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  • 2021-06-24 发布

新课标高二数学同步测试(4)

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新课标高二数学同步测试(4)—(2-1 第三章 3.1) 说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷 74 分,第二卷 76 分,共 150 分;答题时间 120 分钟. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的 括号内(每小题 5 分,共 50 分). BA1 = a ,1.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 11DA = b , AA1 = c .则下列向量中与 MB1 相等的向量是 ( ) A. cba  2 1 2 1 B. cba  2 1 2 1 C. cba  2 1 2 1 D. cba  2 1 2 1 2.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是 ( ) A. OCOBOAOM  2 B. OCOBOAOM 2 1 3 1 5 1  C.  MCMBMA 0 D.  OCOBOAOM 0 3.已知平行六面体 ' ' ' 'ABCD A BC D 中,AB=4,AD=3, ' 5AA  , 090BAD, ' ' 060BAA DAA    , 则 'AC 等于 ( ) A.85 B. 85 C.52 D.50 4.与向量 (1, 3,2)a  平行的一个向量的坐标是 ( ) A.( 3 1 ,1,1) B.(-1,-3,2) C.( - 2 1 , 2 3 ,-1) D.( 2 ,-3,-2 2 ) 5.已知 A(-1,-2,6), B(1,2,-6)O 为坐标原点,则向量 ,OA OB与 的夹角是( ) A.0 B. 2  C. D. 3 2  6.已知空间四边形 ABCD 中, cOC,bOB,aOA  ,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 中点, 则 MN = ( ) A. cba 2 1 3 2 2 1  B. cba 2 1 2 1 3 2  C. cba 2 1 2 1 2 1  D. cba 2 1 3 2 3 2  7.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足 000  ADAB,ADAC,ACAB ,则BCD 是 ( ) 图 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 8.空间四边形 OABC 中,OB=OC,AOB=AOC=600,则 cos BC,OA = ( ) A. 2 1 B. 2 2 C. 2 1 D.0 9.已知 A(1,1,1)、 B(2,2,2)、 C(3,2,4),则  ABC 的面积为 ( ) A. 3 B. 32 C. 6 D. 2 6 10. 已知 ),,2(),,1,1( ttbttta  ,则 || ba  的最小值为 ( ) A. 5 5 B. 5 55 C. 5 53 D. 5 11 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分). 11.若 )1,3,2( a , )3,1,2(b ,则 ba, 为邻边的平行四边形的面积为 . 12.已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC,M、N 分别是对边 OA、BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且 GNMG 2 ,现用基组 OCOBOA ,, 表示向量OG,有 OG =x OCzOByOA  ,则 x、y、 z 的值分别为 . 13.已知点 A(1,2,11)、B(4,2,3),C(6,1,4),则ABC 的形状是 . 14.已知向量 )0,3,2( a , )3,0,(kb  ,若 成 1200 的角,则 k= . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76 分). 15.( 12 分)如图,已知正方体 ' ' ' 'ABCD A B C D 的棱长 为 a,M 为 'BD 的中点,点 N 在 'AC '上,且| ' | 3| '|A N NC ,试 求 MN 的长. 16.( 12 分)如图在空间直角坐标系中 BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标是( 2 1,2 3 ,0),点 D 在平面 yOz 上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°. (1)求向量OD 的坐标; (2)设向量 AD 和 BC 的夹角为θ ,求 cosθ 的值 17.( 12 分)若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四面体的对棱两两垂直. O' N M D' C' B'A' C B A D z y x 图 18.( 12 分)四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一个平行四边形, AB ={2,-1,-4}, AD ={4,2, 0}, AP ={-1,2,-1}. (1)求证:PA⊥底面 ABCD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积; (3)对于向量 a ={x1,y1,z1},b ={x2,y2,z2},c ={x3,y3,z3},定义一种运算: ( a ×b )· =x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算( × AD )· 的绝对值的值;说 明其与四棱锥 P—ABCD 体积的关系,并由此猜想向量这一运算( × )· 的绝对值的几何意义.. 19.( 14 分)如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点. (1)求 BN 的长; (2)求 cos< 11,CBBA >的值; (3)求证:A1B⊥C1M. 20.( 14 分)如图,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°. (1)证明:C1C⊥BD; (2)假定 CD=2,CC1= 2 3 ,记面 C1BD 为α ,面 CBD 为β ,求二面角α —BD—β 的平面角的余弦值; (3)当 1CC CD 的值为多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?请给出证明. 参考答案 一、1.A;解析: )(2 1 111 BCBAAABMBBMB  =c + 2 1 (- ba  )=- a + b + c .评 述:用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与 向量的加法.考查学生的空间想象能力. 2.A;解析:空间的四点 P、A、B、C 共面只需满足 ,OCzOByOAxOP  且 1 zyx 既可.只 有选项 A. 3.B;解析:只需将 AAADABCA  ,运用向量的内即运算即可, 2 || CACA  . 4 . C ; 解 析 : 向 量 的 共 线 和 平 行 使 一 样 的 , 可 利 用 空 间 向 量 共 线 定 理 写 成 数 乘 的 形 式 . 即 babab  //,0 . 5.C;解析: |||| cos ba ba   ,计算结果为-1. 6.B;解析:显然 OAOCOBOMONMN 3 2)(2 1  . 7.B;解析:过点 A 的棱两两垂直,通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形. 8.D;解析:建立一组基向量 OCOBOA ,, ,再来处理 BCOA 的值. 9 . D ; 解 析 : 应 用 向 量 的 运 算 , 显 然  ACAB ACAB ACABACAB ,sin |||| ,cos , 从 而 得  ACABACABS ,sin||||2 1 . 10.C; 二、 11. 56 ;解析: 7 2 |||| ,cos  ba baba ,得 7 53,sin  ba ,可得结果. 12. OCOBOA 3 1 3 1 6 1  ; 解析: OCOBOA OAOCOBOA OMONOAMNOAMGOMOG 3 1 3 1 6 1 ]2 1)(2 1[3 2 2 1 )(3 2 2 1 3 2 2 1    13.直角三角形;解析:利用两点间距离公式得: 222 |||||| ACBCAB  . 14. 39 ;解析: 2 1 913 2 |||| ,cos 2      k k ba baba ,得 39k . 三、 15.解:以 D 为原点,建立如图空间直角坐标系.因为正方体棱长为 a,所以 B(a,a,0), A'(a,0,a), 'C (0,a,a), 'D (0,0,a). 由于 M 为 'BD 的中点,取 ''AC 中点 O',所以 M( 2 a , , ), O'( , ,a).因为| ' | 3| '|A N NC , 所以 N 为 的四等分,从而 N 为 ''OC 的中点,故 N( 4 a , 3 4 a ,a). 根据空间两点距离公式,可得 2 2 236| | ( ) ( ) ( )2 4 2 4 2 4 a a a a aMN a a       . 16.解:(1)过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,在 Rt△BDC 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得 BD=1, CD= 3 ,∴DE=CD·sin30°= 2 3 . OE=OB-BE=OB-BD·cos60°=1- 2 1 2 1  . ∴D 点坐标为(0,- 2 3,2 1 ),即向量 OD[TX→]的坐标为{0,- }. (2)依题意: }0,1,0{},0,1,0{},0,2 1,2 3{  OCOBOA , 所以 }0,2,0{},2 3,1,2 3{  OBOCBCOAODAD . 设向量 AD 和 BC 的夹角为θ ,则 cosθ = 222222 020)2 3()1()2 3( 02 32)1(02 3 ||||      BCAD BCAD 105 1 . 17. 证:如图设 321 ,, rSCrSBrSA  ,则 SNSMSHSGSFSE ,,,,, 分别为 12 1 r , )(2 1 32 rr  , )(2 1 21 rr  , 32 1 r , )(2 1 31 rr  , 22 1 r , 由 条 件 EH=GH=MN 得: 223123212132 )2()2()2( rrrrrrrrr  展开得 313221 rrrrrr  ∴ 0)( 231  rrr ,∵ 1r ≠ 0 , 23 rr  ≠ 0 , ∴ 1r ⊥( )即 SA⊥BC. 同理可证 SB⊥AC,SC⊥AB. 18. (1)证明:∵ ABAP  =-2-2+4=0,∴AP⊥AB. 又∵ ADAP  =-4+4+0=0,∴AP⊥AD. ∵AB、AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线,∴AP⊥底面 ABCD. (2)解:设 AB 与 AD 的夹角为θ ,则 cosθ = 105 3 4161614 28 ||||      ADAB ADAB V= 3 1 | AB |·| AD |·sinθ ·| AP |= 16141105 911053 2  (3)解:|( × )· |=|-4-32-4-8|=48 它是四棱锥 P—ABCD 体积的 3 倍. 猜测:|( × )· |在几何上可表示以 AB、AD、AP 为棱的平行六面体的体积(或以 AB、 AD、AP 为棱的直四棱柱的体积). 评述:本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹 角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力,综合运用所学知识 解决问题的能力及空间想象能力. 19.如图,建立空间直角坐标系 O—xyz. (1)依题意得 B(0,1,0)、 N(1,0,1) ∴| BN |= 3)01()10()01( 222  . (2)依题意得 A1(1,0,2)、 B(0,1,0)、 C(0,0,0)、 B1(0,1,2) ∴ 1BA ={-1,-1,2}, 1CB ={0,1,2,}, · =3, | |= 6 , | |= 5 ∴cos< , >= 3010 1 |||| 11 11    CBBA CBBA . (3)证明:依题意,得 C1(0,0,2)、 M( 2 1,2 1 ,2), BA 1 ={-1,1,2}, MC1 ={ ,0}.∴ · = - 2 1 2 1  +0=0,∴ ⊥ ,∴A1B⊥C1M. 评述:本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20.( 1)证明:设CB= a ,CD =b , 1CC =c ,则| a |=|b |,∵ CBCDBD  = - , ∴ BD · =( - )· c = · - · =| |·| |cos60°-| |·| |cos60°=0, ∴C1C⊥BD. (2)解:连 AC、BD,设 AC∩BD=O,连 OC1,则∠C1OC 为二面角α —BD—β 的平面角. ∵ 2 1)(2 1  CDBCCO ( + ), 2 1 11  CCCOOC ( + )- ∴CO · 2 1 1 OC ( + )·[ 2 1 ( + )- ] = 4 1 ( 2+2 · + 2)- · - · = (4+2·2·2cos60°+4)- ·2· 2 3 cos60°- ·2· cos60°= . 则| |= 3 ,| OC1 |= ,∴cosC1OC= 3 3 |||| 1 1    OCCO OCCO (3)解:设 1CC CD =x,CD=2, 则 CC1= x 2 . 图 ∵BD⊥平面 AA1C1C,∴BD⊥A1C ∴只须求满足: DCCA 11  =0 即可. 设 AA1 = a , AD =b , DC = c , ∵ CA1 = + + , DC1 = - , ∴ =( + + )( - )= 2+ · - · - 2= xx 24 2  -6, 令 6- 2 42 xx  =0,得 x=1 或 x=- 3 2 (舍去). 评述:本题蕴涵着转化思想,即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的 探求等问题.