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2015年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)

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‎2015年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)‎ 一、选择题共8小题,毎小题5分,共40分.在毎小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎ ‎ ‎1. 已知集合A={x|x‎2‎=2}‎,B={1, ‎2‎, 2}‎,则A∩B=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎{‎2‎}‎ B.‎{2}‎ C.‎{−‎2‎, 1, ‎2‎, 2}‎ D.‎‎{−2, 1, ‎2‎, 2}‎ ‎ ‎ ‎2. 抛物线x‎2‎‎=4y的焦点到准线的距离为( ) ‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎4‎ ‎ ‎ ‎3. 已知函数f(x)‎是奇函数,且当x>0‎时,f(x)=‎ex,则f(−1)=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎1‎e B.‎−‎‎1‎e C.e D.‎‎−e ‎ ‎ ‎4. 某单位计划在‎3‎月‎1‎日至‎7‎日举办经验交流会,某人随机选择其中的连续两天参加交流会,那么他在‎1‎日至‎3‎日期间连续两天参加交流会的概率为(        ) ‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎6‎ ‎ ‎ ‎5. 执行如图所示的程序框图,输出的i值为( ) ‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎5‎ ‎ ‎ ‎6. “sinα>0‎”是“角α是第一象限的角”的( ) ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎7. 若x,y满足x+y≥0‎x≥1‎x−y≥0‎‎ ‎则下列不等式恒成立的是( ) ‎ A.y≥1‎ B.x≥2‎ C.x+2y+2≥0‎ D.‎‎2x−y+1≥0‎ ‎ ‎ ‎8. 某三棱锥的正视图如图所示,则下列图①②③④,所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是( ) ‎ A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④‎ 二、填空题共6小题,毎小题5分,共30分.‎ ‎ ‎ ‎ 已知单位向量a‎→‎与向量b‎→‎‎=(1, −1)‎的夹角为π‎4‎,则‎|a‎→‎−b‎→‎|=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎ 若复数z=‎a+ii,且z∈R,则实数a=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎ 已知‎{an}‎为等差数列,Sn为其前n项和,若a‎3‎‎=−6‎,S‎1‎‎=‎S‎3‎,则公差d=‎________; Sn的最大值为________. ‎ ‎ ‎ ‎ 对于‎⊙A:x‎2‎+y‎2‎−2x=0‎,以点‎(‎1‎‎2‎, ‎1‎‎2‎)‎为中点的弦所在的直线方程是________. ‎ ‎ ‎ ‎ 设f(x)=x,xb>0)‎过点 A(0, −l)‎,且离心率e=‎‎3‎‎2‎. ‎ ‎(1)求椭圆M的方程;‎ ‎ ‎ ‎(2)若椭圆M上存在点B,C关于直线y=kx−1‎对称,求k的所有取值构成的集合S,并证明对于‎∀k∈S,BC的中点恒定在一条定直线上.‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)=alnx+‎1‎x(a≠0)‎ ‎ ‎(1)求函数f(x)‎的单调区间;‎ ‎ ‎ ‎(2)若存在两条直线y=ax+‎b‎1‎,y=ax+b‎2‎(b‎1‎≠b‎2‎)‎都是曲线y=f(x)‎的切线.求实数a的取值范围;‎ ‎ ‎ ‎(3)若‎|x|f(x)≤0}⊆(0, 1)‎,求实数a的取值范围.‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 参考答案与试题解析 ‎2015年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)‎ 一、选择题共8小题,毎小题5分,共40分.在毎小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 交集及其运算 ‎【解析】‎ 根据集合的基本运算进行求解即可.‎ ‎【解答】‎ 解:A={x|x‎2‎=2}={−‎2‎, ‎2‎}‎,B={1, ‎2‎, 2}‎, 则A∩B={‎2‎}‎, 故选:A.‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 抛物线的求解 ‎【解析】‎ 直接利用抛物线方程求解即可.‎ ‎【解答】‎ 解:抛物线x‎2‎‎=4y的焦点到准线的距离为:P=2‎. 故选:C.‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 函数奇偶性的性质 ‎【解析】‎ 直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可.‎ ‎【解答】‎ 解:函数f(x)‎是奇函数,且当x>0‎时,f(x)=‎ex,则f(−1)=−f(1)=−e. 故选:D.‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 古典概型及其概率计算公式 ‎【解析】‎ 本题考查古典概型概率的求解.‎ ‎【解答】‎ 解:在‎1‎日至‎7‎日中选连续两天, 所有的基本事件为 ‎(1,2)‎,‎(2,3)‎,‎(3,4)‎,‎(4,5)‎,‎(5,6)‎,‎(6,7)‎, 共‎6‎个. 其中满足条件的基本事件为‎(1,2)‎,‎(2,3)‎, 共‎2‎个. 因此所求事件的概率P=‎2‎‎6‎=‎‎1‎‎3‎. 故选B.‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 程序框图 ‎【解析】‎ 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当S=lg24‎时,满足条件S>1‎,退出循环,输出i的值为‎4‎.‎ ‎【解答】‎ 解:模拟执行程序框图,可得 i=1‎,S=0‎ 不满足条件S>1‎,i=2‎,S=lg2‎ 不满足条件S>1‎,i=3‎,S=lg2+lg3=lg6‎ 不满足条件S>1‎,i=4‎,S=lg6+lg4=lg24>lg10=1‎ 满足条件S>1‎,退出循环,输出i的值为‎4‎, 故选:‎C ‎6.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 充分条件、必要条件、充要条件 ‎【解析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【解答】‎ 若sinα>0‎,则角α是第一象限的角或角α是第二象限的角,或α在y轴正半轴上, 则“sinα>0‎”是“角α是第一象限的角”的必要不充分条件,‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 简单线性规划 ‎【解析】‎ 由约束条件作出可行域,然后逐一分析四个选项得答案.‎ ‎【解答】‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 由约束条件x+y≥0‎x≥1‎x−y≥0‎‎ ‎作出可行域如图, 由图可知,平面区域内的点不满足不等式y≥1‎,x≥2‎,x+2y+2≥0‎成立, 只有选项D中的不等式‎2x−y+1≥0‎对平面区域内的点都成立.‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 简单空间图形的三视图 ‎【解析】‎ 根据空间三棱锥的正视图,分别进行验证即可.‎ ‎【解答】‎ 第一个图是选项①的模型;第二个图是选项③的模型;第三个图是选项②④的模, ‎ 二、填空题共6小题,毎小题5分,共30分.‎ ‎【答案】‎ ‎5‎ ‎【考点】‎ 向量的模 ‎【解析】‎ 由已知求出‎|b‎→‎|‎,然后由‎|a‎→‎−b‎→‎‎|‎‎2‎=(a‎→‎−‎b‎→‎‎)‎‎2‎结合平面向量的数量积运算求得答案.‎ ‎【解答】‎ 解:由b‎→‎‎=(1, −1)‎,得‎|b‎→‎|=‎1‎‎2‎‎+(−1‎‎)‎‎2‎=‎‎2‎, 又‎|a‎→‎|=1‎,‎=‎π‎4‎, ∴ ‎|a‎→‎−b‎→‎|=‎(a‎→‎−‎b‎→‎‎)‎‎2‎=‎‎|a‎→‎‎|‎‎2‎−2a‎→‎⋅b‎→‎+|‎b‎→‎‎|‎‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎‎+2×1×‎2‎×‎2‎‎2‎+(‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎. 故答案为:‎5‎.‎ ‎【答案】‎ ‎0‎ ‎【考点】‎ 复数代数形式的乘除运算 ‎【解析】‎ 利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出.‎ ‎【解答】‎ 解:∵ 复数z=a+ii=‎−i(a+i)‎‎−i⋅i=1−ai,且z∈R, ∴ ‎−a=0‎,解得a=0‎. 故答案为:‎0‎.‎ ‎【答案】‎ ‎−12‎‎,‎‎24‎ ‎【考点】‎ 等差数列的前n项和 ‎【解析】‎ 由题意列式求得首项和公差,写出等差数列的前n项和,利用配方法求得最值.‎ ‎【解答】‎ 解:由a‎3‎‎=−6‎,S‎1‎‎=‎S‎3‎,得 a‎1‎‎+2d=−6‎a‎1‎‎=3a‎1‎+3d,解得:a‎1‎‎=18‎d=−12‎. ∴ Sn‎=18n+n(n−1)×(−12)‎‎2‎=−6n‎2‎+24n=−6(n−2‎)‎‎2‎+24‎. ∴ 当n=2‎时,Sn有最大值为‎24‎. 故答案为:‎−12‎,‎24‎.‎ ‎【答案】‎ x−y=0‎ ‎【考点】‎ 轨迹方程 ‎【解析】‎ 求出kAP‎=−1‎,即可求出以点P(‎1‎‎2‎, ‎1‎‎2‎)‎为中点的弦所在直线方程.‎ ‎【解答】‎ 解:‎⊙A:x‎2‎+y‎2‎−2x=0‎的圆心为A(1, 0)‎,P(‎1‎‎2‎, ‎1‎‎2‎)‎,则kAP‎=−1‎, ∴ 以点P(‎1‎‎2‎, ‎1‎‎2‎)‎为中点的弦所在直线方程为y−‎1‎‎2‎=x−‎‎1‎‎2‎,即x−y=0‎. 故答案为:x−y=0‎.‎ ‎【答案】‎ ‎[0, 1]‎ ‎【考点】‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 分段函数的应用 ‎【解析】‎ 若对任意实数b,关于x的方程f(x)−b=‎0‎总有实数根,即对任意实数b,函数f(x)‎的图象与直线y=b总有交点,即函数f(x)‎的值域为R,结合二次函数和一次函数的图象和性质,可得a的取值范围.‎ ‎【解答】‎ 若对任意实数b,关于x的方程f(x)−b=‎0‎总有实数根, 即对任意实数b,函数f(x)‎的图象与直线y=b总有交点, 即函数f(x)‎的值域为R, ∵ f(x)=x,x0‎,∴ Tn‎=2(1−‎1‎‎2‎n)<2‎. ∴ 对任意n∈‎N‎*‎,Tn‎<λ恒成立,则λ≥2‎. ∴ 实数λ的最小值为‎2‎.‎ ‎【考点】‎ 数列的求和 ‎【解析】‎ ‎(1)由a‎2‎是S‎2‎与‎1‎的等差中项列式求出首项,则‎{an}‎是以‎1‎为首项,‎2‎为公比的等比数列.由等比数列的通项公式得答案;‎ ‎(2)由(1)可得:‎1‎an‎=(‎‎1‎‎2‎‎)‎n−1‎,说明数列‎{‎1‎an}‎是以‎1‎为首项,以‎1‎‎2‎为公比的等比数列,则数列‎{‎1‎an}‎的前n项和为Tn可求,结合Tn‎<λ恒成立求得实数λ的最小值.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)∵ an+1‎‎=2an(n∈N‎*‎)‎, ∴ S‎2‎‎=a‎1‎+a‎2‎=a‎1‎+2a‎1‎=3‎a‎1‎, 则‎4a‎1‎=3a‎1‎+1‎,a‎1‎‎=1‎. ∴ ‎{an}‎是以‎1‎为首项,‎2‎为公比的等比数列. ∴ an‎=1×‎2‎n−1‎=‎‎2‎n−1‎;‎ ‎(2)由(1)可得:‎1‎an‎=(‎‎1‎‎2‎‎)‎n−1‎, ∴ ‎1‎a‎1‎‎=1‎,‎1‎an+1‎‎=‎1‎‎2‎⋅‎‎1‎an, ∴ 数列‎{‎1‎an}‎是以‎1‎为首项,以‎1‎‎2‎为公比的等比数列. ∴ 数列‎{‎1‎an}‎的前n项和为Tn‎=‎1−‎‎1‎‎2‎n‎1−‎‎1‎‎2‎=2(1−‎1‎‎2‎n)‎. ∵ ‎1‎‎2‎n‎>0‎,∴ Tn‎=2(1−‎1‎‎2‎n)<2‎. ∴ 对任意n∈‎N‎*‎,Tn‎<λ恒成立,则λ≥2‎. ∴ 实数λ的最小值为‎2‎.‎ ‎【答案】‎ ‎(I)a‎=‎0.015‎ ‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎(2)S‎1‎‎2‎‎<‎S‎2‎‎2‎, ‎(‎Ⅲ‎)‎乙种酸奶平均日销售量为: x‎¯‎‎=5×0.20+15×0.10+25×0.35+35×0.15+45×0.25‎=‎26.5‎(箱) 乙种酸奶未来一个月的销售量为:‎26.5×30‎=‎795‎(箱)‎ ‎【考点】‎ 频率分布直方图 极差、方差与标准差 ‎【解析】‎ ‎(I)根据频率分布直方图的给出的数据得出‎0.1−0.01−0.02−0.030−0.025‎=‎0‎,‎015‎,即可得出a的值. ‎(II)‎运用非常公式求解即可得出大小. ‎(III)‎求解平均数得出x‎¯‎‎=26.5‎(箱),运用‎30‎天求解即可得出:‎26.5×30‎为一个月(按‎30‎天计箅)的销售量总量.‎ ‎【解答】‎ ‎(I)a‎=‎0.015‎ (2)S‎1‎‎2‎‎<‎S‎2‎‎2‎, ‎(‎Ⅲ‎)‎乙种酸奶平均日销售量为: x‎¯‎‎=5×0.20+15×0.10+25×0.35+35×0.15+45×0.25‎=‎26.5‎(箱) 乙种酸奶未来一个月的销售量为:‎26.5×30‎=‎795‎(箱)‎ ‎【答案】‎ 解:(1)∵ sin‎2‎A=sinBsinC.由正弦定理可得a‎2‎‎=bc, 由余弦定理可得:cosA=‎b‎2‎‎+c‎2‎−‎a‎2‎‎2bc, ∴ ‎1‎‎2‎‎=‎b‎2‎‎+c‎2‎−bc‎2bc,化为‎(b−c‎)‎‎2‎=0‎, ∴ b=c. ∴ ‎△ABC是等边三角形, ∴ B=‎π‎3‎.‎ ‎(2)∵ bc=1‎,a‎2‎‎=bc, 由余弦定理可得:cosA=b‎2‎‎+c‎2‎−‎a‎2‎‎2bc=b‎2‎‎+c‎2‎−1‎‎2‎≥‎2bc−1‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎,A∈(0, π)‎. ∴ ‎0b>0)‎过点 A(0, −l)‎,∴ a=2‎,b=1‎,∴ a‎2‎‎=4‎,∴ b‎2‎‎=1‎, ∴ 椭圆C的方程为:x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎(2)椭圆M上存在点B,C关于直线y=kx−1‎对称,设B(x‎1‎, y‎1‎)‎,C(x‎2‎, y‎2‎)‎,y‎1‎‎≠‎y‎2‎ BC的中点‎(x‎0‎, y‎0‎)‎,直线y=kx−1‎且k≠0‎,恒过‎(0, −1)‎,‎|AB|=|AC|‎, 则x‎1‎‎2‎‎+(y‎1‎+1‎)‎‎2‎=x‎2‎‎2‎+(y‎2‎+1‎‎)‎‎2‎, 点B,C在椭圆上, ∴ x‎1‎‎2‎‎=4−4‎y‎1‎‎2‎,x‎2‎‎2‎‎=4−4‎y‎2‎‎2‎,∴ ‎4−4y‎1‎‎2‎+(y‎1‎+1‎)‎‎2‎=4−4y‎2‎‎2‎+(y‎2‎+1‎‎)‎‎2‎, 化简可得:‎3y‎1‎‎2‎−3y‎2‎‎2‎=2(y‎1‎−y‎2‎)‎.∴ y‎0‎‎=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎3‎. 又因为BC的中点在y=kx−1‎上,所以y‎0‎‎=kx‎0‎−1‎,x‎0‎‎=‎‎4‎‎3k由x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎y=‎‎1‎‎3‎,可得x=±‎‎4‎‎2‎‎3‎, ∴ ‎0<‎4‎‎3k<‎‎4‎‎2‎‎3‎,或‎−‎4‎‎2‎‎3‎<‎4‎‎3k<0‎,即k<−‎‎2‎‎2‎或k>‎‎2‎‎2‎, ∴ k的所有取值构成的集合S={k|k<−‎2‎‎2‎或k>‎2‎‎2‎}‎. 所以对于‎∀k∈S,BC的中点恒定在一条定直线y=‎‎1‎‎3‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 上.‎ ‎【考点】‎ 圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆的离心率 直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 ‎【解析】‎ ‎(1)根据椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎经过点A(0, −1)‎,且离心率e=‎‎3‎‎2‎,结合b‎2‎‎=a‎2‎−‎c‎2‎,即可求得椭圆C的方程;‎ ‎(2)设B(x‎1‎, y‎1‎)‎,C(x‎2‎, y‎2‎)‎,y‎1‎‎≠y‎2‎BC的中点‎(x‎0‎, y‎0‎)‎,直线y=kx−1‎且k≠0‎,恒过‎(0, −1)‎,‎|AB|=|AC|‎,点B,C在椭圆上,化简可得y‎0‎‎=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎3‎.BC的中点在y=kx−1‎上,解得x‎0‎‎=‎‎4‎‎3k,利用x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎y=‎‎1‎‎3‎,可得x=±‎‎4‎‎2‎‎3‎,推出k的不等式,得到结果.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)由已知e=‎‎3‎‎2‎,即c‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎a‎2‎,b‎2‎‎=a‎2‎−c‎2‎=‎‎1‎‎4‎a‎2‎, x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎过点 A(0, −l)‎,∴ a=2‎,b=1‎,∴ a‎2‎‎=4‎,∴ b‎2‎‎=1‎, ∴ 椭圆C的方程为:x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎(2)椭圆M上存在点B,C关于直线y=kx−1‎对称,设B(x‎1‎, y‎1‎)‎,C(x‎2‎, y‎2‎)‎,y‎1‎‎≠‎y‎2‎ BC的中点‎(x‎0‎, y‎0‎)‎,直线y=kx−1‎且k≠0‎,恒过‎(0, −1)‎,‎|AB|=|AC|‎, 则x‎1‎‎2‎‎+(y‎1‎+1‎)‎‎2‎=x‎2‎‎2‎+(y‎2‎+1‎‎)‎‎2‎, 点B,C在椭圆上, ∴ x‎1‎‎2‎‎=4−4‎y‎1‎‎2‎,x‎2‎‎2‎‎=4−4‎y‎2‎‎2‎,∴ ‎4−4y‎1‎‎2‎+(y‎1‎+1‎)‎‎2‎=4−4y‎2‎‎2‎+(y‎2‎+1‎‎)‎‎2‎, 化简可得:‎3y‎1‎‎2‎−3y‎2‎‎2‎=2(y‎1‎−y‎2‎)‎.∴ y‎0‎‎=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎3‎. 又因为BC的中点在y=kx−1‎上,所以y‎0‎‎=kx‎0‎−1‎,x‎0‎‎=‎‎4‎‎3k由x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎y=‎‎1‎‎3‎,可得x=±‎‎4‎‎2‎‎3‎, ∴ ‎0<‎4‎‎3k<‎‎4‎‎2‎‎3‎,或‎−‎4‎‎2‎‎3‎<‎4‎‎3k<0‎,即k<−‎‎2‎‎2‎或k>‎‎2‎‎2‎, ∴ k的所有取值构成的集合S={k|k<−‎2‎‎2‎或k>‎2‎‎2‎}‎. 所以对于‎∀k∈S,BC的中点恒定在一条定直线y=‎‎1‎‎3‎上.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)f′(x)=ax−‎1‎x‎2‎=ax−1‎x‎2‎(x>0)‎, 当a<0‎时,f′(x)<0‎,则函数f(x)‎的单调递减区间是‎(0, +∞)‎, 当a>0‎时,令f′(x)=0‎,得x=‎‎1‎a, 当x变化时,f′(x)‎,f(x)‎的变化情况如下: ‎ x ‎(0, ‎1‎a)‎ ‎1‎a ‎(‎1‎a, +∞)‎ ‎ ‎f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ ‎∴ f(x)‎在‎(0, ‎1‎a)‎单调递减,在‎(‎1‎a, +∞)‎单调递增;‎ ‎(2)若存在两条直线y=ax+‎b‎1‎,y=ax+b‎2‎(b‎1‎≠b‎2‎)‎都是曲线y=f(x)‎的切线, ∴ f′(x)=a至少有两个不等的正实根, 令ax−1‎x‎2‎‎=a得ax‎2‎−ax+1=0‎,记其两个实根分别为x‎1‎,x‎2‎, 则‎△=a‎2‎−4a>0‎x‎1‎‎⋅x‎2‎=‎1‎a>0‎,解得:a>4‎, 当a>4‎时,曲线y=f(x)‎在点(x‎1‎‎, f(x‎1‎)‎),(x‎2‎‎, f(x‎2‎)‎)处的切线分别为: y=ax+f(x‎1‎)−ax‎1‎,y=ax+f(x‎2‎)−ax‎2‎, 令F(x)=f(x)−ax(x>0)‎, 由F′(x)=f′(x)−a=0‎得x=‎x‎1‎,x=‎x‎2‎(不防设x‎1‎‎<‎x‎2‎), 且当x‎1‎‎0‎,即F(x)‎在‎[x‎1‎, x‎2‎]‎上是单调函数, ∴ F(x‎1‎)≠F(x‎2‎)‎; ∴ y=ax+f(x‎1‎)−ax‎1‎,y=ax+f(x‎2‎)−ax‎2‎是曲线y=f(x)‎的两条不同的切线, ∴ 实数a的范围是‎(4, +∞)‎;‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎(3)当a<0‎时,函数f(x)‎是‎(0, +∞)‎内的减函数, ∵ f(e‎−‎‎1‎a)=aln(e‎−‎‎1‎a)+‎1‎e‎−‎‎1‎a=−1+‎1‎e‎−‎‎1‎a=e‎1‎a−1<0‎,而e‎−‎‎1‎a‎∉(0, 1)‎,不符合题意, 当a>0‎时,由(1)知:f(x)‎的最小值是f(‎1‎a)=−alna+a=a(1−lna)‎, ①若f(‎1‎a)>0‎,即‎0e时,有‎0<‎1‎a<1‎, ∵ f(1)=1>0‎,函数f(x)‎在‎(‎1‎a, +∞)‎内是增函数, ∴ 当x≥1‎时,f(x)>0‎, 又∵ 函数f(x)‎的定义域是‎(0, +∞)‎, ∴ ‎{x|f(x)≤0}⊆(0, 1)‎, ∴ a>e符合题意, 综上,实数a的范围是‎{a|a>0}‎.‎ ‎【考点】‎ 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【解析】‎ ‎(1)先求出函数的导数,通过讨论a的符号,从而求出函数的单调区间;‎ ‎(2)问题转化为f′(x)=a至少有两个不等的正实根,根据二次函数的性质结合函数的单调性从而得到a的范围;‎ ‎(3)a<0‎时,不合题意,a>0‎时,通过讨论f(‎1‎a)‎的符号,结合函数的单调性,从而求出a的范围.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)f′(x)=ax−‎1‎x‎2‎=ax−1‎x‎2‎(x>0)‎, 当a<0‎时,f′(x)<0‎,则函数f(x)‎的单调递减区间是‎(0, +∞)‎, 当a>0‎时,令f′(x)=0‎,得x=‎‎1‎a, 当x变化时,f′(x)‎,f(x)‎的变化情况如下: ‎ x ‎(0, ‎1‎a)‎ ‎1‎a ‎(‎1‎a, +∞)‎ ‎ ‎f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ ‎∴ f(x)‎在‎(0, ‎1‎a)‎单调递减,在‎(‎1‎a, +∞)‎单调递增;‎ ‎(2)若存在两条直线y=ax+‎b‎1‎,y=ax+b‎2‎(b‎1‎≠b‎2‎)‎都是曲线y=f(x)‎的切线, ∴ f′(x)=a至少有两个不等的正实根, 令ax−1‎x‎2‎‎=a得ax‎2‎−ax+1=0‎,记其两个实根分别为x‎1‎,x‎2‎, 则‎△=a‎2‎−4a>0‎x‎1‎‎⋅x‎2‎=‎1‎a>0‎,解得:a>4‎, 当a>4‎时,曲线y=f(x)‎在点(x‎1‎‎, f(x‎1‎)‎),(x‎2‎‎, f(x‎2‎)‎)处的切线分别为: y=ax+f(x‎1‎)−ax‎1‎,y=ax+f(x‎2‎)−ax‎2‎, 令F(x)=f(x)−ax(x>0)‎, 由F′(x)=f′(x)−a=0‎得x=‎x‎1‎,x=‎x‎2‎(不防设x‎1‎‎<‎x‎2‎), 且当x‎1‎‎0‎,即F(x)‎在‎[x‎1‎, x‎2‎]‎上是单调函数, ∴ F(x‎1‎)≠F(x‎2‎)‎; ∴ y=ax+f(x‎1‎)−ax‎1‎,y=ax+f(x‎2‎)−ax‎2‎是曲线y=f(x)‎的两条不同的切线, ∴ 实数a的范围是‎(4, +∞)‎;‎ ‎(3)当a<0‎时,函数f(x)‎是‎(0, +∞)‎内的减函数, ∵ f(e‎−‎‎1‎a)=aln(e‎−‎‎1‎a)+‎1‎e‎−‎‎1‎a=−1+‎1‎e‎−‎‎1‎a=e‎1‎a−1<0‎,而e‎−‎‎1‎a‎∉(0, 1)‎,不符合题意, 当a>0‎时,由(1)知:f(x)‎的最小值是f(‎1‎a)=−alna+a=a(1−lna)‎, ①若f(‎1‎a)>0‎,即‎0e时,有‎0<‎1‎a<1‎, ∵ f(1)=1>0‎,函数f(x)‎在‎(‎1‎a, +∞)‎内是增函数, ∴ 当x≥1‎时,f(x)>0‎, 又∵ 函数f(x)‎的定义域是‎(0, +∞)‎, ∴ ‎{x|f(x)≤0}⊆(0, 1)‎, ∴ a>e符合题意, 综上,实数a的范围是‎{a|a>0}‎.‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页