高中数学必修1教案：第一章(第17课时)四种命题（二） 6页

课 题：1.7 四种命题（2）‎ 教学目的：‎ ‎1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假 ‎2．理解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；并能用反证法证明一些命题；‎ ‎3．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想 教学重点：理解四种命题的关系 ‎ 教学难点：逆否命题的等价性 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：‎ 学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．‎ 这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．‎ ‎（初中数学中有关反证法的内容，要求比较低，并且基本没有涉及代数命题到高中数学学习的需要，结合四种命题及其关系进行讲授 学习反证法，一是要注意加强对有关代数命题的训练，二是教学要求要适当，对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高教科书中反证法涉及代数命题的例、习题，是属于初中范围的，比较简单．因此，这些题目都可以用直接的方法进行证明，不一定用反证法，选取这些题，主要是为了让学生熟悉反证法）‎ 反证法在初中教科书中指出：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ 四种命题及其形式 原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；‎ 否命题：若¾p则¾q； 逆否命题：若¾q则¾p.‎ 二、讲解新课：‎ ‎1．四种命题的相互关系 互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示：‎ ‎2．四种命题的真假关系 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：‎ ‎①、原命题为真，它的逆命题不一定为真 ‎②、原命题为真，它的否命题不一定为真 ‎③、原命题为真，它的逆否命题一定为真 ‎3．反证法：‎ 要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法 ‎4．反证法的步骤：‎ ‎(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立 ‎(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾 ‎(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 注意：可能出现矛盾四种情况：‎ ‎①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论 三、范例 例1．判断以下四种命题的真假 原命题：若四边形ABCD为平行四边形，则对角线互相平分 真 逆命题：若四边形ABCD对角线互相平分，则它为平行四边形； 真 否命题：若四边形ABCD不是为平行四边形，则对角线不平分； 真 逆否命题：若四边形ABCD对角线不平分，则它不是平行四边形； 真 归纳小结：（学生回答，教师整理补充）‎ ‎(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真；‎ ‎(2)原命题为真，它的否命题不一定为真；‎ ‎(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真 结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等），这时称互为逆否的两个命题等价，即原命题逆否命题 例2．（课本第32页例2）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.‎ 分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.‎ 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；‎ 否命题：当c>0时，若ab，则acbc.它是真命题；‎ 逆否命题：当c>0时，若acbc，则ab.它是真命题.‎ 练习：课本第32页 练习：1，2.‎ 答案：1.(1)正确；(2)正确.‎ ‎2.(1)逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.逆命题为真；‎ 否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.否命题为真；‎ 逆否命题：两个不全等的三角形的三边不对应相等.逆否命题为真.‎ ‎(2) 逆命题：若a+c>b+c,则a>b.逆命题为真.‎ 否命题：若ab,则a+cb+c.否命题为真.‎ 逆否命题：若a+cb+c，则ab.逆否命题为真.‎ 例3．（课本第32页例3）用反证法证明：如果a>b>0，那么.‎ 证明：假设不大于，则或者<,或者=.‎ ‎∵a>0，b>0，‎ ‎∴<<，<‎ ‎，ab>0矛盾，∴.‎ 证法二（直接证法），‎ ‎∵a>b>0,∴a - b>0即,∴‎ ‎∴‎ 例4（课本第33页例4）用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.‎ 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.‎ 求证：弦AB、CD不被P平分.‎ 分析：假设弦AB、CD被P平分，连结OP后，可推出AB、CD都与OP垂直，则出现矛盾.‎ 证明：假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，‎ 有OP⊥AB，OP⊥CD，即过点P有两条直线与OP都垂直，‎ 这与垂线性质矛盾. ‎ ‎∴弦AB、CD不被P平分.‎ 四、小结：四种命题之间的相互关系和真假关系 ‎ 反证法的基本原理及其四个步骤 五、练习：课本第33页 练习：1，2.‎ 提示：1.设b2-4ac0，则方程没有实数根，或方程有两个相等的实数根，得出矛盾.‎ ‎2.设B900，则C+B1800，得出矛盾.‎ 补充题：‎ ‎1．命题“若 x = y 则 |x| = |y|”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假 解：逆命题：若 |x| = |y| 则 x = y （假，如 x = 1, y = -1）‎ ‎ 否命题：若 x ¹ y 则 |x| ¹|y| （假，如 x = 1, y = -1）‎ ‎ 逆否命题：若 |x| ¹|y| 则 x ¹ y （真）‎ ‎2．写出命题：“若 xy = 6则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假 解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5 （真）‎ ‎ 否命题：若 x + y ¹ 5 则 x ¹ 3且y¹2 （真）‎ ‎ 逆否命题：若 x ¹ 3 或y¹2 则 x + y ¹5 （假）‎ 六、作业：课本第33-34页 习题1．7中3，4 ， 5. ‎ 补充题：‎ ‎1．若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.‎ 证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，‎ 故可令a=2m+1(m为整数),‎ 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,‎ 此结果表明a2是奇数，‎ 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,‎ ‎∴a能被2整除.‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ 小故事：‎ 三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来.但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了.那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？‎ 答案：为了方便，用甲、乙、丙分别代表三个科学家，并不妨设甲已发觉自己的脸给涂黑了.那么甲这样想：“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑，如果我的脸没被涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪.因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了.然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我.由此可知，我的脸也给涂黑了.‎ 这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了.简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面—‎ 没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了.因此这是一种间接的证明方法.显然这种证明方法也是不可缺少的.‎ 像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫做“反证法“.‎