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- 2021-06-24 发布
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辽宁省沈阳市重点高中协作校2019-2020学年高一上学期
期中考试数学试题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,所以，故选A.
2.若命题，，则该命题的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】根据特称命题的否定是全称命题，得，因为命题，，则该命题的否定为，，
故选：D.
3.设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解不等式，得；解不等式，得或。
设集合，或。
充分性：因为，故充分性成立；
必要性：当或时，不一定成立，故必要性不成立；
综上可得“”是“”的充分而不必要条件。
故选：A。
4.函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数定义域是，所以无意义，
而，，，,
所以根据零点存在定理得函数的零点所在的区间为，
故选：C.
5.对于任意实数、、、，命题：①若，，则； ②若，则； ③，则；④若且，则； ⑤若，，则.其中真命题的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】①项，当时，，故①项错误；
②项，当时，，故②项错误；
③项，由，得即，所以，故③项正确；
④项，取，满足且，但此时，故④项不正确；
⑤项，当，时，满足，此时，故⑤项错误；
综上所述，正确命题为③。
故选：A。
6.若函数，则的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. -4
【答案】C
【解析】因为，所以，又，所以，所以，
故选：C.
7.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知得函数的对称轴，解得，
故选：A.
8.二次函数的图象如图所示，设，，则（ ）
A. B.
C. D. 、的大小关系不能确定
【答案】A
【解析】
【详解】由二次函数的图像可得，，
由和得，所以，由得，
所以，
，又，
所以，所以.
故选：A.
9.已知函数满足，,则的值为（ ）
A. 15 B. 30 C. 60 D. 75
【答案】B
【解析】由,令,得.所以
,
故选：B.
10.定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为为奇函数且在单调递减，故在上单调递减，且，又，故。
由以上可知，当或时，，；当或时，，
故不等式等价于或，即或，
故选：D.
11.设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为( )
A. ； B.
C. ； D.
【答案】B
【解析】由条件得：
∴函数y=f（x+a）+f（x-a）的定义域就是集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集．
（1）当a＞时，1-a＜a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，
∴此时，函数y没有意义；
（2）当0≤a≤时，-a≤a≤1-a≤1+a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|a≤x≤1-a}，
即函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a}；
（3）当-≤a＜0时，a＜-a≤1+a＜1-a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|-a≤x≤1+a}，
即函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a}；
（4）当a＜-时，1+a＜-a，
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，
∴此时，函数y没有意义．
要使函数f（x-a）+f（x+a）有定义，a∈故选B．
12.函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知函数定义域为, 则的定义域满足,所以,
所以的定义域为,
所以 ，，
所以在单调递减, 在单调递增,
则当 时，的最小值为 ，
当 时，的最大值为，
所以的值域为，
故选：C.
二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）
13.《九章算术》第八章“方程”问题八：今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足.卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百.问牛、羊、豕各几何？“如果卖掉2头牛和5只羊，可买13口猪，还余1000钱；卖掉3头牛和3口猪的钱恰好可买9只羊；而卖掉6只羊和8口猪，去买5头牛，还少600钱.问牛、羊、猪的价格各是多少”.按照题意，可解出牛______钱、羊______钱、猪______钱.
【答案】 (1). 1200 (2). 500 (3). 300
【解析】设每头牛的价钱是元，每只羊的价钱是元，每头猪的价钱是元．
根据题意，得
解这个方程组，得 故答案为：1200，500，300.
14.已知两个正数，满足：，则的最小值为______.
【答案】18
【解析】因为，是两个正数，运用基本不等式可得, 当且仅当“”时，取等号，
令,即,可得.
即得到,可解得或.
又注意到,故解为,
所以.故答案为:18.
15.如果关于的方程的两根分别在区间和内，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】令，由已知得且，即且，所以，
当时，要使关于的方程的两根分别在区间和内，则需满足，即解得，
当时，要使关于的方程的两根分别在区间和内，则需满足，即解得无解，
综上可知：实数的取值范围是，
故答案为：.
16.关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为______.
【答案】
【解析】对关于的方程去分母,得，要使关于的方程的解集中只含有一个元素，
则方程有两个相等的实数根，且该根不等于2，或者方程有两个不等的实数根，且这两根中只有一个根是0或是2,
当方程有两个相等的实数根，且该根不等于2，此时，解得，经检验得此时方程的根不等于2；所以满足题意；
当方程有两个不等的实数根，且这两根中只有一个根是0或是2,此时，解得，当方程的根为0时，即，解得，满足；当方程的根为2时，即，解得，满足，
综上可得：的取值集合为.
三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，又，
∴.
（2）∵，∴，
当时，即时，符合题意，此时，
当时，，
解得.
综上，的范围为.
18.为了鼓励节约用电，辽宁省实行阶梯电价制度，其中每户的用电单价与户年用电量的关系如下表所示.
分档
户年用电量（度）
用电单价（元/度）
第一阶梯
0.5
第二阶梯
0.55
第三阶梯
0.80
记用户年用电量为度时应缴纳的电费为元.
（1）写出的解析式；
（2）假设居住在沈阳的范伟一家2018年共用电3000度，则范伟一家2018年应缴纳电费多少元？
（3）居住在大连的张莉一家在2018年共缴纳电费1942元，则张莉一家在2018年用了多少度电？
解：（1）根据每户的用电单价与户年用电量的关系表，可以得出：
当时，；
当时，；
当时，，
所以；
（2）由条件得，所以范伟一家2018年应缴纳电费为元，
所以范伟一家2018年应缴纳电费为1518元;
（3）若张莉一家在2018年用了3720度电，则所交的电费为，所以张莉一家在2018年用的电的度数大于3720度，所以设张莉一家在2018年用的电为度，则，且，解得，所以张莉一家在2018年用了3755度电.
19.求关于的不等式的解集.
解：（1）当时，原不等式可化为，解得.
（2）当时，原不等式可化为，且，
若时，，且，所以的解集为，
若时，，且，所以的解集为，
若时，，且，所以的解集为，
若时，，且，所以的解集为.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或.
20.已知：且，求证：.
解：解方程组得，∴，
∵
，
所以，当且仅当，，时，等号成立.
21.研究函数的性质，并在规定区域内画出草图.
解：做出函数的图像如下图所示，
（1）由分母得函数的定义域为：；
（2）因为，所以是偶函数.
（3）因为函数是偶函数，所以只需证明时函数单调性的情况即可，设，且，
，又，，
当时，，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为是偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减；
所以在和上单调递减；在和上单调递增，
又，所以函数的值域为：.
22.已知函数，有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
（1）已知，，利用上述性质，求的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数的值.
解：（1），
设，∵，∴，由，可得
当时，即时，单调递减，
∴函数单调递减区间为，
当时，即时，单调递增，
∴函数的单调递增区间为，
由，，，得的值域为.
（2）为减函数，故当时，，
由题知的值域是的值域的子集，∴，解得.
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