高考数学专题复习课件：9-7 抛物线 61页

§ 9.7 　抛物线 [ 考纲要求 ] 　 1. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 ( 范围、对称性、顶点、离心率等 ).2. 了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 .3. 理解数形结合思想． 1 ． 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F ) 的 ____ _________ 的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的 ______ ，直线 l 叫做抛物线的 _______ ． 距离 相等 焦点 准线 2 ． 抛物线的标准方程 (1) 顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为： ________________ ； (2) 顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为： _________________ ； (3) 顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为： _______________ ； (4) 顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为： _________________ ． y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) y 2 ＝－ 2 px ( p ＞ 0) x 2 ＝ 2 py ( p ＞ 0) x 2 ＝－ 2 py ( p ＞ 0) 3 ． 抛物线的几何性质 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) √ 1 ． (2015· 陕西 ) 已知抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的准线经过点 ( － 1 ， 1) ，则该抛物线焦点坐标为 ( 　　 ) A ． ( － 1 ， 0) 　　　　　　　　　 B ． (1 ， 0) C ． (0 ，－ 1) D ． (0 ， 1) 【 答案 】 B 2 ． (2016· 银川模拟 ) 直线 l 过抛物线 x 2 ＝ 2 py ( p ＞ 0) 的焦点，且与抛物线交于 A ， B 两点，若线段 AB 的长是 6 ， AB 的中点到 x 轴的距离是 1 ，则此抛物线方程是 ( 　　 ) A ． x 2 ＝ 12 y B ． x 2 ＝ 8 y C ． x 2 ＝ 6 y D ． x 2 ＝ 4 y 【 解析 】 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 | AB | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ＝ 2 ＋ p ＝ 6 ， ∴ p ＝ 4. 即抛物线方程为 x 2 ＝ 8 y . 【 答案 】 B 【 答案 】 B 4 ． ( 教材改编 ) 已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P ( － 2 ，－ 4) ，则该抛物线的标准方程为 ________ ． 【 解析 】 设抛物线方程为 y 2 ＝ 2 px ( p ≠ 0) ，或 x 2 ＝ 2 py ( p ≠ 0) ．将 P ( － 2 ，－ 4) 代入，分别得方程为 y 2 ＝－ 8 x 或 x 2 ＝－ y . 【 答案 】 y 2 ＝－ 8 x 或 x 2 ＝－ y 5 ．已知点 A ( － 2 ， 3) 在抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B ，记 C 的焦点为 F ，则直线 BF 的斜率为 ________ ． 【 解析 】 过 M 点作左准线的垂线，垂足是 N ，则 | MF | ＋ | MA | ＝ | MN | ＋ | MA | ，当 A ， M ， N 三点共线时， | MF | ＋ | MA | 取得最小值，此时 M (2 ， 2) ． 【 答案 】 D 命题点 2 　到点与准线的距离之和最小问题 【 例 2 】 (2016· 邢台摸底 ) 已知 M 是抛物线 x 2 ＝ 4 y 上一点， F 为其焦点，点 A 在圆 C ： ( x ＋ 1) 2 ＋ ( y － 5) 2 ＝ 1 上，则 | MA | ＋ | MF | 的最小值是 ________ ． 【 解析 】 依题意，由点 M 向抛物线 x 2 ＝ 4 y 的准线 l ： y ＝－ 1 引垂线，垂足为 M 1 ，则有 | MA | ＋ | MF | ＝ | MA | ＋ | MM 1 | ，结合图形可知 | MA | ＋ | MM 1 | 的最小值等于圆心 C ( － 1 ， 5) 到 y ＝－ 1 的距离再减去圆 C 的半径，即等于 6 － 1 ＝ 5 ，因此 | MA | ＋ | MF | 的最小值是 5. 【 答案 】 5 【 答案 】 B 命题点 4 　焦点弦中距离之和最小问题 【 例 4 】 已知抛物线 y 2 ＝ 4 x ，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A ， B 两点，过 A ， B 分别作 y 轴垂线，垂足分别为 C ， D ，则 | AC | ＋ | BD | 的最小值为 ________ ． 【 解析 】 由题意知 F (1 ， 0) ， | AC | ＋ | BD | ＝ | AF | ＋ | FB | － 2 ＝ | AB | － 2 ，即 | AC | ＋ | BD | 取得最小值时当且仅当 | AB | 取得最小值．依抛物线定义知当 | AB | 为通径，即 | AB | ＝ 2 p ＝ 4 时为最小值，所以 | AC | ＋ | BD | 的最小值为 2. 【 答案 】 2 【 方法规律 】 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度． “ 看到准线想焦点，看到焦点想准线 ” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 【 答案 】 (1)8 　 (2)D 【 答案 】 y 2 ＝ 4 x 【 答案 】 A 【 方法规律 】 1. 求抛物线方程的 3 个注意点 (1) 当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2) 要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3) 要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 2 ． 记住与焦点弦有关的 5 个常用结论 命题点 2 　与抛物线弦的中点有关的问题 【 例 8 】 已知抛物线 C ： y ＝ mx 2 ( m >0) ，焦点为 F ，直线 2 x － y ＋ 2 ＝ 0 交抛物线 C 于 A ， B 两点， P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q . (1) 求抛物线 C 的焦点坐标． (2) 若抛物线 C 上有一点 R ( x R ， 2) 到焦点 F 的距离为 3 ，求此时 m 的值． (3) 是否存在实数 m ，使 △ ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由． 【 方法规律 】 (1) 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2) 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式 | AB | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3) 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用 “ 设而不求 ” 、 “ 整体代入 ” 等解法． 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用 “ 点差法 ” 求解． 跟踪训练 3 (2017· 广西南宁适应性测试二 ) 已知抛物线 C ： y ＝ 2 x 2 ，直线 l ： y ＝ kx ＋ 2 交 C 于 A ， B 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线段交 C 于点 N . (1) 证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； (2) 是否存在实数 k ，使以 AB 为直径的圆 M 经过点 N ？若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由． 【 答题模板 】 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于 x 或 y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出 Δ >0 时参数范围 ( 或指出直线过曲线内一点 ) ； 第三步：根据题目要求列出关于 x 1 x 2 ， x 1 ＋ x 2 ( 或 y 1 y 2 ， y 1 ＋ y 2 ) 的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况． 【 温馨提醒 】 (1) 解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系． (2) 在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化． (3) 利用 “ 点差法 ” 可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率 . ► 方法与技巧 1 ．认真区分四种形式的标准方程 (1) 区分 y ＝ ax 2 与 y 2 ＝ 2 px ( p >0) ，前者不是抛物线的标准方程． (2) 求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为 y 2 ＝ mx ( m ≠ 0) 或 x 2 ＝ my ( m ≠ 0) ． ► 失误与防范 1 ．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出 p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程． 2 ．注意应用抛物线的定义解决问题． 3 ．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．