高考数学专题复习课件：1-1集合及其运算 44页

§1.1 　集合及其运算 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系 .2. 能用自然语言、图形语言、集合语言 ( 列举法或描述法 ) 描述不同的具体问题 .3. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 .4. 在具体情境中，了解全集与空集的含义 .5. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 .6. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 .7. 能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 1 ． 集合与元素 (1) 集合中元素的三个特征： ______ 、 ______ 、 _______ ． (2) 元素与集合的关系是 ______ 或 _______ 两种，用符号 __ 或 ____ 表示． (3) 集合的表示法： ________ 、 _______ 、 ________ ． 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 列举法 描述法 图示法 ∈ ∉ (4) 常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ___ ________ ____ ____ ____ N N * ( 或 N ＋ ) Z Q R 2. 集合间的基本关系 3. 集合的基本运算 4. 集合关系与运算的常用结论 (1) 若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集个数为 ___ 个，非空子集个数为 ______ 个，真子集有 _______ 个． (2) 集合 A 是其本身的子集，即 _______ ． (3) 子集关系的传递性，即 A ⊆ B ， B ⊆ C ⇒_________ ． (4) A ∪ A ＝ A ∩ A ＝ __ ， A ∪ ∅ ＝ __ ， A ∩ ∅ ＝ __ ， ∁ U U ＝ __ ， ∁ U ∅ ＝ ___ ． (5) A ⊆ B ⇔ A ∩ B ＝ ___ ⇔ A ∪ B ＝ ___ ． 2 n 2 n － 1 2 n － 1 A ⊆ A A ⊆ C A A ∅ ∅ U A B 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1){ x | y ＝ x 2 ＋ 1} ＝ { y | y ＝ x 2 ＋ 1} ＝ {( x ， y )| y ＝ x 2 ＋ 1} ． ( 　　 ) (2) 若 { x 2 ， 1} ＝ {0 ， 1} ，则 x ＝ 0 ， 1.( 　　 ) (3){ x | x ≤ 1} ＝ { t | t ≤ 1} ． ( 　　 ) (4) 对于任意两个集合 A ， B ，关系 ( A ∩ B ) ⊆ ( A ∪ B ) 恒成立． ( 　　 ) (5) 若 A ∩ B ＝ A ∩ C ，则 B ＝ C .( 　　 ) (6) 含有 n 个元素的集合有 2 n 个真子集． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 　 (5) × 　 (6) × 1 ． (2016· 课标全国 Ⅱ ) 已知集合 A ＝ {1 ， 2 ， 3} ， B ＝ { x |( x ＋ 1)( x － 2) ＜ 0 ， x ∈ Z} ，则 A ∪ B ＝ ( 　　 ) A ． {1} 　　　　　　　　　　 B ． {1 ， 2} C ． {0 ， 1 ， 2 ， 3} D ． { － 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3} 【 解析 】 由 ( x ＋ 1)( x － 2) ＜ 0 ，解得－ 1 ＜ x ＜ 2 ，又 x ∈ Z ， ∴ B ＝ {0 ， 1} ． ∵ A ＝ {1 ， 2 ， 3} ， ∴ A ∪ B ＝ {0 ， 1 ， 2 ， 3} ．故选 C. 【 答案 】 C 3 ． (2017· 黑龙江哈尔滨六中月考 ) 设 A ＝ { x |2 ≤ x ≤ 6} ， B ＝ { x |2 a ≤ x ≤ a ＋ 3} ，若 B ⊆ A ，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A ． [1 ， 3] B ． [3 ，＋ ∞ ) C ． [1 ，＋ ∞ ) D ． (1 ， 3) 【 答案 】 C 4 ． (2017· 浙江宁波模拟 ) 已知集合 M ＝ {1 ， m } ， N ＝ { n ， log 2 n } ，若 M ＝ N ，则 ( m － n ) 2 017 ＝ ________ ． 【 答案 】 － 1 或 0 5 ． (2016· 江苏 ) 已知集合 A ＝ { － 1 ， 2 ， 3 ， 6} ， B ＝ { x | － 2 ＜ x ＜ 3} ，则 A ∩ B ＝ ________ ． 【 解析 】 由交集定义可得 A ∩ B ＝ { － 1 ， 2} ． 【 答案 】 { － 1 ， 2} 题型一　集合的含义 【 例 1 】 (1) 设集合 A ＝ {1 ， 2 ， 3} ， B ＝ {4 ， 5} ， M ＝ { x | x ＝ a ＋ b ， a ∈ A ， b ∈ B } ，则 M 中的元素个数为 ( 　　 ) A ． 3 　　　　　　 B ． 4 C ． 5 D ． 6 (2) (2017· 厦门模拟 ) 已知 P ＝ { x |2 ＜ x ＜ k ， x ∈ N} ，若集合 P 中恰有 3 个元素，则 k 的取值范围为 ________ ． 【 解析 】 (1) ∵ a ∈ A ， b ∈ B ， ∴ x ＝ a ＋ b 为 1 ＋ 4 ＝ 5 ， 1 ＋ 5 ＝ 2 ＋ 4 ＝ 6 ， 2 ＋ 5 ＝ 3 ＋ 4 ＝ 7 ， 3 ＋ 5 ＝ 8. 共 4 个元素． (2) 因为 P 中恰有 3 个元素，所以 P ＝ {3 ， 4 ， 5} ，故 k 的取值范围为 5 ＜ k ≤ 6. 【 答案 】 (1)B 　 (2)(5 ， 6] 【 方法规律 】 (1) 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么． (2) 对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性． 跟踪训练 1 (1) (2017· 重庆万州考前模拟 ) 设集合 A ＝ { － 1 ， 0 ， 2} ， B ＝ { － x | x ∈ A ， 2 － x ∉ A } ，则 B ＝ ( 　　 ) A ． {1} B ． { － 2} C ． { － 1 ，－ 2} D ． { － 1 ， 0} (2) (2017· 河南重点中学联考 ) 已知集合 M ＝ {1 ， 2} ， N ＝ {3 ， 4 ， 5} ， P ＝ { x | x ＝ a ＋ b ， a ∈ M ， b ∈ N } ，则集合 P 的元素个数为 ( 　　 ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 【 解析 】 (1) 当 x ＝－ 1 时， 2 － x ＝ 3 ∉ A ，此时－ x ＝ 1 ∈ B ；当 x ＝ 0 时， 2 － 0 ＝ 2 ∈ A ；当 x ＝ 2 时， 2 － 2 ＝ 0 ∈ A . 所以 B ＝ {1} ．故选 A. (2) 因为 a ∈ M ， b ∈ N ，所以 a ＝ 1 或 2 ， b ＝ 3 或 4 或 5. 当 a ＝ 1 时，若 b ＝ 3 ，则 x ＝ 4 ；若 b ＝ 4 ，则 x ＝ 5 ；若 b ＝ 5 ，则 x ＝ 6. 同理，当 a ＝ 2 时， x ＝ 5 或 6 或 7. 根据集合中元素的互异性可知， x ＝ a ＋ b 的取值为 4 ， 5 ， 6 ， 7 ，所以 P ＝ {4 ， 5 ， 6 ， 7} ．故选 B. 【 答案 】 (1)A 　 (2)B 题型二　集合间的基本关系 【 例 2 】 (1) (2017· 山西考前质量检测 ) 已知集合 M ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4} ，则集合 P ＝ { x | x ∈ M 且 2 x ∉ M } 的子集有 ( 　　 ) A ． 8 个 B ． 4 个 C ． 3 个 D ． 2 个 (2) 已知集合 A ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 5} ， B ＝ { x | m ＋ 1 ≤ x ≤ 2 m － 1} ，若 B ⊆ A ，则实数 m 的取值范围为 ________ ． 【 答案 】 (1)B 　 (2)( － ∞ ， 3] 【 方法规律 】 (1) 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解； (2) 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、 Venn 图等来直观解决这类问题． 跟踪训练 2 (1) (2017· 东北三省三校第二次联考 ) 设集合 M ＝ { x | x 2 － 2 x － 3 ＜ 0 ， x ∈ Z} ，则集合 M 的真子集个数为 ( 　　 ) A ． 8 B ． 7 C ． 4 D ． 3 (2) (2017· 南宁模拟 ) 已知集合 M ＝ { x | x 2 － 2 x － 3 ＜ 0} ， N ＝ { x | x ＞ a } ，若 M ⊆ N ，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A ． ( － ∞ ，－ 1] B ． ( － ∞ ，－ 1) C ． [3 ，＋ ∞ ) D ． (3 ，＋ ∞ ) 【 解析 】 (1) 由题意， M ＝ { x |( x ＋ 1)( x － 3) ＜ 0 ， x ∈ Z} ＝ { x | － 1 ＜ x ＜ 3 ， x ∈ Z} ＝ {0 ， 1 ， 2} ，所以集合 M 的真子集个数为 2 3 － 1 ＝ 7. (2) M ＝ { x |( x － 3)( x ＋ 1) ＜ 0} ＝ ( － 1, 3) ，又 M ⊆ N ，因此有 a ≤ － 1 ，即实数 a 的取值范围是 ( － ∞ ，－ 1] ． 【 答案 】 (1)B 　 (2)A 题型三　集合的基本运算 命题点 1 　集合的运算 【 例 3 】 (1) (2016· 课标全国 Ⅲ ) 设集合 S ＝ { x |( x － 2)·( x － 3) ≥ 0} ， T ＝ { x | x ＞ 0} ，则 S ∩ T ＝ ( 　　 ) A ． [2 ， 3] B ． ( － ∞ ， 2] ∪ [3 ，＋ ∞ ) C ． [3 ，＋ ∞ ) D ． (0 ， 2] ∪ [3 ，＋ ∞ ) (2) (2016· 四川 ) 设集合 A ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 2} ， Z 为整数集，则集合 A ∩ Z 中元素的个数是 ( 　　 ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 【 解析 】 (1) ∵ S ＝ { x | x ≤ 2 或 x ≥ 3} ， T ＝ { x | x ＞ 0} ， ∴ S ∩ T ＝ (0 ， 2] ∪ [3 ，＋ ∞ ) ． (2) 由集合的运算可得 A ∩ Z ＝ { － 2 ，－ 1 ， 0 ， 1 ， 2} ，所以 A ∩ Z 中元素的个数为 5. 故选 C. 【 答案 】 (1)D 　 (2)C (2) 集合 M ＝ { x | － 1 ≤ x ＜ 2} ， N ＝ { y | y ＜ a } ，若 M ∩ N ≠ ∅ ，则实数 a 的取值范围一定是 ( 　　 ) A ．－ 1 ≤ a ＜ 2 B ． a ≤ 2 C ． a ≥ － 1 D ． a ＞－ 1 【 答案 】 (1)B 　 (2)D 【 方法规律 】 (1) 一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用 Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． (2) 运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． (2) (2017· 吉林吉大附中第一次摸底 ) 设 U ＝ R ，已知集合 A ＝ { x | x ＞ 1} ， B ＝ { x | x ＞ a } ，且 ( ∁ U A ) ∪ B ＝ R ，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A ． ( － ∞ ， 1) B ． ( － ∞ ， 1] C ． (1 ，＋ ∞ ) D ． [1 ，＋ ∞ ) 【 解析 】 (1) 由题意 A ＝ { x | － x 2 ＋ 2 x ＞ 0} ＝ { x |0 ＜ x ＜ 2} ， B ＝ { y | y ≥ 1} ， ∁ U B ＝ { y | y ＜ 1} ，所以 A ∩ ( ∁ U B ) ＝ { x |0 ＜ x ＜ 1} ．故选 A. (2) 因为 A ＝ { x | x ＞ 1} ，所以 ∁ U A ＝ { x | x ≤ 1} ，在数轴上作出集合 ∁ U A 与 B ，易知当 a ≤ 1 时，满足 ( ∁ U A ) ∪ B ＝ R. 故选 B. 【 答案 】 (1)A 　 (2)B 题型四　集合的新定义问题 【 例 5 】 (2017· 山东青岛检测 ) 若 X 是一个集合， τ 是一个以 X 的某些子集为元素的集合，且满足： ① X 属于 τ ，空集属于 τ ； ② τ 中任意多个元素的并集属于 τ ； ③ τ 中任意多个元素的交集属于 τ . 则称 τ 是集合 X 上的一个拓扑．已知集合 A ＝ { a ， b ， c } ，对于下面给出的四个集合 τ ： ① τ ＝ { ∅ ， { a } ， { c } ， { a ， b ， c }} ； ② τ ＝ { ∅ ， { a } ， { c } ， { b ， c } ， { a ， b ， c }} ； ③ τ ＝ { ∅ ， { a } ， { a ， b } ， { a ， c }} ； ④ τ ＝ { ∅ ， { a ， c } ， { b ， c } ， { c } ， { a ， b ， c }} ． 其中是集合 A 上的一个拓扑的集合 τ 的所有序号是 ________ ． 【 解析 】 ① τ ＝ { ∅ ， { a } ， { c } ， { a ， b ， c }} ，因为 { a } ∪ { c } ＝ { a ， c } ∉ τ ，故 ① 不是集合 X 的一个拓扑； ② 同 ① 也不是集合 X 上的一个拓扑； ③ 因为 { a ， b } ∪ { a ， c } ＝ { a ， b ， c } ∉ τ ，故 ③ 不是集合 X 上的一个拓扑； ④ 满足集合 X 上的一个拓扑的集合 τ 的定义．故答案为 ④ . 【 答案 】 ④ 【 方法规律 】 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： (1) 紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在； (2) 合理利用集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处还是合理利用集合的运算与性质． 跟踪训练 4 (2015· 湖北 ) 已知集合 A ＝ {( x ， y )| x 2 ＋ y 2 ≤ 1 ， x ， y ∈ Z} ， B ＝ {( x ， y )|| x | ≤ 2 ， | y | ≤ 2 ， x ， y ∈ Z} ，定义集合 A ⊕ B ＝ {( x 1 ＋ x 2 ， y 1 ＋ y 2 )|( x 1 ， y 1 ) ∈ A ， ( x 2 ， y 2 ) ∈ B } ，则 A ⊕ B 中元素的个数为 ( 　　 ) A ． 77 B ． 49 C ． 45 D ． 30 【 答案 】 C 易错警示系列 1 遗忘空集致误 【 典例 】 设集合 A ＝ {0 ，－ 4} ， B ＝ { x | x 2 ＋ 2( a ＋ 1) x ＋ a 2 － 1 ＝ 0 ， x ∈ R} ．若 B ⊆ A ，则实数 a 的取值范围是 ________ ． 【 易错分析 】 集合 B 为方程 x 2 ＋ 2( a ＋ 1) x ＋ a 2 － 1 ＝ 0 的实数根所构成的集合，由 B ⊆ A ，可知集合 B 中的元素都在集合 A 中，在解题中容易忽视方程无解，即 B ＝ ∅ 的情况，导致漏解． 【 答案 】 ( － ∞ ，－ 1] ∪ {1} ► 方法与技巧 1 ．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化． 2 ．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到． 3 ．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助 Venn 图．这是数形结合思想的又一体现． ► 失误与防范 1 ．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素 ( 集合是点集、数集还是图形集 ) ．对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算． 2 ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解． 3 ．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 4 ． Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心 .