高考数学专题复习课件：7-37.3  二元一次不等式( 组 ) 与简单的线性规划问题 68页

§ 7.3 　二元一次不等式 ( 组 ) 与简单的线性规划问题 ［ 考纲要求 ］ 1. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组； 2. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； 3. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 . 1 ． 二元一次不等式表示的平面区域 (1) 一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax ＋ By ＋ C ＞ 0 表示直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 某一侧的所有点组成的平面区域 ( 半平面 )_________ 边界直线，把边界直线画成虚线；不等式 Ax ＋ By ＋ C ≥ 0 所表示的平面区域 ( 半平面 )_______ 边界直线，把边界直线画成实线． 不包括 包括 (2) 对于直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 同一侧的所有点 ( x ， y ) ，使得 Ax ＋ By ＋ C 的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足 Ax ＋ By ＋ C ＞ 0 ，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足 ________________ ． Ax ＋ By ＋ C ＜ 0 (3) 可在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的同一侧任取一点，一般取特殊点 ( x 0 ， y 0 ) ，从 Ax 0 ＋ By 0 ＋ C 的 ______ 就可以判断 Ax ＋ By ＋ C ＞ 0( 或 Ax ＋ By ＋ C ＜ 0) 所表示的区域． (4) 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的 __________ ． 符号 公共部分 2 ．线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x ， y 组成的一次不等式 线性约束条件 由 x ， y 的 _______ 不等式 ( 或方程 ) 组成的不等式组 目标函数 欲求 _______ 或 _______ 的 函数 一次 最大值 最小值 线性目标函数 关于 x ， y 的 ______ 解析 式 可行解 满足 _________________ 的 解 可行域 所有 __________ 组成 的集合 最优解 使目标函数 取得 _______ 或 _______ 的 可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数 的 ________ 或 _________ 问题 一次 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 3. 重要结论 (1) 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： ① 直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； ② 特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取 (0 ， 1) 或 (1 ， 0) 来验证． (2) 利用 “ 同号上，异号下 ” 判断二元一次不等式表示的平面区域； 对于 Ax ＋ By ＋ C ＞ 0 或 Ax ＋ By ＋ C ＜ 0 ，则有 ① 当 B ( Ax ＋ By ＋ C ) ＞ 0 时，区域为直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的上方； ② 当 B ( Ax ＋ By ＋ C ) ＜ 0 时，区域为直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的下方． (3) 最优解和可行解的关系： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 不等式 Ax ＋ By ＋ C ＞ 0 表示的平面区域一定在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的上方． ( 　　 ) (2) 线性目标函数的最优解可能是不唯一的． ( 　　 ) (3) 目标函数 z ＝ ax ＋ by ( b ≠ 0) 中， z 的几何意义是直线 ax ＋ by － z ＝ 0 在 y 轴上的截距． ( 　　 ) (4) 不等式 x 2 － y 2 ＜ 0 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有 y 轴的两块区域． 【 答案 】 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) √ 1 ．下列各点中，不在 x ＋ y － 1 ≤ 0 表示的平面区域内的是 ( 　　 ) A ． (0 ， 0) 　　　　　　　 B ． ( － 1 ， 1) C ． ( － 1 ， 3) D ． (2 ，－ 3) 【 解析 】 把各点的坐标代入可得 ( － 1 ， 3) 不适合，故选 C. 【 答案 】 C 【 解析 】 用特殊点代入，比如 (0 ， 0) ，容易判断为 C. 【 答案 】 C 【 解析 】 因为直线 x － y ＝－ 1 与 x ＋ y ＝ 1 互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形， 【 答案 】 C 题型一　二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域 命题点 1 　不含参数的平面区域问题 【 例 1 】 (1) 不等式 ( x － 2 y ＋ 1)( x ＋ y － 3) ≤ 0 在坐标平面内表示的区域 ( 用阴影部分表示 ) ，应是下列图形中的 ( 　　 ) 【 答案 】 (1)C 　 (2)D 【 解析 】 有两种情形： ( 1) 直角由直线 y ＝ 2 x 与 kx － y ＋ 1 ＝ 0 形成 ( 如图 ) ． 【 方法规律 】 (1) 求平面区域的面积： ① 首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域； ② 对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形 ( 如平行四边形或梯形 ) ，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可． (2) 利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解． (2) 由于 x ＝ 1 与 x ＋ y － 4 ＝ 0 不可能垂直，所以只有可能 x ＋ y － 4 ＝ 0 与 kx － y ＝ 0 垂直或 x ＝ 1 与 kx － y ＝ 0 垂直． ① 当 x ＋ y － 4 ＝ 0 与 kx － y ＝ 0 垂直时， k ＝ 1 ，检验知三角形区域面积为 1 ，即符合要求． ② 当 x ＝ 1 与 kx － y ＝ 0 垂直时， k ＝ 0 ，检验不符合要求． 【 答案 】 (1)D 　 (2)A 【 答案 】 B 【 解析 】 (1) 作出不等式组所表示的平面区域，如图 ( 阴影部分 ) 所示， 【 答案 】 (1)C 　 (2)B 2 ． 若 z ＝ x 2 ＋ y 2 － 2 x － 2 y ＋ 3. 求 z 的最大值、最小值． 【 答案 】 C 【 方法规律 】 (1) 先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2) 当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有： ∴ 当 a ＝－ 2 或 a ＝－ 3 时， z ＝ ax ＋ y 在 O (0 ， 0) 处取得最大值，最大值为 z max ＝ 0 ，不满足题意，排除 C ， D 选项；当 a ＝ 2 或 3 时， z ＝ ax ＋ y 在 A (2 ， 0) 处取得最大值， ∴ 2 a ＝ 4 ， ∴ a ＝ 2 ，排除 A ，故选 B. 【 答案 】 (1)B 　 (2)D 题型三　线性规划的实际应用 【 例 6 】 (2016· 课标全国 Ⅰ ) 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg ，乙材料 1 kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg ，乙材料 0.3 kg ，用 3 个工时．生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150 kg ，乙材料 90 kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 ________ 元． 【 答案 】 21 6000 【 方法规律 】 解线性规划应用问题的一般步骤： (1) 分析题意，设出未知量； (2) 列出线性约束条件和目标函数； (3) 作出可行域并利用数形结合求解； (4) 作答． 跟踪训练 3 (2015· 陕西 ) 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A ， B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为 ( 　　 ) 甲 乙 原料限额 A ( 吨 ) 3 2 12 B ( 吨 ) 1 2 8 【 答案 】 D 【 易错分析 】 题目给出的区域边界 “ 两静一动 ” ，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线 x ＋ y ＝ m 和直线 y ＝－ x 平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点． 【 答案 】 5 【 温馨提醒 】 (1) 当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来． (2) 应注意直线 y ＝ x － z 经过的特殊点 . 3 ．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题． 4 ．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题．