高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第19课)空间向量的直角坐标及其运算(3) 6页

课 题：9．6空间向量的直角坐标及其运算 (三) ‎ 教学目的：‎ ‎1.进一步掌握空间向量的夹角、距离等概念，并能熟练运用；‎ ‎2.能综合运用向量的数量积知识解决有关立体几何问题；‎ ‎3.了解平面法向量的概念 教学重点：向量的数量积的综合运用 教学难点：向量的数量积的综合运用 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1 空间直角坐标系：‎ ‎（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；‎ ‎（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；‎ ‎2．空间直角坐标系中的坐标：‎ ‎ 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．‎ ‎3．空间向量的直角坐标运算律：‎ ‎（1）若，，则，‎ ‎，，‎ ‎， ，‎ ‎．‎ ‎（2）若，，则．‎ 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ‎4 模长公式：若，，‎ 则，．‎ ‎5．夹角公式：．‎ ‎6．两点间的距离公式：若，，‎ 则，‎ 或 ‎ 二、讲解范例：‎ 例1 求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行 已知：直线于，于．‎ 求证：．‎ 证明：以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系，‎ 分别为沿轴，轴，轴的坐标向量，‎ 设，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，即，‎ 又知，为两个不同的点，∴．‎ 点评：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，记作，此时向量叫做平面的法向量．‎ 例2．在棱长为的正方体中，分别是中点，在棱上，，是的中点，‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求与所成的角的余弦；‎ ‎（3）求的长 解：如图以为原点建立直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，，‎ ‎（1），，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎∴与所成的角的余弦．‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴．‎ 例3．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，‎ ‎（1）求证：是平面的法向量；‎ ‎（2）求平行四边形的面积．‎ ‎（1）证明：∵，‎ ‎，‎ ‎∴，，又，平面，‎ ‎∴是平面的法向量．‎ ‎（2），，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ‎ ‎∴．‎ 例4　在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝a，BC＝b，AA1＝c，求异面直线BD1和B‎1C所成角的余弦值 分析一：利用 ‎，以及数量积的定义，可求出cos＜＞，从而得到异面直线BD1和B‎1C所成角的余弦值 分析二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的 运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的 ‎　　解：建立如图所示空间直角坐标系，使D为坐标原点，‎ 则B(b,a,0),D1(0,0,c),B1(b,a,c),C(0,a,0)‎ 设异面直线BD1和B‎1C所成角为θ，则 三、课堂练习：‎ ‎1设，，且，记，‎ 求与轴正方向的夹角的余弦值 解：取轴正方向的任一向量，设所求夹角为，‎ ‎∵‎ ‎∴，即为所求 ‎2．　在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿‎ 解： ‎ ‎∴∠ABC＝45°‎ ‎3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)‎ ‎⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；‎ ‎⑵若向量a分别与向量垂直，且|a|＝，求向量a的坐标 分析：⑴‎ ‎∴∠BAC＝60°，‎ ‎⑵设a＝(x,y,z)，则 解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1), a＝(－1，－1，－1).‎ 四、小结 ：在计算和证明立体几何问题时，如果能够在原图中建立适当的空间直角坐标系，将图形中有关量用坐标来表示，利用空间向量的坐标运算来处理，则往往可以在很大程度上降低对空间相象的要求；求向量坐标的常用方法是先设出向量坐标，再待定系数 ‎ 五、课后作业：‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎