高考数学专题复习课件：10-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 43页

§10.1 　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 .2. 会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 1 ．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法．那么完成这件事共有 ___________ 种不同的方法． N ＝ m ＋ n 2 ．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 _________ 种不同的方法． 3 ．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． N ＝ m × n 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． ( 　　 ) (2) 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事． ( 　　 ) (3) 在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成． ( 　　 ) (4) 如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 m i ( i ＝ 1 ， 2 ， 3 ， … ， n ) ，那么完成这件事共有 m 1 m 2 m 3 … m n 种方法． ( 　　 ) (5) 在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) √ 　 (5) √ 1 ． ( 教材改编 ) 三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过 3 次传递后，毽子又被踢回给甲．则不同的传递方式共有 ( 　　 ) A ． 5 种　　　　　　　　　　 B ． 2 种 C ． 3 种 D ． 4 种 【 解析 】 传递方式有甲 → 乙 → 丙 → 甲；甲 → 丙 → 乙 → 甲． 【 答案 】 B 2 ．从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持主题班会，则不同的选法种数为 ( 　　 ) A ． 6 B ． 5 C ． 3 D ． 2 【 解析 】 5 个人中每一个都可主持，所以共有 5 种选法． 【 答案 】 B 3 ．现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 ( 　　 ) A ． 24 种 B ． 30 种 C ． 36 种 D ． 48 种 【 解析 】 按 A → B → C → D 顺序分四步涂色，共有 4 × 3 × 2 × 2 ＝ 48 种． 【 答案 】 D 4 ．用数字 2 ， 3 组成四位数，且数字 2 ， 3 至少都出现一次，这样的四位数共有 ________ 个． ( 用数字作答 ) 【 解析 】 数字 2 ， 3 至少都出现一次，包括以下情况： “ 2 ” 出现 1 次，“ 3 ” 出现 3 次，共可组成 C ＝ 4 个四位数． “ 2 ” 出现 2 次， “ 3 ” 出现 2 次，共可组成 C ＝ 6 个四位数． “ 2 ” 出现 3 次， “ 3 ” 出现 1 次，共可组成 C ＝ 4 个四位数． 综上所述，共可组成 14 个这样的四位数． 【 答案 】 14 5 ． ( 教材改编 )5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有 ________ 种． 【 解析 】 每位同学都有 2 种报名方法，因此，可分五步安排 5 名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ＝ 32( 种 ) ． 【 答案 】 32 题型一　分类加法计数原理的应用 【 例 1 】 高三一班有学生 50 人，男生 30 人，女生 20 人；高三二班有学生 60 人，男生 30 人，女生 30 人；高三三班有学生 55 人，男生 35 人，女生 20 人． (1) 从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2) 从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 【 解析 】 (1) 完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班任选一名学生共有 50 种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有 60 种选法； 第三类，从高三三班任选一名学生共有 55 种选法． 根据分类加法计数原理，任选一名学生任学生会主席共有 50 ＋ 60 ＋ 55 ＝ 165 种选法． (2) 完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班男生中任选一名共有 30 种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有 30 种选法； 第三类，从高三三班女生中任选一名共有 20 种选法． 综上知，共有 30 ＋ 30 ＋ 20 ＝ 80 种选法． 【 方法规律 】 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类． 跟踪训练 1 (2015· 四川 ) 用数字 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有 ( 　　 ) A ． 144 个　　　　　　　　　　 B ． 120 个 C ． 96 个 D ． 72 个 【 解析 】 由题意知，首位数字只能是 4 ， 5 ，若万位是 5 ，则有 3 × A ＝ 72 个；若万位是 4 ，则有 2 × A ＝ 48 个，故比 40 000 大的偶数共有 72 ＋ 48 ＝ 120 个．选 B. 【 答案 】 B 题型二　分步乘法计数原理的应用 【 例 2 】 (1) (2017· 青岛模拟 ) 将字母 a ， a ， b ， b ， c ， c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 ( 　　 ) A ． 12 种 B ． 18 种 C ． 24 种 D ． 36 种 (2) 有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有 ________ 种不同的报名方法． 【 解析 】 (1) 先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有 6 种不同排法； 再排第二列，其中第二列第一行的字母共有 2 种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有 1 种排法． 因此共有 6 × 2 × 1 ＝ 12 种不同的排列方法． (2) 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法，第二个项目有 5 种选法，第三个项目有 4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 6 × 5 × 4 ＝ 120 种． 【 答案 】 (1)A 　 (2)120 【 引申探究 】 1 ．本例 (2) 中将条件 “ 每项限报一人，且每人至多参加一项 ” 改为 “ 每人恰好参加一项，每项人数不限 ” ，则有多少种不同的报名方法？ 【 解析 】 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 3 6 ＝ 729 种． 2 ．本例 (2) 中将条件 “ 每项限报一人，且每人至多参加一项 ” 改为 “ 每项限报一人，但每人参加的项目不限 ” ，则有多少种不同的报名方法？ 【 解析 】 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 6 3 ＝ 216 种． 【 方法规律 】 (1) 利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事． (2) 分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成． 跟踪训练 2 (1) (2017· 商洛一模 ) 某体育彩票规定：从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注，每注 2 元．某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号，从 11 至 20 中选 2 个连续的号，从 21 至 30 中选 1 个号，从 31 至 36 中选 1 个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花 ( 　　 ) A ． 3 360 元 B ． 6 720 元 C ． 4 320 元 D ． 8 640 元 (2) 用 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 可组成无重复数字的三位数的个数为 ________ ． 【 解析 】 (1) 从 01 至 10 中选 3 个连续的号共有 8 种选法；从 11 至 20 中选 2 个连续的号共有 9 种选法；从 21 至 30 中选 1 个号有 10 种选法；从 31 至 36 中选 1 个号有 6 种选法，根据分步乘法计数原理，得共有 8 × 9 × 10 × 6 ＝ 4 320 种，所以至少需花 4 320 × 2 ＝ 8 640( 元 ) ． (2) 可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有 5 种放法；第二步：十位数字有 5 种放法；第三步：个位数字有 4 种放法．根据分步乘法计数原理，三位数个数为 5 × 5 × 4 ＝ 100. 【 答案 】 (1)D 　 (2)100 题型三　两个计数原理的综合应用 【 例 3 】 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法种数． 【 解析 】 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥 S ABCD 的顶点 S 、 A 、 B 所染的颜色互不相同，它们共有 5 × 4 × 3 ＝ 60 种染色方法． 当 S 、 A 、 B 染好时，不妨设其颜色分别为 1 、 2 、 3 ，若 C 染 2 ，则 D 可染 3 或 4 或 5 ，有 3 种染法；若 C 染 4 ，则 D 可染 3 或 5 ，有 2 种染法；若 C 染 5 ，则 D 可染 3 或 4 ，有 2 种染法．可见，当 S 、 A 、 B 已染好时， C 、 D 还有 3 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 7 种染法，故不同的染色方法有 60 × 7 ＝ 420( 种 ) ． 方法二 以 S 、 A 、 B 、 C 、 D 顺序分步染色． 第一步， S 点染色，有 5 种方法； 第二步， A 点染色，与 S 在同一条棱上，有 4 种方法； 第三步， B 点染色，与 S 、 A 分别在同一条棱上，有 3 种方法； 第四步， C 点染色，也有 3 种方法，但考虑到 D 点与 S 、 A 、 C 相邻，需要针对 A 与 C 是否同色进行分类，当 A 与 C 同色时， D 点有 3 种染色方法；当 A 与 C 不同色时，因为 C 与 S 、 B 也不同色，所以 C 点有 2 种染色方法， D 点也有 2 种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有 5 × 4 × 3 × (1 × 3 ＋ 2 × 2) ＝ 420( 种 ) ． 方法三 按所用颜色种数分类． 第一类， 5 种颜色全用，共有 A 种不同的方法； 【 方法规律 】 (1) 应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步． (2) 分类要做到 “ 不重不漏 ” ，正确把握分类标准是关键． (3) 分步要做到 “ 步骤完整 ” ，步步相连能将事件完成． (4) 较复杂的问题可借助图表完成． 跟踪训练 3 (2017· 南京模拟 ) 如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色 (4 种颜色全部使用 ) ，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 ________ 种 . 【 解析 】 按区域 1 与 3 是否同色分类． ① 区域 1 与 3 同色：先涂区域 1 与 3 ，有 4 种方法， 再涂区域 2 ， 4 ， 5( 还有 3 种颜色 ) ，有 A 种方法． ∴ 区域 1 与 3 涂同色，共有 4A ＝ 24 种方法． ② 区域 1 与 3 不同色：先涂区域 1 与 3 ，有 A 种方法， 第二步，涂区域 2 有 2 种涂色方法， 第三步，涂区域 4 只有一种方法， 第四步，涂区域 5 有 3 种方法． ∴ 这时共有 A × 2 × 1 × 3 ＝ 72 种方法． 故由分类加法计数原理，不同的涂色方法的种数为 24 ＋ 72 ＝ 96. 【 答案 】 96 易错警示系列 15 对两个基本原理认识不清致误 【 典例 】 (1) 把 3 封信投到 4 个信箱，所有可能的投法共有 ( 　　 ) A ． 24 种 B ． 4 种 C ． 4 3 种 D ． 3 4 种 (2) 某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有 4 趟，轮船有 3 次，问此人的走法可有 ________ 种． 【 易错分析 】 解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于 (1) ，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有 3 4 种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中；对于 (2) ，易混淆 “ 类 ” 与 “ 步 ” ，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算． 【 解析 】 (1) 第 1 封信投到信箱中有 4 种投法；第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法；第 3 封信投到信箱中也有 4 种投法．只要把这 3 封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有 4 3 种方法． (2) 因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有 4 种，坐轮船的走法有 3 种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有 4 ＋ 3 ＝ 7 种． 【 答案 】 (1)C 　 (2)7 【 温馨提醒 】 (1) 每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装 1 封信，也可以装 2 封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有 4 种选择． (2) 在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚 “ 分类 ” 与 “ 分步 ” 的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏 . ► 方法与技巧 1 ．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对 “ 分类 ” 问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对 “ 分步 ” 问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 2 ．分类标准要明确，做到不重复不遗漏． 3 ．混合问题一般是先分类再分步． 4 ．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律． ► 失误与防范 1 ．切实理解 “ 完成一件事 ” 的含义，以确定需要分类还是需要分步进行． 2 ．分类的关键在于要做到 “ 不重不漏 ” ，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步． 3 ．确定题目中是否有特殊条件限制 .