高中数学必修1教案：第五章（第9课时）平面向量的数量积及运算律（1） 6页

课 题：平面向量的数量积及运算律（1）‎ 教学目的：‎ ‎1掌握平面向量的数量积及其几何意义；‎ ‎2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；‎ ‎3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；‎ ‎4掌握向量垂直的条件 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：    本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1． 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ ‎2．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2‎ ‎3．平面向量的坐标表示 ‎ 分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 把叫做向量的（直角）坐标，记作 ‎4．平面向量的坐标运算 若，，‎ 则，，‎ 若，，则 ‎5．∥ (¹)的充要条件是x1y2-x2y1=0‎ ‎6．线段的定比分点及λ ‎ P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，‎ 使 =λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：‎ λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)‎ ‎7定比分点坐标公式：‎ 若点P１(x1,y1) ，Ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比 ‎8点P的位置与λ的范围的关系：‎ ‎①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点 ‎②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点P为的外分点 ‎9线段定比分点坐标公式的向量形式：‎ 在平面内任取一点O，设＝ａ，＝ｂ，‎ 可得=‎ ‎10．力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F与s的夹角 二、讲解新课：‎ ‎1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；‎ ‎（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；‎ ‎（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；‎ ‎（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0°≤q≤180° C ‎2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosq叫ａ与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，‎ ‎（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0‎ ×探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 ‎（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定 ‎（2）两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替 ‎（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0因为其中cosq有可能为0‎ ‎（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c但是a×b = b×c a = c ‎ ‎ 如右图：a×b = |a||b|cosb = |b||OA|，b×c = |b||c|cosa = |b||OA|‎ Þ a×b = b×c 但a ¹ c ‎ (5)在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c)‎ ‎ 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线 ‎3．“投影”的概念：作图 ‎ ‎ 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影 投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|‎ ‎4．向量的数量积的几何意义：‎ 数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积 ‎5．两个向量的数量积的性质：‎ 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 ‎1°e×a = a×e =|a|cosq ‎2°a^b Û a×b = 0‎ ‎3°当a与b同向时，a×b = |a||b|；当a与b反向时，a×b = -|a||b|‎ ‎ 特别的a×a = |a|2或 ‎4°cosq =‎ ‎5°|a×b| ≤ |a||b|‎ 三、讲解范例：‎ 例1 判断正误，并简要说明理由 ‎①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２‎ 解：上述8个命题中只有③⑧正确；‎ 对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；‎ 对于②：应有０·ａ＝0；‎ 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；‎ 对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；‎ 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；‎ 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс 则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），‎ ‎∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ 评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律 例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，‎ ‎∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；‎ 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，‎ ‎∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；‎ ‎②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，‎ ‎∴ａ·ｂ＝０；‎ ‎③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9‎ 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能 四、课堂练习：‎ 五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记及备用资料：‎ ‎1概念辨析：正确理解向量夹角定义 对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：‎ ‎1已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求·‎ 对此题，有同学求解如下：‎ 解：如图，∵｜｜＝ａ＝５，｜｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０°，‎ ‎∴·＝｜｜·｜｜cosＣ＝5×8cos60°＝20‎ 分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，Ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°‎ ‎2向量的数量积不满足结合律 分析：若有（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с），设ａ、ｂ夹角为α，ｂ、с夹角为β，则(ａ·ｂ)с＝｜ａ｜·｜ｂ｜cosα·с，‎ ａ·(ｂ·с)＝ａ·｜ｂ｜｜с｜cosβ ‎∴若ａ＝с，α＝β，则｜ａ｜＝｜с｜，进而有：（ａ·ｂ）с＝ａ·(ｂ·с)‎ 这是一种特殊情形，一般情况则不成立举反例如下：‎ 已知｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝１，｜с｜＝，ａ与ｂ夹角是60°，ｂ与с夹角是45°，则：‎ ‎(ａ·ｂ)·с＝（｜ａ｜·｜ｂ｜cos60°）с＝с，‎ ａ·(ｂ·с)＝（｜ｂ｜·｜с｜cos45°）ａ＝ａ 而с≠ａ，故（ａ·ｂ）·с≠ａ·（ｂ·с）‎