- 472.06 KB
- 2021-06-24 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
新课标高二数学同步测试(4)—(2-1 第三章 3.1)
说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷 74 分,第二卷 76 分,共 150 分;答题时间 120 分钟.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的
括号内(每小题 5 分,共 50 分).
BA1 = a ,1.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若
11DA = b , AA1 = c .则下列向量中与 MB1 相等的向量是 ( )
A. cba 2
1
2
1 B. cba 2
1
2
1
C. cba 2
1
2
1 D. cba 2
1
2
1
2.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是 ( )
A. OCOBOAOM 2 B. OCOBOAOM 2
1
3
1
5
1
C. MCMBMA 0 D. OCOBOAOM 0
3.已知平行六面体 ' ' ' 'ABCD A BC D 中,AB=4,AD=3, ' 5AA , 090BAD, ' ' 060BAA DAA ,
则 'AC 等于 ( )
A.85 B. 85 C.52 D.50
4.与向量 (1, 3,2)a 平行的一个向量的坐标是 ( )
A.(
3
1 ,1,1) B.(-1,-3,2)
C.( -
2
1 ,
2
3 ,-1) D.( 2 ,-3,-2 2 )
5.已知 A(-1,-2,6), B(1,2,-6)O 为坐标原点,则向量 ,OA OB与 的夹角是( )
A.0 B.
2
C. D. 3
2
6.已知空间四边形 ABCD 中, cOC,bOB,aOA ,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 中点,
则 MN = ( )
A. cba 2
1
3
2
2
1 B. cba 2
1
2
1
3
2
C. cba 2
1
2
1
2
1 D. cba 2
1
3
2
3
2
7.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足 000 ADAB,ADAC,ACAB ,则BCD 是
( )
图
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定
8.空间四边形 OABC 中,OB=OC,AOB=AOC=600,则 cos BC,OA = ( )
A.
2
1 B.
2
2 C.
2
1 D.0
9.已知 A(1,1,1)、 B(2,2,2)、 C(3,2,4),则 ABC 的面积为 ( )
A. 3 B. 32 C. 6 D.
2
6
10. 已知 ),,2(),,1,1( ttbttta ,则 || ba 的最小值为 ( )
A.
5
5 B.
5
55 C.
5
53 D.
5
11
二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分).
11.若 )1,3,2( a , )3,1,2(b ,则 ba, 为邻边的平行四边形的面积为 .
12.已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC,M、N 分别是对边 OA、BC 的中点,点 G 在线段 MN
上,且 GNMG 2 ,现用基组 OCOBOA ,, 表示向量OG,有 OG =x OCzOByOA ,则 x、y、
z 的值分别为 .
13.已知点 A(1,2,11)、B(4,2,3),C(6,1,4),则ABC 的形状是 .
14.已知向量 )0,3,2( a , )3,0,(kb ,若 成 1200 的角,则 k= .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76 分).
15.( 12 分)如图,已知正方体 ' ' ' 'ABCD A B C D 的棱长 为 a,M 为
'BD 的中点,点 N 在 'AC '上,且| ' | 3| '|A N NC ,试 求 MN 的长.
16.( 12 分)如图在空间直角坐标系中 BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 A
的坐标是(
2
1,2
3 ,0),点 D 在平面 yOz 上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.
(1)求向量OD 的坐标;
(2)设向量 AD 和 BC 的夹角为θ ,求 cosθ 的值
17.( 12 分)若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四面体的对棱两两垂直.
O' N
M
D' C'
B'A'
C
B
A
D
z
y
x
图
18.( 12 分)四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一个平行四边形, AB ={2,-1,-4}, AD ={4,2,
0}, AP ={-1,2,-1}.
(1)求证:PA⊥底面 ABCD;
(2)求四棱锥 P—ABCD 的体积;
(3)对于向量 a ={x1,y1,z1},b ={x2,y2,z2},c ={x3,y3,z3},定义一种运算:
( a ×b )· =x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算( × AD )· 的绝对值的值;说
明其与四棱锥 P—ABCD 体积的关系,并由此猜想向量这一运算( × )· 的绝对值的几何意义..
19.( 14 分)如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别是
A1B1、A1A 的中点.
(1)求 BN 的长;
(2)求 cos< 11,CBBA >的值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
20.( 14 分)如图,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.
(1)证明:C1C⊥BD;
(2)假定 CD=2,CC1=
2
3 ,记面 C1BD 为α ,面 CBD 为β ,求二面角α —BD—β 的平面角的余弦值;
(3)当
1CC
CD 的值为多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?请给出证明.
参考答案
一、1.A;解析: )(2
1
111 BCBAAABMBBMB =c +
2
1 (- ba )=- a + b + c .评
述:用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与
向量的加法.考查学生的空间想象能力.
2.A;解析:空间的四点 P、A、B、C 共面只需满足 ,OCzOByOAxOP 且 1 zyx 既可.只
有选项 A.
3.B;解析:只需将 AAADABCA ,运用向量的内即运算即可,
2
|| CACA .
4 . C ; 解 析 : 向 量 的 共 线 和 平 行 使 一 样 的 , 可 利 用 空 间 向 量 共 线 定 理 写 成 数 乘 的 形 式 . 即
babab //,0 .
5.C;解析:
||||
cos
ba
ba
,计算结果为-1.
6.B;解析:显然 OAOCOBOMONMN 3
2)(2
1 .
7.B;解析:过点 A 的棱两两垂直,通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形.
8.D;解析:建立一组基向量 OCOBOA ,, ,再来处理 BCOA 的值.
9 . D ; 解 析 : 应 用 向 量 的 运 算 , 显 然 ACAB
ACAB
ACABACAB ,sin
||||
,cos , 从 而 得
ACABACABS ,sin||||2
1 .
10.C;
二、
11. 56 ;解析:
7
2
||||
,cos
ba
baba ,得
7
53,sin ba ,可得结果.
12. OCOBOA 3
1
3
1
6
1 ;
解析:
OCOBOA
OAOCOBOA
OMONOAMNOAMGOMOG
3
1
3
1
6
1
]2
1)(2
1[3
2
2
1
)(3
2
2
1
3
2
2
1
13.直角三角形;解析:利用两点间距离公式得: 222 |||||| ACBCAB .
14. 39 ;解析:
2
1
913
2
||||
,cos
2
k
k
ba
baba ,得 39k .
三、
15.解:以 D 为原点,建立如图空间直角坐标系.因为正方体棱长为 a,所以 B(a,a,0), A'(a,0,a),
'C (0,a,a), 'D (0,0,a).
由于 M 为 'BD 的中点,取 ''AC 中点 O',所以 M(
2
a , , ), O'( , ,a).因为| ' | 3| '|A N NC ,
所以 N 为 的四等分,从而 N 为 ''OC 的中点,故 N(
4
a ,
3
4 a ,a).
根据空间两点距离公式,可得
2 2 236| | ( ) ( ) ( )2 4 2 4 2 4
a a a a aMN a a .
16.解:(1)过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,在 Rt△BDC 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得 BD=1,
CD= 3 ,∴DE=CD·sin30°=
2
3 .
OE=OB-BE=OB-BD·cos60°=1-
2
1
2
1 .
∴D 点坐标为(0,-
2
3,2
1 ),即向量 OD[TX→]的坐标为{0,- }.
(2)依题意: }0,1,0{},0,1,0{},0,2
1,2
3{ OCOBOA ,
所以 }0,2,0{},2
3,1,2
3{ OBOCBCOAODAD .
设向量 AD 和 BC 的夹角为θ ,则
cosθ =
222222 020)2
3()1()2
3(
02
32)1(02
3
||||
BCAD
BCAD 105
1 .
17. 证:如图设 321 ,, rSCrSBrSA ,则 SNSMSHSGSFSE ,,,,, 分别为 12
1 r , )(2
1
32 rr ,
)(2
1
21 rr , 32
1 r , )(2
1
31 rr , 22
1 r , 由 条 件 EH=GH=MN
得:
223123212132 )2()2()2( rrrrrrrrr
展开得 313221 rrrrrr
∴ 0)( 231 rrr ,∵ 1r ≠ 0 , 23 rr ≠ 0 ,
∴ 1r ⊥( )即 SA⊥BC.
同理可证 SB⊥AC,SC⊥AB.
18. (1)证明:∵ ABAP =-2-2+4=0,∴AP⊥AB.
又∵ ADAP =-4+4+0=0,∴AP⊥AD.
∵AB、AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线,∴AP⊥底面 ABCD.
(2)解:设 AB 与 AD 的夹角为θ ,则
cosθ =
105
3
4161614
28
||||
ADAB
ADAB
V=
3
1 | AB |·| AD |·sinθ ·| AP |= 16141105
911053
2
(3)解:|( × )· |=|-4-32-4-8|=48 它是四棱锥 P—ABCD 体积的 3 倍.
猜测:|( × )· |在几何上可表示以 AB、AD、AP 为棱的平行六面体的体积(或以 AB、
AD、AP 为棱的直四棱柱的体积).
评述:本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹
角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力,综合运用所学知识
解决问题的能力及空间想象能力.
19.如图,建立空间直角坐标系 O—xyz.
(1)依题意得 B(0,1,0)、 N(1,0,1)
∴| BN |= 3)01()10()01( 222 .
(2)依题意得 A1(1,0,2)、 B(0,1,0)、 C(0,0,0)、 B1(0,1,2)
∴ 1BA ={-1,-1,2}, 1CB ={0,1,2,}, · =3, | |= 6 ,
| |= 5
∴cos< , >= 3010
1
|||| 11
11
CBBA
CBBA .
(3)证明:依题意,得 C1(0,0,2)、 M(
2
1,2
1 ,2), BA 1 ={-1,1,2}, MC1 ={ ,0}.∴ · =
-
2
1
2
1 +0=0,∴ ⊥ ,∴A1B⊥C1M.
评述:本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.
20.( 1)证明:设CB= a ,CD =b , 1CC =c ,则| a |=|b |,∵ CBCDBD = - ,
∴ BD · =( - )· c = · - · =| |·| |cos60°-| |·| |cos60°=0,
∴C1C⊥BD.
(2)解:连 AC、BD,设 AC∩BD=O,连 OC1,则∠C1OC 为二面角α —BD—β 的平面角.
∵
2
1)(2
1 CDBCCO ( + ),
2
1
11 CCCOOC ( + )-
∴CO ·
2
1
1 OC ( + )·[
2
1 ( + )- ]
=
4
1 ( 2+2 · + 2)- · - ·
= (4+2·2·2cos60°+4)- ·2·
2
3 cos60°- ·2· cos60°= .
则| |= 3 ,| OC1 |= ,∴cosC1OC=
3
3
|||| 1
1
OCCO
OCCO
(3)解:设
1CC
CD =x,CD=2, 则 CC1=
x
2 .
图
∵BD⊥平面 AA1C1C,∴BD⊥A1C
∴只须求满足: DCCA 11 =0 即可.
设 AA1 = a , AD =b , DC = c ,
∵ CA1 = + + , DC1 = - ,
∴ =( + + )( - )= 2+ · - · - 2=
xx
24
2 -6,
令 6- 2
42
xx =0,得 x=1 或 x=-
3
2 (舍去).
评述:本题蕴涵着转化思想,即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的
探求等问题.
相关文档
- 高考数学复习练习试题6_2等差数列2021-06-232页
- 高考数学复习练习试题7_1不等关系2021-06-235页
- 高考数学复习练习第1部分 专题五 2021-06-235页
- 高考数学复习练习第1部分 专题二 2021-06-226页
- 高考数学复习练习第2部分 专题一 2021-06-215页
- 高考数学复习练习第1部分 专题三 2021-06-214页
- 高考数学复习练习第3部分 专题一 2021-06-2014页
- 高考数学复习练习试题2_1函数与基2021-06-203页
- 高考数学复习练习第3部分 专题一 2021-06-1928页
- 高考数学复习练习试题4_6正弦定理2021-06-193页