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2015年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题共8小题，毎小题5分，共40分．在毎小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合A={x|x2=2}，B={1, 2, 2}，则A∩B=( )
A.{2} B.{2} C.{−2, 1, 2, 2} D.{−2, 1, 2, 2}
2. 抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（ ）
A.12 B.1 C.2 D.4
3. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=ex，则f(−1)=( )
A.1e B.−1e C.e D.−e
4. 某单位计划在3月1日至7日举办经验交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（ ）
A.12 B.13 C.14 D.16
5. 执行如图所示的程序框图，输出的i值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
6. “sinα>0”是“角α是第一象限的角”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 若x，y满足x+y≥0x≥1x−y≥0 则下列不等式恒成立的是（ ）
A.y≥1 B.x≥2 C.x+2y+2≥0 D.2x−y+1≥0
8. 某三棱锥的正视图如图所示，则下列图①②③④，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ）
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
二、填空题共6小题，毎小题5分，共30分．
已知单位向量a→与向量b→=(1, −1)的夹角为π4，则|a→−b→|=________．
若复数z=a+ii，且z∈R，则实数a=________．
已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a3=−6，S1=S3，则公差d=________； Sn的最大值为________．
对于⊙A:x2+y2−2x=0，以点(12, 12)为中点的弦所在的直线方程是________．
设f(x)=x,xb>0)过点 A(0, −l)，且离心率e=32．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若椭圆M上存在点B，C关于直线y=kx−1对称，求k的所有取值构成的集合S，并证明对于∀k∈S，BC的中点恒定在一条定直线上．
已知函数f(x)=alnx+1x(a≠0)
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若存在两条直线y=ax+b1，y=ax+b2(b1≠b2)都是曲线y=f(x)的切线．求实数a的取值范围；
（3）若|x|f(x)≤0}⊆(0, 1)，求实数a的取值范围．
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参考答案与试题解析
2015年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题共8小题，毎小题5分，共40分．在毎小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】
解：A={x|x2=2}={−2, 2}，B={1, 2, 2}，
则A∩B={2}，
故选：A．
2.
【答案】
C
【考点】
抛物线的求解
【解析】
直接利用抛物线方程求解即可．
【解答】
解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．
故选：C．
3.
【答案】
D
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可．
【解答】
解：函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=ex，则f(−1)=−f(1)=−e．
故选：D．
4.
【答案】
B
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
本题考查古典概型概率的求解．
【解答】
解：在1日至7日中选连续两天，
所有的基本事件为
(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，
共6个．
其中满足条件的基本事件为(1,2)，(2,3)，
共2个．
因此所求事件的概率P=26=13．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=lg24时，满足条件S>1，退出循环，输出i的值为4．
【解答】
解：模拟执行程序框图，可得
i=1，S=0
不满足条件S>1，i=2，S=lg2
不满足条件S>1，i=3，S=lg2+lg3=lg6
不满足条件S>1，i=4，S=lg6+lg4=lg24>lg10=1
满足条件S>1，退出循环，输出i的值为4，
故选：C
6.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
若sinα>0，则角α是第一象限的角或角α是第二象限的角，或α在y轴正半轴上，
则“sinα>0”是“角α是第一象限的角”的必要不充分条件，
7.
【答案】
D
【考点】
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】
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由约束条件x+y≥0x≥1x−y≥0 作出可行域如图，
由图可知，平面区域内的点不满足不等式y≥1，x≥2，x+2y+2≥0成立，
只有选项D中的不等式2x−y+1≥0对平面区域内的点都成立．
8.
【答案】
D
【考点】
简单空间图形的三视图
【解析】
根据空间三棱锥的正视图，分别进行验证即可．
【解答】
第一个图是选项①的模型；第二个图是选项③的模型；第三个图是选项②④的模，
二、填空题共6小题，毎小题5分，共30分．
【答案】
5
【考点】
向量的模
【解析】
由已知求出|b→|，然后由|a→−b→|2=(a→−b→)2结合平面向量的数量积运算求得答案．
【解答】
解：由b→=(1, −1)，得|b→|=12+(−1)2=2，
又|a→|=1，=π4，
∴ |a→−b→|=(a→−b→)2=|a→|2−2a→⋅b→+|b→|2
=12+2×1×2×22+(2)2=5．
故答案为：5．
【答案】
0
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．
【解答】
解：∵ 复数z=a+ii=−i(a+i)−i⋅i=1−ai，且z∈R，
∴ −a=0，解得a=0．
故答案为：0．
【答案】
−12,24
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
由题意列式求得首项和公差，写出等差数列的前n项和，利用配方法求得最值．
【解答】
解：由a3=−6，S1=S3，得
a1+2d=−6a1=3a1+3d，解得：a1=18d=−12．
∴ Sn=18n+n(n−1)×(−12)2=−6n2+24n=−6(n−2)2+24．
∴ 当n=2时，Sn有最大值为24．
故答案为：−12，24．
【答案】
x−y=0
【考点】
轨迹方程
【解析】
求出kAP=−1，即可求出以点P(12, 12)为中点的弦所在直线方程．
【解答】
解：⊙A:x2+y2−2x=0的圆心为A(1, 0)，P(12, 12)，则kAP=−1，
∴ 以点P(12, 12)为中点的弦所在直线方程为y−12=x−12，即x−y=0．
故答案为：x−y=0．
【答案】
[0, 1]
【考点】
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分段函数的应用
【解析】
若对任意实数b，关于x的方程f(x)−b＝0总有实数根，即对任意实数b，函数f(x)的图象与直线y＝b总有交点，即函数f(x)的值域为R，结合二次函数和一次函数的图象和性质，可得a的取值范围．
【解答】
若对任意实数b，关于x的方程f(x)−b＝0总有实数根，
即对任意实数b，函数f(x)的图象与直线y＝b总有交点，
即函数f(x)的值域为R，
∵ f(x)=x,x0，∴ Tn=2(1−12n)<2．
∴ 对任意n∈N*，Tn<λ恒成立，则λ≥2．
∴ 实数λ的最小值为2．
【考点】
数列的求和
【解析】
（1）由a2是S2与1的等差中项列式求出首项，则{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．由等比数列的通项公式得答案；
（2）由（1）可得：1an=(12)n−1，说明数列{1an}是以1为首项，以12为公比的等比数列，则数列{1an}的前n项和为Tn可求，结合Tn<λ恒成立求得实数λ的最小值．
【解答】
解：（1）∵ an+1=2an(n∈N*)，
∴ S2=a1+a2=a1+2a1=3a1，
则4a1=3a1+1，a1=1．
∴ {an}是以1为首项，2为公比的等比数列．
∴ an=1×2n−1=2n−1；
（2）由（1）可得：1an=(12)n−1，
∴ 1a1=1，1an+1=12⋅1an，
∴ 数列{1an}是以1为首项，以12为公比的等比数列．
∴ 数列{1an}的前n项和为Tn=1−12n1−12=2(1−12n)．
∵ 12n>0，∴ Tn=2(1−12n)<2．
∴ 对任意n∈N*，Tn<λ恒成立，则λ≥2．
∴ 实数λ的最小值为2．
【答案】
(I)a＝0.015
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（2）S12<S22，
(Ⅲ)乙种酸奶平均日销售量为：
x¯=5×0.20+15×0.10+25×0.35+35×0.15+45×0.25＝26.5（箱）
乙种酸奶未来一个月的销售量为：26.5×30＝795（箱）
【考点】
频率分布直方图
极差、方差与标准差
【解析】
（I）根据频率分布直方图的给出的数据得出0.1−0.01−0.02−0.030−0.025＝0，015，即可得出a的值．
(II)运用非常公式求解即可得出大小．
(III)求解平均数得出x¯=26.5（箱），运用30天求解即可得出：26.5×30为一个月（按30天计箅）的销售量总量．
【解答】
(I)a＝0.015
（2）S12<S22，
(Ⅲ)乙种酸奶平均日销售量为：
x¯=5×0.20+15×0.10+25×0.35+35×0.15+45×0.25＝26.5（箱）
乙种酸奶未来一个月的销售量为：26.5×30＝795（箱）
【答案】
解：（1）∵ sin2A=sinBsinC．由正弦定理可得a2=bc，
由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc，
∴ 12=b2+c2−bc2bc，化为(b−c)2=0，
∴ b=c．
∴ △ABC是等边三角形，
∴ B=π3．
（2）∵ bc=1，a2=bc，
由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−12≥2bc−12=12，A∈(0, π)．
∴ 0b>0)过点 A(0, −l)，∴ a=2，b=1，∴ a2=4，∴ b2=1，
∴ 椭圆C的方程为：x24+y2=1．
（2）椭圆M上存在点B，C关于直线y=kx−1对称，设B(x1, y1)，C(x2, y2)，y1≠y2
BC的中点(x0, y0)，直线y=kx−1且k≠0，恒过(0, −1)，|AB|=|AC|，
则x12+(y1+1)2=x22+(y2+1)2，
点B，C在椭圆上，
∴ x12=4−4y12，x22=4−4y22，∴ 4−4y12+(y1+1)2=4−4y22+(y2+1)2，
化简可得：3y12−3y22=2(y1−y2)．∴ y0=y1+y22=13．
又因为BC的中点在y=kx−1上，所以y0=kx0−1，x0=43k由x24+y2=1y=13，可得x=±423，
∴ 0<43k<423，或−423<43k<0，即k<−22或k>22，
∴ k的所有取值构成的集合S={k|k<−22或k>22}．
所以对于∀k∈S，BC的中点恒定在一条定直线y=13
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上．
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
【解析】
（1）根据椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0, −1)，且离心率e=32，结合b2=a2−c2，即可求得椭圆C的方程；
（2）设B(x1, y1)，C(x2, y2)，y1≠y2BC的中点(x0, y0)，直线y=kx−1且k≠0，恒过(0, −1)，|AB|=|AC|，点B，C在椭圆上，化简可得y0=y1+y22=13．BC的中点在y=kx−1上，解得x0=43k，利用x24+y2=1y=13，可得x=±423，推出k的不等式，得到结果．
【解答】
解：（1）由已知e=32，即c2=34a2，b2=a2−c2=14a2，
x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点 A(0, −l)，∴ a=2，b=1，∴ a2=4，∴ b2=1，
∴ 椭圆C的方程为：x24+y2=1．
（2）椭圆M上存在点B，C关于直线y=kx−1对称，设B(x1, y1)，C(x2, y2)，y1≠y2
BC的中点(x0, y0)，直线y=kx−1且k≠0，恒过(0, −1)，|AB|=|AC|，
则x12+(y1+1)2=x22+(y2+1)2，
点B，C在椭圆上，
∴ x12=4−4y12，x22=4−4y22，∴ 4−4y12+(y1+1)2=4−4y22+(y2+1)2，
化简可得：3y12−3y22=2(y1−y2)．∴ y0=y1+y22=13．
又因为BC的中点在y=kx−1上，所以y0=kx0−1，x0=43k由x24+y2=1y=13，可得x=±423，
∴ 0<43k<423，或−423<43k<0，即k<−22或k>22，
∴ k的所有取值构成的集合S={k|k<−22或k>22}．
所以对于∀k∈S，BC的中点恒定在一条定直线y=13上．
【答案】
解：（1）f′(x)=ax−1x2=ax−1x2(x>0)，
当a<0时，f′(x)<0，则函数f(x)的单调递减区间是(0, +∞)，
当a>0时，令f′(x)=0，得x=1a，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0, 1a)
1a
(1a, +∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↓
极小值
↑
∴ f(x)在(0, 1a)单调递减，在(1a, +∞)单调递增；
（2）若存在两条直线y=ax+b1，y=ax+b2(b1≠b2)都是曲线y=f(x)的切线，
∴ f′(x)=a至少有两个不等的正实根，
令ax−1x2=a得ax2−ax+1=0，记其两个实根分别为x1，x2，
则△=a2−4a>0x1⋅x2=1a>0，解得：a>4，
当a>4时，曲线y=f(x)在点（x1, f(x1)），（x2, f(x2)）处的切线分别为：
y=ax+f(x1)−ax1，y=ax+f(x2)−ax2，
令F(x)=f(x)−ax(x>0)，
由F′(x)=f′(x)−a=0得x=x1，x=x2（不防设x1<x2），
且当x10，即F(x)在[x1, x2]上是单调函数，
∴ F(x1)≠F(x2)；
∴ y=ax+f(x1)−ax1，y=ax+f(x2)−ax2是曲线y=f(x)的两条不同的切线，
∴ 实数a的范围是(4, +∞)；
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（3）当a<0时，函数f(x)是(0, +∞)内的减函数，
∵ f(e−1a)=aln(e−1a)+1e−1a=−1+1e−1a=e1a−1<0，而e−1a∉(0, 1)，不符合题意，
当a>0时，由（1）知：f(x)的最小值是f(1a)=−alna+a=a(1−lna)，
①若f(1a)>0，即0e时，有0<1a<1，
∵ f(1)=1>0，函数f(x)在(1a, +∞)内是增函数，
∴ 当x≥1时，f(x)>0，
又∵ 函数f(x)的定义域是(0, +∞)，
∴ {x|f(x)≤0}⊆(0, 1)，
∴ a>e符合题意，
综上，实数a的范围是{a|a>0}．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
（1）先求出函数的导数，通过讨论a的符号，从而求出函数的单调区间；
（2）问题转化为f′(x)=a至少有两个不等的正实根，根据二次函数的性质结合函数的单调性从而得到a的范围；
（3）a<0时，不合题意，a>0时，通过讨论f(1a)的符号，结合函数的单调性，从而求出a的范围．
【解答】
解：（1）f′(x)=ax−1x2=ax−1x2(x>0)，
当a<0时，f′(x)<0，则函数f(x)的单调递减区间是(0, +∞)，
当a>0时，令f′(x)=0，得x=1a，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0, 1a)
1a
(1a, +∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↓
极小值
↑
∴ f(x)在(0, 1a)单调递减，在(1a, +∞)单调递增；
（2）若存在两条直线y=ax+b1，y=ax+b2(b1≠b2)都是曲线y=f(x)的切线，
∴ f′(x)=a至少有两个不等的正实根，
令ax−1x2=a得ax2−ax+1=0，记其两个实根分别为x1，x2，
则△=a2−4a>0x1⋅x2=1a>0，解得：a>4，
当a>4时，曲线y=f(x)在点（x1, f(x1)），（x2, f(x2)）处的切线分别为：
y=ax+f(x1)−ax1，y=ax+f(x2)−ax2，
令F(x)=f(x)−ax(x>0)，
由F′(x)=f′(x)−a=0得x=x1，x=x2（不防设x1<x2），
且当x10，即F(x)在[x1, x2]上是单调函数，
∴ F(x1)≠F(x2)；
∴ y=ax+f(x1)−ax1，y=ax+f(x2)−ax2是曲线y=f(x)的两条不同的切线，
∴ 实数a的范围是(4, +∞)；
（3）当a<0时，函数f(x)是(0, +∞)内的减函数，
∵ f(e−1a)=aln(e−1a)+1e−1a=−1+1e−1a=e1a−1<0，而e−1a∉(0, 1)，不符合题意，
当a>0时，由（1）知：f(x)的最小值是f(1a)=−alna+a=a(1−lna)，
①若f(1a)>0，即0e时，有0<1a<1，
∵ f(1)=1>0，函数f(x)在(1a, +∞)内是增函数，
∴ 当x≥1时，f(x)>0，
又∵ 函数f(x)的定义域是(0, +∞)，
∴ {x|f(x)≤0}⊆(0, 1)，
∴ a>e符合题意，
综上，实数a的范围是{a|a>0}．
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