中档题.研究函数的单调性就是解不等式   0f x  （   0f x  ），通过讨论 a 的符号，比较出   0f x  根的大小，即可求得单调区间； （2）研究不等式在某区间上有解问题，直接研究相对复杂，应该优先考虑分离参数，把问 题转化为研究函数在某区间上的单调性和最值来求解. 22．（1） 3 1 0x y   ；（2） 5 3m   ． 【解析】 试题分析：（1）由 2( )f x x x   '( ) 2 1f x x  ， (1 ) 2f   '(1 ) 3f  3 1 0x y   ；（2） 化 简 3 21( ) 33h x x x m x    ， 原 命 题 等 价 于 max( ) 0h x  ， 再 利 用 导 数 工 具 可 max 5( ) 03h x m    5 3m   ． 试题解析：（1）∵ 2( )f x x x  ，∴ '( ) 2 1f x x  ， (1 ) 2f  ，∴ '(1 ) 3f  ， ∴所求切线方程为 2 3 ( 1 )y x   ，即 3 1 0x y   ． （2）令 3 2 3 21 1( ) ( ) ( ) 2 33 3h x g x f x x x m x x x x m x           ， ∴ 2'( ) 2 3h x x x   ， 当 4 1x    时， '( ) 0h x  ；当 1 3x   时， '( ) 0h x  ； 当 3 4x  时， '( ) 0h x  ，要使 ( ) ( )f x g x 恒成立，即 max( ) 0h x  ， 由上知 ( )h x 的最大值在 1x   或 4x  取得，而 5( 1) 3h m   ， 20(4) 3h m  ， ∵ 5 20 3 3m m   ，∴ 5 03m   ，即 5 3m   ． 考点：1、导数的几何意义；2、直线方程；3、函数与不等式. 【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数 形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较 强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等 式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究 新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.