湖南省岳阳市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题答案 7页

试卷第 1 页，总 7 页 岳阳市 2020 年高中教学质量检测 高二数学参考答案与评分标准 一、单项选择 1-5 A B C C D 6-10 D B C A B 二、多项选择 11. BCD 12. BD 三、填空题 13． 7 9 14． 18 15． 4 16． ①②③；30 3 四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（ 10 分） 已知函数 2( )23sincos2cos1()fxxxxxR=+− . （1） 求函数 ()fx的最小正周期及在区间 [0 , ]2  上的最大值和最小值； （2） 若 00 6(),[,] 542fxx = , 求 0c o s2 x 的值. 【解答】 （1） …………………………………………………2 分 所以 …………………………………………………3 分 又 所以 …………………………………………………4 分 由函数图像知 .…………………………………………………5 分 试卷第 2 页，总 7 页 （2）解：由题意 …………………………………………………6 分 而 所以 …………………………………………………7 分 所以 …………………………………………………8 分 所以 = .……………………………………………10 分 18．（12 分） 2020 年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年。某乡镇在 2014 年通过 精准识别确立建档立卡的贫困户共有 500 户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数 如下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 x 1 2 3 4 5 脱贫户数 y 55 68 80 92 100 （1） 根据 20152019 年的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 ybxa=+，并预测到 2020 年底该乡 镇 500 户贫困户是否能全部脱贫； （2） 2019 年的新脱贫户中有 20 户五保户， 20 户低保户， 60 户扶贫户。该乡镇某干部打算按照分层 抽样的方法对 2019 年新脱贫户中的 5 户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况。为防止这 些脱贫户再度返贫，随机抽取这 5 户中的 2 户进行每月跟踪帮扶，求抽取的 2 户不都是扶贫户的概 率。 参考公式： y bx a=+，其中 11 222 11 ()() () nn iii i ii nn ii ii xx yyx ynx y b xxxnx == == −−− == −−   ， aybx=− 【解答】 （1） 5 1 1 55 2 68 3 80 4 92 5 100 1299ii i xy = =  +  +  +  +  = 试卷第 3 页，总 7 页 556880921003,79 5xy++++=== 5 2 1 149162555i i x = =++++= 2 12995379 11.45553b −==− 7911.4344.8a =−= 11.4 44.8yx=+…………………………………………………5 分 当 6x = 时， 11.4644.8113.2y =+= 即预测 2020 年一年内该乡镇约有 113 户贫困户脱贫…………………………………………………6 分 预测 6 年该乡镇脱贫总户数有：55+68+80+92+100+113=508 500 即预测到 2020 年底该乡镇 500 户贫困户能全部脱贫。…………………………………………………7 分 （2）由题意可得：按分层抽样抽取 5 户脱贫户中，有 1 户五保户 a ，1 户低保户 b ， 3 户扶贫户 ,,c d e 。从 这 5 户中随机抽取 2 户，共有 10 中情况： (,) , (,) , (,) , (,) (,) , (,) , (,) (,) , (,) (,) a ba ca da e b cb db e c dc e de …………………………………………………9 分 记 2 户不都是扶贫户为事件 A ，则事件 A 共有 3 种情况：(,) , (,) , (,)cdcede ………………………10 分 所以 3() 10PA= ， 37()1 1010PA=−= 故抽取的 2 户不都是扶贫户的概率为 7 10 …………………………………………………12 分 19．（ 12 分） 如下图，在直角梯形 ABCD 中， 90,/ /,ADCCDAB= 4AB = ， 2ADCD==，点 M 为线段 AB 的中点，将 ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC ⊥ 平面 ABC ，得到几何体 DABC− ． （1） 证明： BC ⊥平面 ACD ； （2）求点 B 到平面 CDM 的距离． CD MA B MA B D C 试卷第 4 页，总 7 页 【解析】 （Ⅰ）证明：由已知可得： 22AC = ， 45CAB =  ， 由余弦定理 8CB= 从而 222ACBCAB+=， AC BC⊥ 平面 A D C ⊥ 平面 ABC ， 平面 A D C  平面 ABC AC=  BC ⊥ 平面 ACD ． …………………………………………………6 分 （Ⅱ）由已知，易求 1 1 4 24 2 23 2 3D ABCV − =     = ． 22 3DMBCV −=， 设点 B 到平面 CDM 的距离为 d ， 又可求 3DMCS  = ， 1=33DMBCBDMCVVd−−= ， 26 3d= 点 到平面 的距离为 26 3 ．…………………………………………………12 分 20．（12 分） 已知 {}na 是等差数列， {}nb 是等比数列， 15ba= ， 2 3b = ， 5 81b =− 。 （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的前 n 项和为 nS ，在① 132bba+=，② 44ab= 这两个条件中任选一个，补充在题干问 题中，是否存在 k ，使得 1kkSS+ 且 +21kkSS+ ？若问题中的 k 存在，求 k 的值；若 k 不存在，说明理由。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】 （1） 设等比数列 首项为 1b ，公比为 q ，则由 ， 可得 1 1,3bq= −= − 所以等比数列 的通项公式 1(3) n nb −=−− …………………………………………………5 分 （2） 我选择的条件是 由（1） 11(3) n nb −= − − ，所以 2 1 3 10a b b= + = − ，又 51 1ab= = − ，所以 3 16nan=− 此时，由 120 , 0kkaa++， 解得10 13 33k ，故 4k = …………………………………………………12 分 我选择的条件是 试卷第 5 页，总 7 页 44=2 7ab= ，又 51 1ab= = − ，所以 {}na 的公差 28d =− ，故 28 139nan= − + ， 由 120 , 0kkaa++，即 1 2 281110 28830 -k k ak ak + + =+  =−+ ，显然无解。 故不存在满足条件的正整数 k …………………………………………………12 分 21．（12 分） 已知圆 M 的方程为 ( ) 22 21xy+ − = ，点 P 在直线 l ： 20xy−=上，过点 P 作圆 的切线 ,P A P B ， 切点为 ,AB. （1）若点 的坐标为 11, 2   ，求切线 方程； （2）证明：经过 ,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标. 【解析】 （1）当切线斜率不存在时，切线方程为 1x = ，符合题意. 当切线斜率存在时，设直线方程为 ( ) 11 2ykx=−+ ， 因为直线和圆相切，所以 2 3 2 1 1 k d k + == + ，解得 5 12k =− ， 此时直线方程为 ( )51112 2yx= − − + ，即5 12 11 0xy+ − = ， 所以切线 方程 ， .…………………………………………………5 分 （2）设点 00 1, 2Pxx  ， ( )0,2M ， 过 ,,PAM 三点的圆即以 PM 为直径的圆 即 2 22 2 2 000 0 11 22 22 222 +−+ −+ −=  xxxxxy ， 所以 22 0 0 0 1 202x x x y x y x− + − + + = ， 试卷第 6 页，总 7 页 从而 2220 1 102 x y y xy  + − = − − + = ， 解得定点坐标为 ( )0 ,2 或 42,55   .…………………………………………………12 分 22．（12 分） 如图，河的两岸分别有生活小区 ABC 和 D E F ，其中 ,,ABBCEFDFDFAB⊥⊥⊥ ， ,,C E F 三点共 线，FD 与 BA 的延长线交于点 O ，测得 3AB = km ， 4kmBC = ， 9 4DF = km ， 3kmFE = ， 3 2EC = km ， 若以 ,O A O D 所在直线分别为 ,xy轴建立平面直角坐标系 x O y 则河岸 DE 可看成是曲线 xby xa += + （其中 ,ab是常数）的一部分，河岸 AC 可看成是直线 y kx m=+（其中 ,km为常数）的一部分． （1）求 , , ,a b k m 的值． （2） 现准备建一座桥 MN ，其中 ,MN分别在 ,DEAC 上，且 MN AC⊥ ，M 的横坐标为 t ．写出桥 的长l 关于 的函数关系式 ()l f t= ，并标明定义域；当 为何值时， 取到最小值？最小值是多少？ 【解答】 试卷第 7 页，总 7 页 （1）由题意得： 4O D B C==， OB FC= ，∴ 70, 4D   ， ()3,4E ， 3 ,02A   ， 9 ,42C  ， 把 ， ( )3 ,4E 代入 xby xa += + 得 7 4 3 43 b a b a  = + = + ， 解得： 4 , 7ab= − = − ， 把 ， 代入 y kx m=+得 3 02 9 42 km km  +=  += ， 解得 4 ,23km= = − .…………………………………………………5 分 （2）由（1）得： M 点在 7 4 xy x −= − 上，∴ 7,,[0,3]4 tMtt t −− ， ①桥 MN 的长 l 为 到直线 4 23yx=−的距离， 故 22 3(7)46194( )| 49 |,[0,3] 5434 tt tlf xtt t −−−−===+− −+ ； ②由①得： 1 9 1 9( ) | 4 9 | | 4( 4) 7 |5 4 5 4f t t ttt= + − = − + +−− ， 而 94 0, 04t t−  − ，∴ 994(4)24(4)12 44tttt−+ −−= −−− ， 当且仅当 94(4) 4t t−=− 时即 5 2t = “=”成立， ∴ min 1( )|127 | 15ft =−+= .…………………………………………………12 分