人教A数学必修一函数模型的应用实例目标导学 6页

‎3.2.2　‎函数模型的应用实例 问题导学 一、分段函数模型应用举例 活动与探究1‎ 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：‎ R(x)＝其中x是仪器的月产量．‎ ‎(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；‎ ‎(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)‎ 迁移与应用 某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式是P＝ 该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式是Q＝－t＋40,0＜t≤30，t∈N*.‎ ‎(1)求这种商品的日销售金额y关于时间t的函数关系式；‎ ‎(2)求这种商品的日销售金额y的最大值，并指出在近30天中的第几天取得该最大值．‎ 求分段函数的最值时，要求出每一段上的最值，再比较这些最值，找出原函数的最小值或最大值．‎ 二、自建函数模型应用举例 活动与探究2‎ 要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？‎ 迁移与应用 有一批材料可建成‎200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成3个面积相等的矩形(如图)，求围成的矩形场地的最大面积(围墙厚度不计)．‎ 用函数有关的知识建立数学模型，需要做好以下几点：‎ ‎(1)通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．‎ ‎(2)将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系．‎ ‎(3)在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．‎ 三、数据拟合型函数的应用问题 活动与探究3‎ 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：‎ 投资A种商品 金额/万元 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 获纯利润/万元 ‎0.65‎ ‎1.39‎ ‎1.85‎ ‎2‎ ‎1.84‎ ‎1.40‎ 投资B种商品 金额/万元 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 获纯利润/万元 ‎0.25‎ ‎0.49‎ ‎0.76‎ ‎1‎ ‎1.26‎ ‎1.51‎ 该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．‎ 迁移与应用 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示．‎ 年序 最大积雪深度x/cm 灌溉面积y/公顷 ‎1‎ ‎15.2‎ ‎28.6‎ ‎2‎ ‎10.4‎ ‎21.1‎ ‎3‎ ‎21.2‎ ‎40.5‎ ‎4‎ ‎18.6‎ ‎36.6‎ ‎5‎ ‎26.4‎ ‎49.8‎ ‎6‎ ‎23.4‎ ‎45.0‎ ‎7‎ ‎13.5‎ ‎29.2‎ ‎8‎ ‎16.7‎ ‎34.1‎ ‎9‎ ‎24.0‎ ‎45.8‎ ‎10‎ ‎19.1‎ ‎36.9‎ ‎(1)描点画出灌溉面积随最大积雪深度变化的图象；‎ ‎(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；‎ ‎(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为‎25 cm，可以灌溉土地多少公顷？‎ 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数模型，再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：‎ ‎(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图；‎ ‎(2)通过考查散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是件十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了；‎ ‎(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；‎ ‎(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．‎ 当堂检测 ‎1．今有一组数据如下：‎ t ‎1.99‎ ‎3.0‎ ‎4.0‎ ‎5.1‎ ‎6.12‎ v ‎1.5‎ ‎4.04‎ ‎7.5‎ ‎12‎ ‎18.01‎ 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)‎ A．v＝log2t B．v＝3·2t－3‎ C．v＝ D．v＝2t－2‎ ‎2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图示为(　　)‎ ‎3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元．该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　)‎ A．200副 B．400副 C．600副 D．800副 ‎4．如图所示，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽‎2 m，边坡的倾角为45°，水深h m，则横截面中有水面积A m2与水深h m的函数关系式为__________________．‎ ‎5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝ 其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为______．‎ 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.‎ 答案：‎ 课前预习导学 ‎【预习导引】‎ 预习交流1　提示：(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；‎ ‎(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；‎ ‎(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；‎ ‎(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；‎ ‎(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；‎ ‎(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；‎ ‎(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．‎ 预习交流2　提示：选择函数模型时，要让函数的性质、图象与所解决的问题基本吻合．因而，在解答这类问题时，先根据已知数据画出散点图，再根据散点图猜想函数模型，通过待定系数法求模拟函数的解析式，最后通过数据验证．‎ 课堂合作探究 ‎【问题导学】‎ 活动与探究1　思路分析：解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润，知利润＝总收益－总成本．由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．‎ 解：(1)设每月产量为x台，则总成本为(20 000＋100x)元，从而f(x)＝ ‎(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，‎ ‎∴当x＝300时，f(x)有最大值25 000；‎ 当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数．‎ f(x)＜60 000－100×400＜25 000.‎ ‎∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.‎ ‎∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．‎ 迁移与应用　解：(1)这种商品的日销售金额y＝PQ.‎ ‎∴当0＜t＜25时，‎ y＝PQ＝(t＋20)(－t＋40)＝－t2＋20t＋800；‎ 当25≤t≤30时，‎ y＝PQ＝(－t＋100)(－t＋40)＝t2－140t＋4 000.‎ ‎∴y＝ ‎(2)当0＜t＜25时，y＝－t2＋20t＋800＝－(t－10)2＋900，‎ 即t＝10时，y取最大值900.‎ 当25≤t≤30时，y＝t2－140t＋4 000＝(t－70)2－900.‎ ‎∴y＝(t－70)2－900在[25,30]上是减函数，‎ ‎∴t＝25时，y取最大值1 125.‎ 所以，日销售金额的最大值为1 125元，在最近30天中的第25天日销售额最大．‎ 活动与探究2　思路分析：设出半圆的直径为x，用x表示出矩形的长和宽，进而用x及l表示出窗户的面积，再求关于x的函数的最大值即可．‎ 解：设半圆的直径为x，矩形的宽为y，窗户透光面积为S，则窗框总长l＝x＋x＋2y，‎ ‎∴y＝.‎ ‎∴S＝x2＋xy＝x2＋x· ‎＝－2＋.‎ 由得 S＝f(x)的定义域为x∈.‎ 当x＝时，Smax＝，此时y＝＝，‎ 所以，当窗户的矩形的宽等于半圆的半径时，窗户透光面积最大．‎ 迁移与应用　解：设场地宽为x m，则场地长为(200－4x) m，‎ 场地面积为S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2 500(0＜x＜50)．‎ ‎∴x＝25时，S有最大值为2 500.‎ 故围成的矩形场地的最大面积是2 ‎500 m2‎.‎ 活动与探究3　思路分析：画出散点图，根据图象确定拟合函数．利用待定系数法求出函数解析式，利用函数求最值．‎ 解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．‎ 观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示．‎ 取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1，0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，‎ 所以y＝－0.15(x－4)2＋2.‎ B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示．‎ 设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，‎ 得解得 所以y＝0.25x.‎ 即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.‎ 设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，那么 所以W＝－0.15(xA－)2＋0.15×()2＋2.6.‎ 当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元)．‎ 即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．‎ 迁移与应用　解：(1)描点作图如下：‎ ‎(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.‎ 取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得 用计算器计算可得a≈2.4，b≈1.8.‎ 这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．‎ ‎(3)由y＝2.4＋1.8×25，解得y＝47.4，即当最大积雪深度为‎25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷．‎ ‎【当堂检测】‎ ‎1．C　解析：分别将t代入计算，函数v＝最符合．‎ ‎2．B　解析：∵v1＜v2，∴前半段路程用的时间长．‎ ‎3．D　解析：该厂所获得的利润为f(x)＝10x－y＝10x－(5x＋4 000)＝5x－4 000.‎ 由f(x)≥0，得5x－4 000≥0，解得x≥800.‎ ‎4．A＝h2＋2h(h＞0)　解析：关键是求梯形上底．‎ 由已知得梯形上底为(2＋2h) m，‎ 所以A＝[2＋(2＋2h)]h＝h2＋2h(h＞0)．‎ ‎5．25　解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；‎ 若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；‎ 若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．‎ 故拟录用人数为25.‎